Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

4.2. функции спроса на факторы (ресурсы) в случае долговременного промежутка

В связи с тем, что, как правило, /(х, 0) =/(0, х2) 0 (т.е. если хотя бы один ресурс не затрачивается (не используется), то объем выпускаемой продукции равен нулю), экономически осмысленными являются векторы (хі, х2) затрат ресурсов, для которых хі > 0, х2 > 0. Поэтому в случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли представляет собой обычную задачу на глобальный абсолютный максимум при хі > 0 и х2 > 0. Из математического анализа известно, что точки локального абсолютного максимума следует искать только среди критических точек (х9 х2) функции PR(x,,x2), т.е. среди точек, которые удовлетворяют условиям первого порядка, т.е. системе уравнений:

apR(x1,x2)_Q apR(x1,x2)_Q

дх дх2

или в развернутом виде (ибо прибыль PR(xj, хі) — РоЛхі, *г) — ~ (РХ+ Р2Х2))

df(xx,x2)_ df(xux2)_ Po—^--PvPo—^--P2- (4-І)

Отметим, что экономистов интересует не локальный, а глобальный максимум прибыли. Если производственная функция /(*i >х2) (и следовательно, функция прибыли PR(x,,х2)) выпукла вверх при Х > 0 и х2 > 0, то локальный максимум обязательно является глобальным. Отметим, что во многих случаях, которые интересны для экономистов, производственные функции являются выпуклыми вверх. В частности, производственная функция Кобба—Дугласа у = aQxxx х2 2 при 0 < ах + а2 < 1, ПФ ПЭЗР у = а0(аххха +а2х2а)~^а при а>0 являются выпуклыми вверх ФУНКЦИЯМИ При Х > О и х2 > 0.

Выпуклость вверх функции PR(x,,x2) (или функции /(х,,х2)) при всех х > 0 и х2> 0 эквивалентна выпуклости вниз функции - PR(*!, х2) (или функции -/(х,, х2)).

График выпуклой вверх производственной функции /(х1?х2) есть поверхность, выпуклая вверх при хі > 0 и х2 > 0. Сказанное справедливо и для графика прибыли PR(jcr,jc2) при х > О и х2 > 0. Для того чтобы функция -FR(x{9x2) (или функция -f(xl9x2)) была выпукла вниз, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы

d2f(xux2) d2f(xl9x2)

dxf d2f(xl9x2) дх2дхх

дххдх2 д2/(хх,х2) дх2 ,

т.е. миноры

д2/(х{,х2) дх2 9

 

 

д f(x{9x2)   д f(xl9x2)d f(xux2)

дх2      dxf дх2

 

 

d2f(xl9x2) дххдх2

построенные на элементах, расположенных на пересечении строк и столбцов этой матрицы с одинаковыми номерами, были неотрицательными при всех х > 0 и х2 > 0.

Если последовательно повышающие порядок угловые миноры

ВЫШепрИВедеННОЙ МатрИЦЫ СТРОГО ПОЛОЖИТеЛЬНЫ, Т.Є. При ВСЄХ х > 0,

х2 > 0 справедливы неравенства:

дх2,

dxf

d2f(xux2)   _ d2f(xux2) d2f(xux2)

<0,

dxf

(*2

д f(xuxi) дх] дх2

2

 

>0,

то производственная функция у = f(xl9x2) есть функция (строго) выпуклая вверх, график производственной функции у = Ахъ х2) в трехмерном пространстве ОхіХіУ есть поверхность (строго) выпуклая вверх. График прибыли PR(jci, х2), получаемый путем вычитания из графика функции pof (х, х2) плоскости у = рхх + р2х2 (которая является графиком издержек), имеет вид «шапочки», у которой есть «макушка». Макушка соответствует глобальному максимуму прибыли:

PR(*i, х2) = Pof(xx, х2) - (pix{ + р2х2).

Для строго выпуклой вверх производственной функции у = f(xv,x2) система (4.1) имеет единственное решение (хх° , х2 ), которое является тонкой не только локального, но и глобального (искомого нами) максимума прибыли PR(jti, х2). Вектор (jc,°, х2) затрат ресурсов, который является решением задачи глобальной максимизации прибыли PR(jcb х2) = РоЛхь х2) ~~ ІРХ + Р2Х2)> называется локальным (частичным) рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка). Термин «локальный применительно к рыночному равновесию» здесь используется в связи с тем, что рассматривается единственная фирма, функционирующая на рынках ресурсов и на рынке готовой продукции.

График прибыли PR(X|, х2) в трехмерном пространстве, вообще говоря, достаточно сложен. Поэтому график прибыли представим схематически на плоскости Ozy, где координатная ось Oz изображает плоскость 0*1*2. Графики производственной функции fiz), дохода фирмы pof (z) и издержек pz представлены на рис. 4.2, а; на рис. 4.2, б изображен график прибыли PR(z) = РоА?) ~" Р*, который получен вычитанием из графика дохода фирмы PoAz) графика издержек pz. Точка (z0, PR(^o)) есть «макушка шапочки» графика функции PR(z) = ^PoA^-pz.

Подставив вектор (хх , х2) в уравнения (4.1), получим тождества:

Ро

дхх

PvPo

дх2

Pv

(4.2)

которые можно переписать в векторной форме

Pa grad f(xf9x\%) = p

{р~(Р->Р2) откуда следует, что градиент производственной функции y = f(xux2) в точке (хх,х2) и вектор цен р коллинеарны, т.е. расположены на одной прямой (рис. 4.3).

 

х

Путем почленного деления первого тождества на второе получаем

дх Р

dfixUD Pi дх2

(4.3)

т.е. в точке (х,,*") локального рыночного равновесия фирмы отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен этих ресурсов.

Проведем через точку (х,0, х2) изокванту и изокосту, которые эту точку содержат. Уравнение изокванты имеет вид/хь х$) = уо, где у0 = = f(xx,x2). Уравнение изокосты имеет вид рХ + р2х2 = Q, где Q = = р х + р2х . Из равенства р0 grad f(xx,x2) = (р{,р2) следует, что в точке (хх,х2) изокоста и изокванта касаются. Факт касания изокосты и изокванты в точке (хХ}х2)локального рыночного равновесия — важная геометрическая характеристика локального рыночного равновесия.

Факт касания изокосты и изокванты можно обосновать с помощью элементарных рассуждений. Перепишем уравнение Дхь х2) = Уо, выразив явно переменную х2 через переменную *i, т.е. в виде х2 = h(xi) (обратим внимание, что уравнения Дхь х2) = уо и х2 = h(x{) формально разные, но они аналитически описывают одну и ту же изокванту / , см. рис. 4.3).

Из математического анализа известно, что

dxx

дх2 j

(4.4)

 

Для изокосты рХ + Р2Х2 = Q имеем отношение — = tgy. Из ра-

/>2

венств (4.3) и (4.4) следует, что tgcp = tgj/, что означает, что касательная ЛГк изокванте /   в точке (хх°9х2) совпадает с изокостой, т.е. в точке

(хх°9х2) изокванта /^обязательно касается изокосты А'(см. рис. 4.3).

Отметим, что, приступая к решению задачи максимизации прибыли, мы не имели конкретных изокванты и изокосты, которые касаются друг друга в точке (хх°9х2)9 ибо не имели самой этой точки. Касающиеся друг друга изокванта и изокоста появляются после того, как аналитически найдено локальное рыночное равновесие (хх°9х2) путем решения системы уравнений (4.1).

Левая («четырехэтажная») дробь в (4.3) есть не что иное, как ^i2(*i°> хг) предельная норма замены первого ресурса вторым в точке (хх°9х2).

Равенство (4.3) выражает следующий фундаментальный факт теории фирмы: в точке локального рыночного равновесия (хх°9х2) предельная норма замены R2(xx°9x2) первого ресурса вторым равна отно-Р

шению —- рыночных цен этих ресурсов. Рг

Поскольку хх и х2 получаются в виде решения системы уравнений (4.1), постольку хх и х2 есть функции цен (ро,Ръ РІ)-> те-

х1 =d{(p09p{,p2); x2=d2(p09pl9p2). (4.5)

Выражения (4.5) называются функциями спроса на ресурсы (затраты) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Их значения хх и х2

выражают оптимальный выбор ресурсов как функции цены выпускаемой продукции и цен на ресурсы.

Подставив функции (4.5) в производственную функцию у =f(x9 х2)9 получим выражение:

У° = f{dx(PQ,P,p2d2(p09pX9p2))^s(pQ9pup2)9

которое называется функцией предложения выпуска фирмы на рынке.

Функции спроса на ресурсы и функция предложения выпуска являются однородными нулевой степени по всем своим аргументам ро, рх и ръ т.е. di(ypo, урь УР2) = di(po, Р, л); d2(yp09 уРь УР2) = d2(Po, Рь РІ) s(yPo> УРь УР2) = s (Ро> Рь РІ) Для любого числа у > 0. Свойство однородности означает, что одновременное изменение всех цен ро>Ри Рг в одно и то же число раз у (т.е. при изменении масштаба, но не структуры цен) не меняет х, х2° и     что важно с содержательной точки

зрения. С математической точки зрения однородность нулевой степени функции спроса и функции предложения является простым фактом, ибо максимизация прибыли PR(xj, х2) = уроАх, *г) ~ (УРХ + + ур2х2) сводится к системе уравнений (4.2), ибо на множитель у > 0 можно сократить.

Вернемся к задаче глобальной максимизации прибыли фирмы:

РоЛхи Ъ) ~ Рх ~ Р2*2 = PR(*b х2) => max. Вполне возможно, что фирма имеет определенный лимит К на приобретение ресурсов, т.е. фирма может приобретать ресурсы, количества которых х и Х-2 должны удовлетворять ограничению:

РХ +Р2Х2 = V.

В этом случае задача глобальной максимизации прибыли приобретает вид:

Pof(xh х2) - V = PR max, что эквивалентно глобальной максимизации выпуска Ахь Х2) при наличии лимита на ресурсы рХ + /^2 ~ V.

Таким образом, получаем задачу глобальной максимизации выпуска фирмы при наличии лимита на ресурсы:

Ах, Х2) с=> max; Рх + Р2Х2 = V.

Выписанная задача (она анализируется в параграфе 4.4) представляет собой частный случай известной задачи рационального распределения ограниченных ресурсов.

Рассмотрим еще одну корректировку задачи глобальной максимизации прибыли фирмы.

Если фирма получает фиксированный заказ на свою продукцию в объеме у (у = Ахь х2)), который фирма должна выполнить в течение временного периода, то задача глобальной максимизации прибыли фирмы приобретает вид:

р0у - рхх - р2х2 = PR => max,

что эквивалентно глобальной минимизации издержек фирмы С(х, х2) = = РХ + Р2Х2 при наличии фиксированного заказа в объеме у единиц выпускаемой фирмой продукции.

Таким образом, получаем задачу глобальной минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой ею продукции:

Рх + Р2Х2 = С —> min, у =/(хьх2).

Вьшисанная задача анализируется в параграфе 4.5. В случае, когда число факторов п > 2, условия первого порядка (4.1) имеют следующий вид:

df(x)    df(x) y

oxx oxn

Как и в случае п-2 выпуклость вверх функцииfixh х^) эквивалента выпуклости вниз функции -ftxh хп).

Для того, чтобы функция -f(xx, ...,х„) была выпукла вниз (а

функция f(xl9...,xn) выпукла вверх), необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гессе функции -f(x{9 ...,хп)

т.е. миноры, построенные на элементах, расположенных на пересечении строк и столбцов этой матрицы с одинаковыми номерами, были неотрицательными при всех Х > О,     х2 > 0.

Если последовательно повышающие порядок угловые миноры вышеприведенной матрицы Гессе строго положительны, т.е. при всех Х[ > 0,    х2> 0

д2/(х19х2)

дх}

 

 

>о,

д2/(х)

дхгх д2Дх) дх^дхл

д2/(х)

дххдх2 d2f(x)

дх2

 

 

>о,

 

производственная функция f(x) = f(xu...,x„) строго выпукла вверх.

Для строго выпуклой вверх производственной функции у = /(*!,...,*„) условиям первого порядка удовлетворяет единственная точка х° =(х1°,...,х^) глобального (искомого) максимума прибыли ?R(x]9...9xn).

Как и при и = 2, точка (вектор) х° =(х1°,...,х^) называется локальным рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка).

Подставив точку х° =(х1°,...,х^) в условия первого порядка, получим равенства:

df(x°)_ dfix°)_ Р^ = Р>''''>Р°~^ = Р»'

откуда следует, что

Ро grad/(х°) = ^ (/> = (/>!,...,/>„)), т.е. градиент производственной функции у = f(xx, ...,xw) в точке локального рыночного равновесия х° = (х,°, ...,х°) и вектор цен р = (/?!,..., Рп) коллинеарны, а это означает, что в пространстве ресурсов поверхность постоянного выпуска у0 - f(x°) (т.е. изокванта) и (п — 1)-мерная плоскость постоянных издержек (т.е. изокоста), содержащие точку х° = (х,°,х°п), касаются.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |