Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

4.4. комбинация ресурсов (факторов

производства), максимизирующая объем выпуска при ограничении на затраты

Для случая долговременного промежутка (1Г) сначала рассмотрим задачу глобальной максимизации объема выпускаемой продукции при наличии лимита на ресурсы (при ограничении затрат на приобретение ресурсов (факторов)) в следующем виде:

/ (*ь *2)-> тах (4.7)

при условии, ЧТО

Pixi + р2х2 < V,         (4.8)

xi > 0, х2 > 0.  (4.9)

Ограничениям (4.8) и (4.9) соответствует треугольник Оі?^ плоскости 0x1*2. Максимизация функции (4.7) геометрически соответству-

Величина Уне обязательно равна величине Q (см. параграф 4.2). Решение этой задачи математического программирования допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 4.5).

ет тому, что мы переходим на все более «северо-восточные» изокванты, пока они имеют еще общие точки с треугольником 0ВВ2 (прямая ВВ2 имеет уравнение рХ + р2х2 = V). Изокванты — гладкие линии, выпуклые к точке 0 (а это так, ибоХ^ь хі) — не произвольная функция двух переменных, а производственная функция, т.е. функция, удовлетворяющая определенным требованиям гладкости и выпуклости), поэтому решению задачи (4.7)—(4.9) соответствует изокванта 1у, которая касается гипотенузы (изокосты) ВВ2 в точке В. Любая изокванта /т, расположенная «северо-восточнее» этой изокванты (т > т), содержащей точку В, не подходит, ибо не имеет общих точек с треугольником QBify- Координаты х, (V) и х2 (V) точки В дают решение задачи (4.7)—(4.9), ибо у = f(xl,x2)<y = f(xl9x2) (линия 1у, расположена «северо-восточнее» линии /  (у = f (х{, х2)).

В связи с тем, что это решение (£, (V),x2(V)) обращает ограничение (4.8) в равенство рхх + р2х2 — К, вместо задачи (4.7)—(4.9) можно рассмотреть более простую задачу на условный экстремум

Дхь х2)-> max            (4.7)

при наличии ограничения

РХ + Р2Х2 = V

(х{ >0,х2> 0), (4.10)

заданного в виде равенства. (Эта задача была сформулирована выше в параграфе 4.2).

Задачи (4.7)—(4.9) и (4.7), (4.10) разные, но решение (xx{V x2(V)) у них одно и то же. Поскольку сумма рХ + р2х2 равна издержкам производства, постольку целесообразно заменить К на Си формально перейти к задаче максимизации объема выпускаемой продукции для случая долговременного промежутка (1Г) при фиксированных издержках производства С (величина С играет роль параметра и не обязательно равна величине Q (см. параграф 4.2):

f(x, х2)-> max (4.7)

при условии, что

Рх + р2х2 = С

. 4xf*0,*2*0). (4.11) Геометрическое решение задачи (4.7), (4.11) также наглядно очевидно (рис. 4.6): следует переходить на все более «северо-восточные» изокванты 1у(у-/(х,,х2)) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки (х{, х2) с изокостой, соответствующей фиксированным издержкам производства С. Ясно, что решением задачи максимизации выпуска будет точка (х{ (С),х2(С)) касания последней из допустимых изоквант 1у и фиксированной изокосты рХ 4- р^х2 = С. Эта точка касания зависит от величины издержек С (поэтому и написано (х{ (С), х2 (С)). Если издержки С изменятся, то изменится, вообще говоря, и точка (х{ (С),х2(С)). Множество точек (х{ (С),х2(С)), соответствующих различным значение

ям С, образуют линию L (см. рис. 4.6), которая называется линией долговременного развития фирмы. Точка (х[,х) локального рыночного равновесия фирмы (см. параграф 4.2) обязательно принадлежит линии L.

Рис. 4.6

Решим задачу (4.7), (4.11) формально с помощью функции Лагранжа Цхь хъ X) =А*ъ х2) + Х(С -рхх - р2х2). Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка, т.е. систему уравнений

dL(xvx2,X) _Q   dL(xx,x2,X) _ Q     dL(xx,x2,X) _Q

9jCj                  dx2     ^

или в развернутом виде

^й = Хр2,        C-Plxx-P2x2=0. (4.12)

cbc! ах2

Критическая точка (хх (С),х2(С),Х(С)) функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (4.12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) Х(С), т.е. точка (хх (С),х2(С)) есть точка возможного условного локального максимума функции у = f(xx,x2) при наличии ограничения рххх + р2х2 = С. Если у = /(х,,х2) — производственная функция, т.е. функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то выполняются достаточные условия второго порядка локального условного максимума функции (4.7) при наличии ограничения (4.11). При этом точка (5с, (С), х2 (С)) условного локального максимума является точкой условного глобального максимума функции (4.7) при наличии ограничения (4.11). Если у = f(xl9x2)9 то хх(С) > О, х2(С) > О, Х(С) > 0.

Подставив точку Зс,(С) > 0, х2(С) > 0, ЦС)) в первые два равенства системы (4.12), получим два тождества:

тю.*™ вк (4ЛЗ)

дхх

Ш^Ш> = і(С)Р2, (4.14) дх2

откуда следует коллинеарность градиента grad/((^(С), х2(С)) и вектора цен p = (pl9p2):-

grad f((xx(C),x2(C)) = ЦС)(Рх,р2)

(рис. 4.7). Отсюда следует, что изокоста (4.11) и изокванта Ц касаются в точке (хх(Сх2(С)). Отметим, что в решении (хх (С),х2(С),Х(С)) множитель Лагранжа Х(С) является скорее относительно малой величиной («моськой») в связи с тем, что длина градиента grad/((хх(С),х2(С)) скорее много меньше вектора цен р = (рх,р2).

Если положить рп =^—, то для задачи глобальной максимиза-

Х(С)

ции прибыли

Pof(x\>xi)~ІРХ + Ргхг) = PR -> max условия первого порядка (4.1) приобретут вид:

_ Щхьх2) _ _    „ df(xi,x2) _

Ро—z  Рр Ро—я         Рг

ОХ1 ОХ2

1

откуда, принимая во внимание равенство /?0=-   , эти условия

Х(С)

первого порядка следует переписать так:

df(x,x2)   л           df(X],x2) _іҐГ,„

            —— = К(С)рх,  —     л.{С)р2.

ох оХ2

Этой системе уравнений удовлетворяет хх=хх(С) и х2=х2(С)

((4.13) и (4.14)). Следовательно, решение хх(С) = хх, х2(С) = х2 представляет  собой  локальное  рыночное  равновесие  фирмы при

р0=^-1—9 т.е. решение (хх(С),х2(С)) задачи (4.7), (4.11) условной

Х(С)

глобальной максимизации совпадает с решением (хх,х2) задачи глобальной максимизации прибыли, если цена р0 выпускаемой

фирмой продукции равна р0 = -     .

Х(С)

Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя Лагранжа Х(С).

В параграфе 4.2 в точке локального рыночного равновесия (хх,х2) фирмы были определены издержки Q = р хх + р2х2. Если в ограничении (4.11) положить С = Со, то очевидно хх (Со) = хх , х2 (Со) = х2 ,

а также           = р0, т.е. величина, обратная множителю Лагранжа X (С0),

равна рыночной цене р0 единицы выпускаемой фирмой продукции. Подставив хх (С), х2 (С) в выражение у =Ахь *г)> получим, что

у = /(х,(С),х2(С)) = ДС), (4.15)

т.е. получим, что максимальный выпуск y = F{C) фирмы по существу есть функция издержек С. Выражение (4.15) является значением задачи (4.7), (4.11).

Так построенная функция у = ДС) соответствует случаю долговременного промежутка.

Имея функцию у = ДС), можно выписать выражение для прибыли в терминах издержек PR(C) = PqF(C ) — С (сравнить с выражением для прибыли фирмы в терминах затрачиваемых {используемых) ресурсов, см. параграф 4.2).

Таким образом, задача максимизации прибыли фирмы в случае долговременного промежутка может иметь три постановки:

в терминах объемов х и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов:

РоЛх, *2) -Рх ~ Р2*2 = PR(*b хі) -> шах;

в терминах объема у выпускаемой фирмой продукции:

РоУ ~ С(У) = PRO0 -> шах;

в терминах издержек С фирмы:

/>оДС) - С = PR(C) -> max. Строго говоря, координаты хх(С) и х2(С) являются функциями всех параметров Р,р29С задачи (4.7), (4.11), т.е. х} = <Р(р9р2 ,С), х2 = у2(р,р2,С). Эти функции называются функциями условного спроса (по Маршаллу) со стороны фирмы на ресурсы. Фирма предъявляет спрос на каждый ресурс на рынке этого ресурса. Спрос называется условным, потому что есть условие рххх + р2х2 = С, которое появляется в связи с лимитом на ресурсы. Отметим также, что

Ь = Фз(А>Л>с)-

Максимальный выпуск / (хх, х2) фирмы имеет вид:

y = f(xi,x2)=f(<pi(php2, С), <р2(РЫ>2, С) = А (РьРъ С).

Выписанная функция представляет собой условное предложение фирмой своего выпуска на рынке выпускаемого ею продукта.

Функции условного спроса (по Маршаллу)  хх = <Р(р,р29С)9

х2 =ц2(р,р2,С) и функции условного предложения фирмы у = h(p]9p29C) однородны нулевой степени, т.е. для любого числа у > 0 справедливы равенства:

Фі (УР, УР2 > Ус) = Фі (Р > Р2 > с ф2 (УР > УР2>УС) = Ф2 (Р, р2> с КУРх > УР2>Ус) = КР, Р2, С).

С одной стороны, задача глобальной максимизации (4.7), (4.11) имеет решение ц>(р,Р2>С), <р2(Р,р2,С)9 заДача глобальной максимизации (4.7) при наличии ограничения урххх + ур2х2 =уС имеет решение <V(ypi,yp2,yC)9 <Р2(уР,УР2,уС). с ДРУГОЙ стороны, эти две задачи глобальной максимизации эквивалентны (сократив ограничение УРХ+ УР2Х2 - УС   на  У> получим ограничение (4.11)), поэтому

Фі (УР, УР2 > Ус) = Фі (Р > Р2 > с)>   ф2 (УР > УР2 > УС) = Ф2 (Р, Р2 >с)-

Равенство h(ypl9yp29yC) = h(pl9p29C) также очевидно, ибо ЧуР,УР2,уС) = А<Р(УР\>УР2>уС)> ф2(У/?1)У/?2»УС)) =

= /(Фі(А>/?2>с), Ф2(Р9Р2,С)) = Н(рІ9р29С).

Задача максимизации объема выпускаемой фирмой продукции при фиксированных издержках С для случая краткосрочного промежутка (sr)9 когда лимитирован объем 3cj первого ресурса, имеет вид:

f(x] •> х2 ) ~* тах (4Л6)

при условии, ЧТО

РХ + Р2Х2 = С (4.17) (х2 > 0).

Ограничимся наглядным геометрическим решением (рис. 4.8) задачи (4.16), (4.17).

Перемещаемся по изоквантам 1у (у = /(х1,х2)) на «северо-восток» до того момента, пока изокванта Ц (у = f(xl9x2)) не пройдет через точку (х, ,х2(С)), которая и есть решение задачи (4.16), (4.17). От этой изокванты Ц далее на «северо-восток» идти нельзя, ибо в точках z — (z, z2) пересечения новых изоквант и фиксированной изокосты РХ + р2х2 = С имеет место неравенство z*xx.

Если бы условия х = хх не было, то решением задачи максимизации объема выпускаемой продукции была бы точка (J, (С),х2(С)), которая соответствует случаю долговременного промежутка. Очевидно, /(хх (С),х2 (С)) >/(хх,х2(С)), ибо изокванта, проходящая через точку (хх (С), х2 (С)), расположена «северо-восточнее» изокванты, проходящей через точку / (xj, х2 (С).

Получен важный результат теории фирмы: при одних и тех же издержках С объем выпускаемой фирмой продукции в случае долговременного промежутка больше (точнее не меньше) объема выпускаемой фирмой продукции в случае краткосрочного промежутка.

Эти объемы сравняются, если издержки производства С будут такими, что х, (С) = х,. Вертикальная прямая хх = xj называется линией краткосрочного развития фирмы (см. рис. 4.8).

Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай п > 2.

Задача (4.7), (4.11) глобальной максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы в общем случае имеет вид:

/(x1,...,xw)-^max         (4.18)

при наличии ограничения

рххх+... + рпхп=С     (4.19)

(x,>0,...,xw>0>.

Для функции Лагранжа

L(x,,хп) = /(*,,...,х„) + ЦС-■/?!*, -... -рпхп) (4.20)

задачи (4.18), (4.19) на условный (локальный) экстремум условия первого порядка имеют вид:

аЦхД) = 0     Э1(дсД)=0 дЦх9Х) = 0

дхх      дхп дХ

(х = (х,,...,х„))

или в развернутом виде:

дЦх9Х) дЦх9Х)

—        =          —        = Хр29 С-рххх-...-рпхп=0 (4.21)

дх] дхп

(х = (х,,...,х„)).

Для производственной функции у- f(jc), удовлетворяющей условиям гладкости и выпуклости, (хХ9 ...9х„ Д)— критическая точка функции (4.18) при наличии ограничения (4.19).

Критическая точка (х{9...9хп9Х) функции Лагранжа является решением системы уравнений (4.21), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:

дЦх9Х)   ~       дЦх9Х)   ~ „

—        = Ад,...,—       - = ХРп .(х = (х1,...,хп),

дхх дхп

которые в компактной векторной форме имеют вид:

grad/(x) = Хр  (р = (р]9...9р„))9

откуда следует, что в точке х = (хХ9.,.9хп) изокванта максимального выпуска и изокоста ((«-1)-мерная плоскость постоянных издержек) касаются.

Функции хх =q>!(pl9...9pn9С),...,хп =ср„(р{9...9рп9С) являются функциями условного спроса (по Маршаллу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция y = h(pl9...9pn9C) = f(xl9...9xn) = f^ Ф„(р{9...9рп9С)) есть функция предложения фирмы на рынке выпускаемой фирмой продукции.

Как и в случае п-2 все функции хх = у{(рХ9...,рп9С),..., xn=(?n(P9-9pn9C)9- y = h(pX9...9pn9C) являются однородными нулевой степени по всем переменным        рп, С.

Как и в случае п = 2 множитель Лагранжа X = q>3(рх,...9рп9С) является скорее относительно малой величиной («моськой»).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |