Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

4.5. комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объеме выпуска

Для случая долговременного промежутка (/г) рассмотрим         задачу

глобальной минимизации издержек при фиксированном объеме         у вы-

пускаемой продукции:

PX + Р2Х2 = С (х9 х2)-+ min        (4.22)

при условии, что

У=/(хьх2)        (4.23)

(х >09х2> 0).

Геометрически решение задачи (4.22), (4.23) (рис. 4,9) аналогично решению задачи (4.7), (4.10). В случае задачи (4.22), (4.23) следует перемещаться по изокостам на «юго-запад» (ибо имеем задачу.минимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изокван-той, соответствующей фиксированному объему ^. Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка (хх(ух2(у)) изокос-ты и фиксированной изокванты 1у. Эта точка касания зависит от объема у (поэтому и написано: (хх(у), х2(у)). Если объем у изменится, то изменится и точка (JtjQO, х2(у)). Множество точек(x,(j>), х2(у)), соответствующих различным объемам у выпускаемой продукции, образуют линию L (см. рис. 4.9), которая, очевидно, совпадает с линией L (см. рис. 4.6).

х2А

хх(у) х Рис. 4.9

Решим задачу (4.22), (4.23) формально с помощью функции Лагранжа: Цхи х2, X) = ріхі + р2х2 + ц( у -/(хь х2)). Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка:

0,

дх}

dL(xx,хх,\) _      дЬ(хх,х2, ц) _ п   дЬ(хх,х2,ц) _

дх1

о

или в развернутом виде

дх~>

дхл

д/(хх,х2) _<>9/(х1>х2)_

^2 = »

0, х-/(х„х2) = 0.

(4-24)

Критическая точка (хх(ух2(у\х(у)) функции Лагранжа — это точка, удовлетворяющая системе (4.24). Если у = f(xx,x2) производственная функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то критическая точка (хх(у), х2(у), Д(>0), взятая без последней координаты ДО0 , те- точка (хх (у х2(у)), и есть решение задачи (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек при данном фиксированном объеме выпуска у. Подставив координаты точки (хх(у)9 х2(у)9 в первые два уравнения системы (4.24), получим два тождества:

 

дхх дх2

которые в компактной векторной форме можно переписать так:

(/71,/?2) = pgrad f(xx,x2). (4.26)

Равенство (4.26) означает, что в точке (х{9х2) градиент grad f(xX9x2) и вектор р = (рх,р2) цен рх и р2 на ресурсы коллине-арны, откуда следует, что в точке (хх,х2) изокванта 1у и изокоста С = рххх + р2х2 (С - рххх + р2х2) касаются (рис. 4.10).

хъ

Координаты хх(у)9х2(у)9 атакже 1(у) и С = рххх(у)-- р2х2(у)) являются функциями всех параметров рх,р2,у задачи (4.22), (4.23), т.е.

х, =у1(р[,р2,у), х2 =у2(рх,р2,у Д = Уз(А»/?2»>;Х С = g(P >Рі>У) = Рх+Р2х2= PV(Р >Р2,У) + Р2У2(Р,Р2, УІ

Функции х, =\f,(/?,,р29у)9 х2 =\f2(p]9p29y) называются функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функции условного спроса (по Хиксу) называют также функциями компенсированного спроса со стороны фирмы на ресурсы. Функция С = g(pl9p29y) называется условными издержками фирмы. Выражение С = g(p]9p29y) является значением задачи (4.22), (4.23). Множитель Лагранжа Д = Уз(р]9р2,у) является скорее относительно большой величиной («слоном») в связи с тем, что длина градиента grad f(x]9x2) скорее много меньше длины вектора цен р = (р, р2 ).

Функции x-=\fx(pX9p29yx2 =\f2(pl9p2,y) условного спроса (по Хиксу) однородны нулевой степени по переменным /?, и /?2, а функция С = g(p]9p29y) условных издержек однородна первой степени по переменным рх и р2.

Действительно, задача глобальной минимизации (4.22), (4.23) имеет решение У](р9р2,у) и х2 =yi2(p9p2,y задача глобальной минимизации урххх + ур2х2 = yC(min) при наличии ограничения (4.23) имеет решение У(ур9ур2,у) и у2(ур9ур29у)- Однако эти две задачи глобальной минимизации эквивалентны, ибо вторая получается из первой умножением целевой функции рххх + р2х2 = С на число у > 0. Поэтому Уі(урї9ур29у) = Уі(рІ9р29у) и y2(ypi9yp29y) = f2(pl9p29y). Однородность первой степени функции С = g(px,p2,y) условных издержек очевидна:

g(yP, УРг, У) = УР N>i (УР, УРг, У) + УРг Ч>2 (УР > УРг > У) = = У(РЩ (УР > УРг >У) + РгУг (УР > УРг > У)) = У8ІР > Рг > У)-

Если положить р0 = Д, то для задачи глобальной максимизации

прибыли

Ро/(х\>хг)~(Рх + Ргхг) = PR ~> ™ах, условия первого порядка (4.1) приобретают вид:

„ д/(хХ9х2) _ _     _ df(xX9x2) _

Ро     і       - Ри  Ро     і       -Рг> дхх дх2

откуда, принимая во внимание равенства р0 = Д, эти условия первого порядка следует переписать так:

xdf(xl9x2)   _ rtdf(xX9x2) _ ^

и    z       -а» и    z       - Рг-

дхх дх2

Этой системе уравнений удовлетворяют хх =хх и х2 = х2 (см. равенства (4.25)). Следовательно, решение хх =хх°9 х2 =х2 представляет собой локальное рыночное равновесие фирмы при р0 = Д, т.е. решение (хХ9х2) задачи (4.22), (4.23) условной глобальной минимизации совпадает с решением (хх°9 х2) задачи глобальной максимизации прибыли, если цена р0 выпускаемой фирмой продукции равна р0 = Д.

Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя Лагранжа Д = х(рх, р2,у).

В параграфе 4.2 в точке локального рыночного равновесия (хх°9х2) был определен объем выпуска у0 = f(xx°9x2). Если в ограничении (4.23) положить у = Уо, то несложно показать, что хх(у0) = хХ9 х2(у0) = х2, а также ]1(уо) = Ро, т.е. множитель Лагранжа 1(у0) равен рыночной цене р0 единицы выпускаемой продукции.

Имея выражение С = С(у)9 выпишем в явном виде представление прибыли PR(>0 в случае долговременного промежутка как функции объемов у выпускаемой продукции:

 

Выражение PR(>>) = р0у - С (у) играет важную роль в микроэкономике. Полезно сравнить это выражение с выражением для прибыли фирмы в терминах объемов хх и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов в случае долговременного промежутка (см. параграф 4.1).

Пусть*! = угх(рХ9р2,у), Х2=У2ІР,Р2,У), C = g(Pl,p2,y) — решение и значение задачи глобальной минимизации (4.22), (4.23).

Положим в задаче глобальной максимизации (4.7), (4.11) С = С ^тогда, очевидно, хх=ух(рХ9р29С) = ух(рХ9р29у) = х]9 х2=ц>2(р]9р29С) = = У2ІР\>Р2>У) = Х2 к y = h(pX9p29C) = f(xl9x2) = f(xl9x2) = y (рис. 4.11).

х2+

Таким образом, наблюдается взаимозависимость задач (4.7), (4.11) и (4.22), (4.23).

Задача глобальной минимизации издержек производства при фиксированном объеме у выпускаемой продукции для случая краткосрочного промежутка, когда фиксирован объем хі первого ресурса,

имеет вид (у играет роль параметра):

РХ + р2х2 = С(хх, х2) (min)            (4.27)

при условии, что

У = /(хих2)     (4.28)

(х,>0).

Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи (4.27), (4.28) (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Имеет место важный результат теории фирмы: при одном и том же объеме у выпускаемой продукции издержки производства Q для случая долговременного промежутка меньше (точнее, не больше) издержек производства С для случая краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем у

производства будет таким, что х{°(у) - хх.

Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай п>2.

Задача (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме ее выпуска в общем случае имеет вид:

/?,*!+... + рпхп = C(min) (4.29)

при наличии ограничения

y = f(x]9...9xn)

(хх>09...9хп>0). (4.30)

Для функции Лагранжа

L(xl9...9xn,v) = PXl+.~ + pnxn+v(y-f(xu...,xn)^ (4.31)

задачи (4.29), (4.30) на условный (локальный) экстремум условия первого порядка имеют вид:

 

дхх      дхп ді

или в развернутом виде

л=цЖ,...,Ри=ДФ, y-f(x) = 0  (* = (*„...,*,,)). (4.32)

дхх дхп

Для производственной функции у- f(х)9 удовлетворяющей условиям гладкости и выпуклости, критическая точка (хХ9...9хп9х) функции Лагранжа, взятая без последней координаты, т.е. точка (*,,...,*„), есть точка глобального условного минимума функций (4.29) при наличии ограничения (4.30).

Критическая точка (хХ9хп9 Д) функции Лагранжа является решением системы уравнений (4.32), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:

рЩ^,.'-,Рп=їЩ^- (х = (х19...9хп))9

Р    ,   г       л  7---J жг п    ■   г - ~

дхх oxh которые в компактной векторной форме имеют вид: р = Дgrad/(*) (р = (рХ9...9рп))9

откуда следует, что в точке х = (хХ9...9хп) изокванта выпуска у и изокоста ((п -1) -мерная плоскость условных минимальных издержек) касаются.

Функции хх =цх(рХ9...9рп9у)9...9х„ =у„(рх,...,р„,у) являются функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция C = g(pX9...9pn9y) = pxxx+... + pnxn=px^x(pl9...9pn9y) + ^ +

+Р„у„(Р9—9рп9у) представляет собой минимальные условные издержки фирмы.

Как и в случае и = 2, все функции jc, = ух(рХ9-,р„,у = = \in(P,...,p„,y) являются однородными нулевой степени по всем переменным /?!,...,р„, а минимальные условные издержки фирмы С = g(p9...9p„,y) являются однородной функцией первой степени по

ПеремеННЫМ /?!,...,/?„.

Как и в случае п = 2, множитель Лагранжа Д = у3(Р9 ..-9рп9у) является скорее относительно большой величиной («слоном»).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |