Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

4.7. максимизация выпуска фирмы и минимизация ее издержек в случае производственной функции с постоянной эластичностью замены ресурсов

Везде далее а0 > 0, ах > 0, а2 > 0.

Производственную функцию с постоянной эластичностью замены ресурсов (ПФ ПЭЗРУЛхь xi) = ао(аха +а2х2аУд/а следует преобразовать так:

f(X9X2)

 

2Л2

= a{x{   + a<,x-

Поэтому задача глобальной максимизации Лх[, х2) ->тах, Рх + р2х2 = V

эквивалентна задаче глобальной минимизации (здесь а > 0, q > 0)

аххх~а + а2х2а -> min, РХ + р2х2 = V. Для задачи минимизации выписываем функцию Лагранжа

L = аххха + а2х2а + ^(У~Р *і ~р2х2) и условия первого порядка для функции Лагранжа:

3L_ дхі

-ааххх

~а~] -Азр, =0,   — = -аа2Х2а~1 -Хр2 = 0,

cbc?

 

К.

= У~РХ -р2х2 = 0.

 

Имеем:

Подпись: -а-1-ааххх

-аа2х2а 1

-Хрх

-Хр2

Х2+] _ Ра2    . „а+1 _ Ра2    . ^ _

Д.2     —         Х|      —Л7 —

а+1 Г,

Ра2

р2а{

а+1

X,.

Подставив выражение для х2 в ограничение рХ + /?2*2 = F, будем иметь:

 

0 = У-рхх -р2

 

Ра2 Р2а)

а+1

 

X]

 

Подпись: 1_
а+1
V(p2a,)

Р (Pla )a+1 +p2(Pla2)a+l

 

а+1 ^а+1

na+l na+l

(Аа«і)а+,+(Р2Ч)а+1

 

= v

ґ a, y+i Pi)

 

 

(Ka,)a+,+(p24)

 

1_

a+1

 

:Фі(А>/>2>^)'

Для x2 имеем:

a+1

 

(p1a2)a+l „

X, =

2 ~        j_        JL _L

(/>2al )a+1       P {Pla )a+1 + Pi (Pa2 )a+1

 

ft

a+1 1

            і           r = ф2 (PuPi, V)-

 

Таким образом,

f „

a+1

PJ

1 a

1       a '

aa+pa+ +a*+lp*+l

 

]a+l

X, — "

Pl.

1 a

1      a '

д a+1 p a+1 +a*+pa+

 

y = h(pl,p29V) = f(xl9x2)--

 

a+1

Подпись: 1 1
(pxaax)^+(p>2Y+y
PJ

 

 

a+1

Подпись: 1 1
(p,aa,)«+1+(p24)«+l
.Pi)

а+1

г _i_ J_Y~a (rffli)e+i+(Aae2)a+1

а;

 

у-а

f Y

a+l

( ±_ j_Va (p,aa,)a+1+(ft\%)a+l

Рг)

 

1 1

_((Аая,)а+1+(р2я2)а+ІГа

F*7

r J

a

1

V

1 V

(Аая,)а+1+(р2\%)а+1

(Лаа,)а+,+№2)а+І

v У

(aa«,)a+1+(p2a«2)a+1

 

Подпись: a+l
Подпись: (  J__   _a_      J_    a ^

 

f 1

1 Y

 

f 1

і

•A(A,/>2,K) = *o^

 

]

При а -> О ПФ ПЭЗР преобразуется в производственную функцию Кобба-Дугласа (ПФКД). При -1 < а < 0 задача глобальной максимизации:

 

а0(аххха + а2х2а) а -> max, РХ + p2x2=V

эквивалентна задаче глобальной максимизации

аххха + #2*2 а ~^ max' pxxx+p2x2=V.

Все выкладки, проведенные для случая а > 0, сохраняют силу. Критическая точка (х]9х29Х) функции Лагранжа, взятая без координаты X, т.е. точка (хих2), есть точка условного глобального максимума целевой функции f(xx,x2) = а0(аххха + а2х2а) ~qla при наличии ограничения рххх + р2х2 = V , что подтверждается с

помощью наглядной геометрической интерпретации в случаях а>0, а = 0 и -1<а<0 (рис. 4.14—4.16). При а<-1 полученные

формулы для хх и х2 использовать нельзя, как показывает наглядная геометрическая интерпретация в случаях а = -1 и а<-1 (рис. 4.17 и 4.18).

Подпись:

Задача глобальной минимизации (а > -1, а ф О, q > 0) РХ + р2х2 -» min,

а0 (аххх~а + а2х2а) а = у . эквивалентна задаче глобальной минимизации:

PX + р2х2 -» min,

 

У

'2Л2

f а

~ С2ХХХ       (Х2 х2

Для задачи минимизации выписываем функцию Лагранжа Цх9х2, ц) =РХ +Р2Х2 + Ц

 

и условия первого порядка для функции Лагранжа:

-а-1

Эх,

— = Р| - цд, (-а)*, а 1 =0; —- = р2-№2(-а.)х2а 1 =0

дх~>

8L в»

■ -аххх а ~а2х2а +

= 0.

Имеем:

Подпись: рх _ хах<ххх а 1     рх _ах  х2+х     х2+{ _ рха2 р2 [ш2сис2

а-1

Pi    *2 хГ1     xxa+l р2ах

 

■х2 =

ґ

Р\^2 Pl^j

Подставив выражение для х2 в ограничение, будем иметь:

0 =

~аххха -а2

Ра2 КР2<1 )

а+1

*1

 

0 =

У_

-аххх -а2

Рв2

а+1

Х

y_

(

ax + a2

Pa2

a+l

 

aoJ

(P\<*l)

a+l

 

ax +a2

Pa2

Pi<*)

a+l

ax +a2

Рга

Pa2

a+1 ах(рха2Г^+а2(р2ах)^

 

a

У_

 

a+l

(Р\<*іУ

Подпись: Ґ - Л
y_		-]	a+l
Uo J		4*1,
xx

Для x2 имеем:

 

x2

Pa2 ,P2<*)

 

a+l

 

*1

1 1

 

p\%+xaxa+x

 

У_

1

q px

a+l

 

a+l

( _\_ _a_ _J_ a a a+l p a+l +aa+pa+

т.е.

Подпись: a+l

X2 =

a+l

f 1

aa+pa+   + да+1до

 

 

C = C(px,p2,y) = Р1^1+р2*2

 

Pi

1 1

a+l

Г J_ _a_ ^a+l^a+l +

Подпись: +

Ґ - л У

Рг

Vw2

а+1

а+1

( ~

У_

 

Ка0;

 

1   ( J_ _а_                  

^а+1 „а+1 -|_ ^а+1 „а+1 а    Р       т а2 Рг

Таким образом, С = С(Р\>Р2>У) z (    1       а          1       а Л

 

а+1

 

При а -» О ПФ ПЭЗР преобразуется в ПФКД.

Критическая точка (х,, х2, Д) функции Лагранжа, взятая без координаты Д, т.е. точка (хх,х2) есть точка условного глобального минимума целевой функции рххх + р2х2 =С при наличии ограничения:

 

у = а0(а]Х;а+а2х2а) <

что подтверждается с помощью наглядной геометрической интерпретации в случаях а>0, а = О и -1<а<0 (рис. 4.19—4.21).

Рис. 4.19

х2 А

х2 А

При а = -1 и а < -1 полученные формулы для хх и х2 использовать нельзя. Ситуация здесь аналогична ситуации, которая имела место для задачи глобальной максимизации функции f(xx,x2) = а0(аххха +a2x2a)~h/a при наличии ограничения рхх{ + р2х2 = V.

Вопросы и задания

Сформулируйте определения исходных понятий теории оптимизации производства.

Сформулируйте основную цель функционирования фирмы.

В чем состоит принципиальное отличие (в содержательных и в формальных терминах) в постановке задачи максимизации прибыли фирмы для случаев долговременного и краткосрочного временных промежутков?

Сформулируйте определение изокосты. Дайте экономическую интерпретацию следующему геометрическому факту: фиксированная точка (vj, v2) (vj > 0, v2 > 0) принадлежит прямой, имеющей уравнение рХ + рхх2 = С0.

Пусть два набора (vj, v2) и (wx, w2) затрачиваемых (используемых) ресурсов таковы, что для набора (vb v2) издержки производства меньше, чем для набора (wx, w2). Как расположены относительно друг друга изокосты, соответствующие наборам (vb V2), (Wb ^2)? Является ли обязательным одновременное выполнение двух неравенств w > v, w2>v2?

Опишите взаимное расположение изокосты и изокванты, проходящих через точку (хх,х2) локального рыночного равновесия фирмы (случай долговременного промежутка). Дайте обоснование их взаимному расположению.

Опишите взаимное расположение изокосты и изокванты, проходящих через точку локального рыночного равновесия фирмы (случай краткосрочного промежутка).

Чему равна (предельная технологическая) норма замены одного ресурса (для определенности, первого) другим (для определенности, вторым) в точке локального рыночного равновесия в случае долговременного промежутка?

Что такое функция спроса фирмы на ресурсы!

 

Что такое функция предложения выпуска со стороны фирмы!

Что собой представляет первая версия задачи максимизации прибыли фирмы?

Что собой представляет вторая версия задачи максимизации прибыли фирмы?

Сформулируйте задачу максимизации объема выпускаемой продукции при лимите на приобретение ресурсов (факторов) на аналитическом языке и на геометрическом языке (в случаях долговременного и краткосрочного промежутков).

Опишите аналитическое (для случая долговременного промежутка) и геометрическое (для случаев долговременного и краткосрочного промежутков) решение задачи вопроса 13.

Сформулируйте задачу минимизации издержек производства при фиксированном объеме выпускаемой фирмой продукции на аналитическом языке и на геометрическом языке (для случаев долговременного и краткосрочного промежутков).

Опишите аналитическое (для случая долговременного промежутка) и геометрическое (для случаев долговременного и краткосрочного промежутков) решение задачи вопроса 15.

Опишите взаимосвязь между задачами вопросов 13 и 15 (в случае долговременного промежутка).

Как определяется долговременная линия развития фирмы?

Как определяется краткосрочная линия развития фирмы?

5

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |