Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

5.2. модели дуополии

Рассмотрим базовые модели дуополии при одинаковых предпосылках. Пусть фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного спроса вида:

1 См., например: Gaskins D.W. Dynamic limit pricing: optimal pricing under threat of entry // Journal of Economic Theory, 1971, 3.

P=a~bQ, (5.7)

где а, Ъ — положительные константы; рыночный спрос Q складывается из объемов предложения первой и второй фирм (Q = q + q2) при цене Р.

Пусть также обе фирмы имеют равные условия по издержкам производства:

ТС/=ед, (5.8) где с — положительная константа.

Таким образом, предельные издержки равны средним для каждого дуополиста:

МС/ = АС/ = с. (5.9)

5.2.1. Модель Курно

Модель Курно — одна из классических моделей количественной олигополии. Аналитическая версия модели анализирует стратегическое взаимодействие фирм при нулевых предполагаемых вариациях:

^ = 0;^=0. (5.10) dq2 dqx

Это означает, что при решении задачи на максимум прибыли каждый дуополист рассматривает уровень выпуска конкурента как постоянный, и при данной предпосылке принимает решение об уровне своего выпуска.

Прибыли дуополистов определяются как разности между выручкой и издержками каждого из них:

П, =TR, - ТС,; (5.11)

П2 =TR2-TC2. (5.12)

При предпосылке, что им известна функция рыночного спроса (5.7), получим:

Ux=(a-bqx-bq2)qx -cqx; (5.13)

U2=(a-bqx-bq2)q2-cq2. (5.14)

Необходимое условие максимизации прибылей  дуополистов

(5.2) примет вид:

ягт

            l- = а- 2bqt -bq2-c = 0;            (5.15)

Ж 2 dq2

dq,

 

'■ = a-bq^-2bq2-c = 0.            (5.16)

 

Уравнения (5.15) и (5.16) задают линии реакции дуополистов и могут быть переписаны в виде:

41        2 2b

 

42        2і 2b

(5.17)

 

(5.18)

Равновесие на рынке дуополии Курно определяется в результате решения1 системы уравнений (5.17), (5.18):

Ч = Чг =

а-с ЗЬ

(5.19)

Графическая иллюстрация равновесия в модели дуополии Курно представлена на рис. 5.1. Линии реакции Курно R(q2) и Ф(<7і) соответствуют уравнениям (5.17) и (5.18).

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

а2П) а2п2

dq22

 

= -2b < 0;

 

= -2b < 0.

(5.20) (5.21)

 

1 Заметим, что решение имеет смысл лишь при а > с.

170

Значит, равновесные объемы выпуска q* и q*2 обеспечивают максимум прибыли для каждого дуополиста.

Можно доказать аналитически, что изопрофиты дуополистов Курно имеют вид, представленный на рис. 5.2.

 

Я2А

^Каждая изопрофита дуополиста Курно вогнута к оси, на которой отображается его выпуск. Для любого данного уровня выпуска конкурента существует единственный уровень выпуска дуополиста, обеспечивающий максимум его прибыли: соответствующие комбинации уровней выпуска дуополистов отображены на линиях реакции Rxiqi) и Riiqi)- Чем ближе расположена изопрофита к оси выпуска дуополиста, тем большему уровню прибыли она соответствует. Например, изопрофиты П} и П{2 соответствуют максимальному

уровню прибыли, которую способен получить дуополист, если его конкурент уйдет с рынка. Такая ситуация соответствует случаю монополии с равновесным уровнем выпуска

Я,

а-с

(5.22)

 

Подпись: (5.23)
Подпись: (5.24)

Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

#=Я+Ч=Щ?- (5-25)

при равновесной цене

* _а + 2с         /с <>|гч

Р = —-— ,      (5.26)

что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

п;=^1. (5.27) 9Ь

5.2.2. Модель Чемберлина

Аналитическая версия модели Э. Чемберлина основана на экономическом анализе рынка олигополии, сделанном в его монографии1, опубликованной в 1956 г. В отличие от модели Курно в модели Чемберлина дуополист принимает во внимание тот факт, что уровень выпуска конкурента будет изменяться в ответ на его собственные действия. В результате дуополисты примут наиболее выгодные для себя решения, не вступая в открытый сговор.

Рассмотрим возможный алгоритм стратегических взаимодействий в дуополии Чемберлина. Предположим, что на первом шаге, для примера, первая фирма ведет себя на рынке как монополист. Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает монопольный уровень выпуска:

Яі=вт=£ї^' (5,28) При этом она получит монопольную прибыль

2

П1=ПЯ,=^-     (5.29)

при монопольной цене

1 Перевод книги Э.Чемберлина «Теория монополистической конкуренции» вышел в издательстве «Экономика» в 1996 г. в серии «Экономическое наследие».

Рт=Я^£'          (5.30)

Решение задачи при принятых предпосылках (5.7)—(5.9) проиллюстрировано на рис. 5.3. Линия DD' отображает линейную функцию рыночного спроса (5.7).

 

 

Рис. 5.3. Принятие решений в модели Чемберлина

На втором шаге вторая фирма принимает решение исходя из функции остаточного спроса Riiqi) на свою продукцию, предполагая, что выпуск первой фирмы не изменится. Функция Riiqi) представлена в виде отрезка AD' (см. рис. 5.3). Таким образом, вторая фирма фактически принимает решение как фирма-монополист в новой системе координат AQmD где уравнение функции остаточного спроса имеет вид:

а + с

■bq2

(5.31)

Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает уровень выпуска

#2 =

а-с 4Ь ' (5.32)

что составляет половину монопольного выпуска первой фирмы. В результате отраслевой выпуск составит

 

при понижении цены до

Q =

 

а + Ъс

р =

(5.33)

 

(5.34)

 

Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:

Щ=^-; (5.35)

 

П2=^1. (5.36)

Первая фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое уменьшит свою прибыль по сравнению с монопольной.

Уже на третьем шаге первая фирма осознает, что конкурент реагирует на ее действия, и уменьшает свой выпуск на величину выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.

На четвертом шаге вторая фирма принимает условия, предложенные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене. Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения. При этом дуополисты поделят рынок поровну:

Ч =42=^ (5.37) и получат одинаковую прибыль

П;=П;=^^, (5.38)

разделив монопольную прибыль между собой.

При введенных предпосылках об однородности продукции и о равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конкурентами.

Функция спроса примет вид:

p = a-2bq, (5.39)

где q{=q2=q .

Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по издержкам):

U = aq-2bq2 ~cq. (5.40) Необходимое условие экстремума

^L = a-4bq-c = 0 (5.41) dq определит равновесные уровни выпуска фирм (5.37). Они будут соответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного условия экстремума:

d2n

dq2

LL = _46<0.

2

(5.42)

Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чемберлина могут установить на рынке монопольную цену.

5.2.3. Модель Стэкльберга

Решение проблемы асимметричной конкуренции в условиях количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбер-гом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер—последователь».

Если фирма первой принимает решение об уровне выпуска, то она считается лидером по объему выпуска. Лидер в модели Стэкльберга информирован о поведении последователя. Последователь осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска лидера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно.

Пусть для определенности в модели количественной дуополии первая фирма является лидером, а вторая — последователем. При введенных предпосылках (5.7)—(5.9) решения модели для лидера и последователя не изменятся, если фирмы поменяются ролями.

Задача максимизации прибыли фирмы-последователя аналогична ситуации принятия решений в модели Курно [см. (5.12), (5.14), (5.16)], что определяет вид линии реакции і?2(#і) второй фирмы, соответствующий условию (5.18):

(5.43)

Последователь рассматривает уровень выпуска лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой предполагаемой вариации: —— = 0 .

dq2

Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-последователь будет определять уровень своего выпуска в зависимости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли.

Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая определяет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами модели:

dq2

(5.44)

 

Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-лидера [см. (5.11), (5.13)] при такой предпосылке примет вид:

■ a~ — bq{ -bq2 -с = 0.

(5.45)

 

Уравнение (5.45) задает линию реакции лидера по Стэкльбергу и может быть переписано в виде:

2     , 2(а-с)

qx =     q7 +     .

(5.46)

Равновесие в модели дуополии Стэкльберга в сравнении с равновесием в модели дуополии Курно представлено на рис. 5.4. Линия реакции Курно R{ (q2) для первой фирмы при этом поворачивается впра-

во—вверх вокруг точки с координатами (0;

а-с

) и занимает положе-

ние R}(q2). Этот поворот обусловлен изменением структуры задачи

максимизации прибыли для фирмы-лидера. Учитывая значение предполагаемой вариации (5.44), лидер фактически решает задачу на условный экстремум, максимизируя прибыль (5.13) при условии (5.18).

 

Рис 5.4. Равновесие в модели дуополии Стэкльберга в сравнении с равновесием в модели дуополии Курно

Зная, что фирма-последователь будет выбирать уровень выпуска, соответствующий одной из точек на ее линии реакции R2(qx),

фирма-лидер отдает предпочтение такой точке (комбинации уровней выпуска конкурентов), которая обеспечит ей максимально возможную прибыль. Имеется в виду точка касания изопрофиты П* и линии реакции R2(q) (см. рис. 5.4). При введенных нами предпосылках (5.7)—(5.9) только одна изопрофита фирмы-лидера будет иметь точку касания с линией реакции фирмы-последователя, а значит, равновесие в модели дуополии Стэкльберга можно определить однозначно.

Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно получить в результате решения системы уравнений (5.43), (5.46):

«Г=^г; <5-47>

я1=^г-. (5-48) 4Ь

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов Стэкльберга показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

з2п, _ з

= - + b<0; (5.49)

дц2х

3 п

            = -2b < 0. (5.50)

 

Значит, равновесные объемы выпуска q и q*2, представленные на рис. 5.4 точкой С,, обеспечивают максимум прибыли как для лидера, так и для последователя при принятых условиях их стратегического взаимодействия. Заметим, что линия реакции Rx(q2)

представляет наилучший для фирмы-лидера ответ на действия последователя.

Решение модели Стэкльберга можно найти, используя другой алгоритм. Подставив функцию зависимости q2 от q из уравнения (5.43) в функцию прибыли фирмы-лидера (5.13), получим

П, =-±bqf+2^-qx. (5.51)

 

Таким образом, лидер решает задачу максимизации прибыли на безусловной экстремум, где в процессе принятия решений он осознает, что отраслевой выпуск составит qx +q2(q)> т.е. учитывает реакцию последователя.

Необходимое условие экстремума:

дП]      ,     а-с _

—4- = -ftqr, +—^— = 0 (5.52)

dqx *

позволяет однозначно определить наилучшее решение фирмы-лидера1. Подставив найденный уровень выпуска первой фирмы в уравнение реакции (5.43) фирмы-последователя, получим равновесный уровень выпуска второй фирмы. Учитывая, что линия реакции представляет наилучший ответ на действия конкурента, равновесный уровень выпуска фирмы-последователя обеспечит ей максимум прибыли при заданных условиях взаимодействия.

Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

^а*     *     * Ъ(а-с) 4b

при равновесной цене

/=^с. (5.54)

При этом в соответствии с предпосылками рассматриваемой модели лидер получает прибыль в размере

П,=^, (5.55)

что в два раза превышает уровень прибыли последователя

П2=^1. (5.56) 2 16Ь

5.2.4. Борьба за лидерство

Модель, отражающая борьбу дуополистов за лидерство, является логическим развитием модели Стэкльберга. Разумно предположить,

Достаточное условие экстремума

подтверждает принятие

 

наилучшего решения.

178

что оба дуополиста могут вести себя как лидеры. Это означает, что в процессе принятия решений каждый из них считает себя лидером, а конкурента — последователем.

Аналитическая версия модели предполагает, что дуополисты максимизируют свою прибыль при условии, что конкуренты реагируют на действия друг друга в соответствии со своими линиями реакции Курно (см. (5.17), (5.18)).

В рассматриваемой нами модели при предпосылках (5.7)—(5.9) значения предполагаемых вариаций будут одинаковыми:

^ = _1,^ = _1, (5.57) dq2      2   dqx 2

а необходимое условие максимизации прибылей дуополистов (вида (5.11)—(5.14)) примет вид1:

^L = a-^bqx-bq2-c = 0; (5.58)

 

            - = a-bqx-^bq2 -с = 0. (5.59)

dq2 2

Уравнения (5.58) и (5.59) задают линии реакции дуополистов Rx(q2) и R2(qx) в случае их борьбы за лидерство и могут быть записаны в виде:

 

3 5b

?2=_2 2(а-с) 2     3 1 Зі

Равновесие на рынке определяется в результате решения системы уравнений (5.60), (5.61):

*     »   2(а - с) .. ...

Я = Чг = и    • (5.62)

JD

1 Уравнение (5.58) в точности совпадает с уравнением (5.45) для фирмы-лидера в модели дуополии Стэкльберга. Уравнение (5.59) можно получить по аналогии в случае лидерства второй фирмы.

Рассмотренные случаи равновесия в моделях количественной дуополии (кроме модели Чемберлина) представлены на рис. 5.5.

Точка К соответствует равновесию в модели Курно, точки С и С2 представляют равновесие по Стэкльбергу в случаях, когда лидирует первая или вторая фирма соответственно, точка Б иллюстрирует равновесие в модели дуополии при условии борьбы за лидерство.

Равновесные уровни выпуска дуополистов в точке Б одинаковы, поскольку фирмы производят однородную продукцию, имеют равные условия по издержкам производства и придерживаются одинаковых стратегий поведения на рынке.

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

52П, з

= - + b<0; (5.63)

dq2x

а2п2 _ з

■ = -^-b<0. (5.64)

 

Следовательно, фирмы получат наибольшую прибыль при заданных условиях их стратегического взаимодействия.

Равновесные уровни выпуска в модели борьбы за лидерство обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

«      » *

4(a-c) 5b

(5.65)

при равновесной цене

 

что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

2(а-с)2 25Ь

(5.67)

5.2.5. Модель Бертрана

Одна из классических моделей ценовой олигополии была предложена Ж. Бертраном как альтернатива стратегического поведения по отношению к модели Курно. В качестве эндогенных переменных модели были предложены цены, а не объемы выпуска продукции.

Дуополисты Бертрана вырабатывают решения независимо друг от друга, принимают уровень цены конкурента как данный, и при такой предпосылке выбирают решение об уровне своей цены.

Рассмотрим модель дуополии Бертрана при предпосылках (5.7)—-.(5.9). В процессе решения модели определяется рыночная цена, а не выпуск, поэтому перепишем функцию рыночного спроса в виде

Q = ---p.

ъ ъ

(5.68)

Дуополисты по-прежнему решают задачу на максимум прибыли в виде (5.11), (5.12). Однако по сравнению со случаем количественной дуополии структура функции прибыли у каждого дуополиста изменится.

Проанализируем для начала стратегию поведения монополиста Бертрана. В условиях ценовой монополии фирма максимизирует прибыль вида

 

(5.69)

Необходимое условие экстремума

с/П _ 2 а + с dp      Ъ Ъ

определяет уровень монопольной цены

 

= 0

 

(5.70)

Подпись: а + с 2

Рт =

(5.71)

а следовательно, монопольный уровень выпуска

(5.72)

Достаточное условие экстремума

d2U 2

< О (5.73)

ф2 *

показывает, что монополист получит максимальную прибыль1 в размере

{а-с)2

 

Если на рынке дуополии установлена монопольная цена, то было бы разумно считать, что дуополисты поделят рынок между собой. Однако они принимают решения независимо друг от друга.

Пусть для определенности первый дуополист установил цену на уровне монопольной, т.е.

Рх=Рт=£^- (5-75)

В этом случае его конкурент предпочтет понизить цену. Таким образом, покупатели, привлеченные более низкой ценой, перейдут ко второму дуополисту, а значит, он должен обеспечить весь рыночный спрос

 

Q = t-tP2- (5Л6)

Ъ о

Возникает вопрос: На сколько нужно понизить цену по сравнению с монопольной, чтобы обеспечить себе максимальный уровень прибыли? Пусть

Рг=Рт-^ = ^-^ (5.77)

где £ > О.

Тогда второй дуополист Бертрана решает задачу максимизации прибыли

Заметим, что условия (5.71), (5.72), (5.74) в точности соответствуют условиям (5.23), (5.22), (5.24), т.е. решение монополиста не изменяется при изменении эндогенной переменной модели.

Щ=(Р2~с)^-±р2^ (5.78)

при условии (5.77). Нужно выбрать такое значение £ > О, которое обеспечит максимум прибыли

n2=-i^+^£L. (5.79) 2     b 4b

Необходимое условие экстремума

^=-т^° <5-80>

ас, Ъ

показывает, что максимум прибыли достигается только при £,

равном нулю, т.е. когда второй дуополист становится монополистом на рынке1.

Анализ позволяет сделать вывод, что дуополист Бертрана должен стремиться к понижению цены на бесконечно малую величину £ .

Это обеспечит ему захват рынка и максимальную прибыль, приблизительно равную монопольной.

Очевидно, что конкурент не захочет мириться с такой ситуацией. Тем более что он тоже имеет возможность уменьшить цену, установленную на рынке, переманить покупателей к себе и обеспечить себе максимальную прибыль при данных условиях принятия решения.

Существует ли предел понижения цены? Для примера: второй дуополист будет понижать цену, пока у него есть возможность получать положительную прибыль, т.е. при

0<£<£^£. (5.81)

Наибольшее из возможных значений \% , равное        , приведет к

понижению цены до уровня предельных и средних издержек. Дальнейшее понижение цены теряет смысл, хотя в принципе возможно. Ситуация, когда фирмы снижают цены, получая при этом отрицательную прибыль, получила название «гиперконкуренция».

Серия последовательных уменьшений цены конкурирующими на рынке фирмами получила название ценовой войны. Ценовая война продолжается до тех пор, пока цена не снизится до уровня средних издержек.

Достаточное условие экстремума

-< о

подтверждает, что полу-

ченная прибыль будет максимально возможной.

Равновесие на рынке дуополии Бертрана достигается, когда ни один из конкурентов больше не может получать выгоды от снижения цены, т.е. при цене, равной средним и предельным издержкам:

р*=с. (5.82)

Это значит, что дуополисты независимо друг от друга назначают одну и ту же цену, обеспечивая рыночный спрос на уровне:

 

Ъ

что соответствует ситуации совершенной конкуренции. Конкуренты не получают положительную прибыль (П1 =П2 =0) при любом

распределении рыночных долей. Принято считать, что в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равных условиях по издержкам производства дуополисты Бертрана в условиях равновесия разделят рынок между собой:

Чх=Чг=^Г- (5-84)

Предпосылка о разделе рынка дуополии Бертрана при равенстве назначаемых конкурентами цен, как правило, принимается при построении кривой спроса отдельного дуополиста. Спрос на продукцию отдельной фирмы формируется следующим образом:

Dipt),    если Pi<Pj -D(pi  если  Pi = pj; (5.85) 0,       если   pf > pj,

где Q = D(p) — функция рыночного спроса.

Например, функция спроса на продукцию первого дуополиста в рассматриваемой нами модели имеет вид:

Подпись: ^7"7А I,  если  р=р2; (5.86)

 

А(А>Л):

а 1

т--/?ь     если  рх <р2;

Ъ Ъ

1

ь ъ

0,         если   рх > р2

 

Она представлена на рис. 5.6 в виде трех фрагментов. Если рх > р2,

то все покупатели уйдут к конкуренту, поэтому вертикальный отрезок на оси 0р соответствует нулевому уровню выпуска первого дуополиста.

Если дуополисты назначат одинаковую цену, то они поделят рынок поровну, что соответствует точке F (см. рис. 5.6). Если же рх < р2, то весь рыночный спрос будет обеспечивать первый дуопо-

лист. В этом случае имеет смысл рассматривать участок РМ кривой рыночного спроса В(р), поскольку безубыточность производства предполагает, что цена должна быть не ниже средних издержек.

Очевидно, что при фиксированной структуре функции спроса дуополиста Бертрана ее конфигурация в момент принятия решения зависит от уровня цены, установленной на предыдущем шаге. Предположим, что при цене рх - р2>с, когда равновесие неустойчиво, дуополист в поиске наилучшего для себя решения анализирует фрагмент РМ функции спроса.

Можно считать, что на данном этапе принятия решения функция спроса первого дуополиста имеет вид:

Ч =а, -Р,р, + ЧРп (5.87)

где а,, р! и У] — положительные константы.

Естественно, что при понижении цены рх первый дуополист

увеличивает свой уровень выпуска, а понижение цены конкурента, наоборот, вызывает снижение уровня выпуска первого дуополиста. Следует заметить, что определение конкретных значений а]? р] и

У] вызовет немалые трудности. К тому же, значения параметров могут изменяться на различных этапах движения к равновесию.

Если дуополист Бертрана может оценить функцию спроса на свою продукцию, то его функция прибыли (5.4) примет вид:

Пі =(а-с)(а{     + ухр2).

(5.88)

В силу предпосылок модели дуополисты Бертрана принимают решения при нулевых предполагаемых вариациях:

Фі dp2 = 0.

(5.89)

Таким образом, необходимое условие максимизации прибыли

ап.

= -2$iPi +а, +cpj +у!/?2 =0

Фі

 

 

(5.90)

задает линию реакции первого дуополиста R(pi)'.

Уі n  , <*i+cPi 1    2Э, ^ 2Э,

 

 

(5.91)

По аналогии, оценив функцию спроса для второго дуополиста:

Яі =а>г-$2Рг+ЧіР\> (5-92) можно получить его линию реакции R2(PY

(5.93)

У2 „ , а2+ср2 Pi =~7ГР +-

"2р2 2р2

Предложенная аналитическая версия модели была выбрана, потому что она помогает понять, почему линии реакции дуополистов Бертрана возрастают в отличие от линий реакции Курно.

о

Графическая иллюстрация равновесия в модели дуополии Бертрана представлена на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Равновесие в модели дуополии Бертрана: случай дифференцированных продуктов

Следует заметить, что функции спроса дуополистов Бертрана вида (5.87), (5.92) характерны для случая дифференцированных

продуктов. Поэтому равновесное решение (p*;pl) достигается, когда цены превышают предельные издержки (см. рис. 5.7).

Рассмотрим случай, когда дуополисты Бертрана производят однородную продукцию. Установление цены ниже средних издержек приводит к убыточности производства, поэтому линии реакции дуополистов не определены, если уровни цен ниже АС = МС = с.

Равновесие в модели дуополии Бертрана для случая однородного продукта показано на рис. 5.8.

 

р2 А

 

р*2=С

Линия реакции Rx (р2) первого дуополиста проходит через точку (с; с), а при всех значениях р2>с лежит чуть выше биссектрисы координатного угла, поскольку во всех этих случаях первый дуопо-лист устанавливает цену рх - р2 - £, которая чуть ниже цены конкурента. Аналогично построена линия реакции R2(px) второго дуополиста, которая также проходит через точку (с; с), а при всех рх > с лежит чуть ниже биссектрисы координатного угла.

Линии реакции Rx (р2) и R2 (рх) проведены параллельно биссектрисе координатного угла, учитывая, что § является бесконечно малой

величиной (см. рис. 5.8). В частности, в определенные моменты принятия решений линии реакции могут совпадать с биссектрисой координатного угла, а значит, возможны случаи установления одинакового уровня цен выше предельных и средних издержек (рх = р2 > с).

Если принять, что значение £ нужно выбирать тем выше, чем больше превышение цены конкурента над предельными и средними издержками, то линии реакции дуополистов Бертрана для случая однородного продукта будут идентичны линиям реакции для случая дифференцированных продуктов, когда последние расположены выше точки В (см. рис. 5.7).

Равновесие в модели дуополии Бертрана достигается в точке пересечения линий реакции конкурентов. При данных предпосылках такая точка существует и определяется однозначно. В точке равновесия дуополисты Бертрана получают максимально возможную прибыль1, хотя в случае однородного продукта эта максимально возможная прибыль равна нулю.

Ситуацию равновесия в модели олигополии Бертрана называют парадоксом Бертрана. Трудно предположить, что при небольшом числе фирм на рынке (в том числе при дуополии) можно получить конкурентную цену, т.е. фирмы не в состоянии обеспечить себе положительную прибыль, производя однородную продукцию.

Для любого данного уровня цены конкурента существует единственный уровень цены дуополиста, обеспечивающий максимум его

1 Для случая дифференцированных продуктов достаточное условие экстремума подтверждает, что принято наилучшее решение.

Модель дуополии Бертрана для случая дифференцированных продуктов можно также использовать, чтобы показать, что изопро-фиты дуополистов Бертрана имеют вид, представленный на рис. 5.9. Каждая изопрофита дуополиста Бертрана выпукла к оси, на которой отображается уровень его цены.

прибыли. Соответствующие комбинации цен образуют линии реакции R{(p2) и R2(j>)<

Конфигурация изопрофит означает, что в случае, когда конкурент понижает уровень своей цены, дуополист также должен понизить свою цену, по возможности оставаясь на той же изопрофите, т.е. сохраняя прежний уровень прибыли. Чем ближе расположена изопрофита к оси цены дуополиста, тем меньшему уровню прибыли она соответствует.

Равновесие в модели дуополии Бертрана для случая однородного продукта (см. рис. 5.8) предполагает, что изопрофиты обоих дуополистов, проходящие через точку В(с; с), соответствуют нулевому уровню прибыли.

5.2.6. Модель Эджуорта

Одно из решений парадокса Бертрана предложил Ф. Эджуорт, введя ограничения на величину производственной мощности дуополистов. В терминах нашей модели введение ограничений на производственные мощности фирм означает, что их затраты на производство дополнительной единицы продукции сверх существующего уровня мощности бесконечно велики.

Фрэнсис Эджуорт впервые обратил внимание специалистов на то, что введение ограничений на производственные мощности фирм может привести к тому, что единая равновесная цена не будет установлена, т.е. статическое равновесие по Бертрану может стать недостижимым. Однако, как показывает дальнейший анализ, результат функционирования рынка будет существенно зависеть от величины ограничений на производственные мощности фирм.

Проиллюстрируем ситуацию на следующем примере. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 рынок дуополии находится в состоянии равновесия по Бертрану (5.82)—(5.84), т.е. дуополисты независимо друг от друга назначили одну и ту же цену

р0=с и разделили рынок пополам: qo = fto == ^■—^ > обеспечивая

рыночный спрос на уровне Q0 =#іо+#2о =^~^. При выбранных

предпосылках это соответствует ситуации совершенной конкуренции: дуополисты не получают положительную прибыль (Пю = П20 = 0) при любом распределении рыночных долей. Пусть мощности дуополистов ограничены как раз на уровне половины рыночного спроса при цене, равной предельным издержкам:

Это ограничение определяет вид кривой предельных издержек (рис. 5.10): она параллельна оси абсцисс при объемах выпуска, не превышающих qk, и параллельна оси ординат при объеме выпуска на уровне qk.

Развивая идею ценовой олигополии Бертрана, Эджуорт показал, что введение ограничений на величину производственной мощности приводит к изменению стратегического поведения фирм на рынке. В процессе анализа существенно использовались две предпосылки. Первая уже была введена в модели Бертрана: в модели дуополии предполагается, что при равенстве назначаемых конкурентами цен каждый дуополист будет обеспечивать половину рыночного спроса при данной цене. Вторая предпосылка касается структуры процесса принятия решений, если один из субъектов рынка не захочет придерживаться установленной на рынке цены.

Предположим, что один из дуополистов решает повысить цену на свою продукцию. В модели Эджуорта такое решение возможно, поскольку его конкурент не сможет увеличить свою производственную мощность. Значит, часть покупателей будет вынуждена покупать продукцию по более высокой цене, формируя остаточный спрос. Вторая предпосылка утверждает: если один из дуополистов работает на полную мощность по установившейся на рынке цене, но рыночный спрос полностью не удовлетворен, то второй дуополист будет максимизировать свою прибыль, действуя как монополист в отношении остаточного спроса.

Рассмотрим механизм стратегического взаимодействия дуополистов Эджуорта при предпосылках (5.7)—(5.9). Пусть условно в момент времени / - 1 второй дуополист продолжает работать на полную мощность при цене, равной предельным издержкам:

Ри=с; Я2і=^- (5.95)

Первый дуополист решает повысить цену на свою продукцию и выбирает уровень цены исходя из функции остаточного спроса:

Л,(р) = 2Ы-?*=(|-^)-^р (5.96)

Таким образом, в момент времени t = 1 функция остаточного спроса на продукцию первого дуополиста примет вид:

Яп-^Рп, <М7> что позволяет определить функцию совокупного дохода

та,=(я±£-А.(5.98)

для которой из условия (5.97) получена обратная функция остаточного спроса:

Ри = ~~~^>'Чи- (5.99) Функция прибыли первого дуополиста

Ъ\=~-Чп-Ъчх-Щп (5.Ю0) и необходимое условие экстремума

11 - а-^—2Ьдп =0 (5.101)

 

позволяют установить оптимальный объем выпуска

д"=£йГ<дк (5Л02)

и уровень цены

Ри =^Г£. (5.ЮЗ)

 

обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста1. При а > с, когда решение модели имеет смысл, уровень цены, установленный первым дуополистом, превысит уровень предельных и средних издержек (ри >с). При этом фирма получит положительную прибыль в размере

ПИ=^1. (5.104)

Первый дуополист, поставляя на рынок в два раза меньше продукции, чем его конкурент, выигрывает в конкурентной борьбе за счет того, что первым изменил стратегию своего поведения (см. рис. 5.10).

Отраслевой выпуск в условный момент времени t — 1 составит

а =?п+?21=^^. (5-105)

что соответствует уровню рыночного спроса при цене ри. Это означает, что второй дуополист мог бы установить ту же цену и обеспечить себе прибыль, вдвое превышающую прибыль, полученную конкурентом. Однако, такая ситуация невозможна, ибо противоречит первой предпосылке модели. При выборе одного и того же уровня цены дуополисты должны обеспечивать рыночный спрос в равных долях и получать одинаковую прибыль. Покажем, что такое равновесие не будет устойчивым при цене рх!.

Дело в том, что у второго дуополиста есть гораздо более выгодный вариант стратегического решения. Пусть условно в момент времени t — 2 второй дуополист повышает цену до уровня

 

где £ — бесконечно малая величина (^ > 0).

В таком случае он, по-прежнему работая на полную мощность и выпуская в два раза больше продукции, чем его конкурент, действительно сможет обеспечить себе положительную прибыль:

1 Достаточное условие экстремума нято наилучшее решение.

192

 

2

'М,1|--2/х0

Фп

 

J

подтверждает, что при-

п«-^-<^г) <5107>

которая фактически (при £ -» 0) почти в два раза превысит уровень

прибыли (5.104) первого дуополиста.

Очевидно, что стратегия поочередного уменьшения цены или ценовая война в поисках преимущества первого хода характерна для модели дуополии Эджуорта. Возникает вопрос: До какого уровня выгодно снижать цену?

Например, в условный момент времени t = 3 первый дуополист поставит перед собой цель выбрать такой уровень цены ри, который при полной загрузке производственных мощностей фирмы должен обеспечить ей положительную прибыль не менее достигнутого уровня (5.104). Неравенство

 

определяет предел понижения цены:

р13>^±2£. (5.109)

о

Если ценовая война снизит цену первого дуополиста до предельного уровня, когда он обеспечит себе прибыль в размере (5.104), то второй дуополист в условный момент времени t = 4 окажется перед выбором.

Во-первых, он может максимизировать свою прибыль по функции остаточного спроса. В этом случае он попадет в ситуацию, аналогичную той, в которой находился его конкурент в условный момент времени t= 1. Таким образом, дуополисты обеспечат себе равную прибыль, однако производственные мощности второго будут загружены только наполовину.

Во-вторых, он может продолжить ценовую войну, назначив цену

/>24=iLir£- 4- (5.110)

О

В этом случае, работая на полную мощность, он сможет обеспечить себе прибыль в размере

П,4 = <£=£>1-/«^4 (5.111) 24      166     2Ь )

что ниже возможного уровня (5.104). При этом первый дуополист не потеряет даже часть своей прибыли, если примет решение максимизировать прибыль по функции остаточного спроса.

В-третьих, второй дуополист может принять цену, установленную конкурентом. В этом случае каждый дуополист будет обеспечивать половину рыночного спроса:

014 =Я24 = —^7—> (5.112) получая равную прибыль в размере

П,4=П24 = 7(^)2, (5.113)

что также соответствует понижению достигнутого уровня прибыли.

Очевидно, что первая стратегия принятия решений является наиболее выгодной для второго дуополиста. Однако она предполагает повышение цены до уровня (5.103) со всеми вытекающими отсюда последствиями. Ценовая война начинается вновь. Равновесие в модели Эджуорта при принятых предпосылках не достигается.

В силу введенных предпосылок об однородности выпускаемой продукции и о равных условиях по издержкам производства оптимальные ценовые стратегии фирм также будут одинаковыми:

£±2с   при р.<Я±І£.

Рі=   4 J7c (5.И4)

pjs   при Pj>sjjul,

т.е. дуополист максимизирует прибыль по функции остаточного спроса, если цена конкурента не превышает предел понижения цены, и включается в ценовую войну, если цена конкурента установлена выше предельного значения.

Для случая, когда мощности дуополистов ограничены половиной рыночного спроса при цене, равной предельным издержкам, ценовая война будет оптимальной стратегией, если цены, выбираемые дуополистами, будут колебаться в пределах интервала:

а + 7с. а±3с (5Л15)

8          4 J

Возникает вопрос: Каким образом ограничение производственной мощности дуополистов может повлиять на размах колебания рыночной цены в процессе ценовой войны в модели Эджуорта?

1 При цене, равной предельным издержкам, или выше предельных издержек, ко, . а-с гда р-а-ох>с, параметр х не может превышать ——.

Предположим, что производственные мощности дуополистов в каждый момент времени ограничены на уровне х единиц продукции1. Пусть в условный момент времени / = 1 второй дуополист работает на

полную мощность при цене, равной предельным издержкам:

Р2=с'>   Чі=х- (5.116)

В соответствии с оптимальной ценовой стратегией первый дуополист максимизирует свою прибыль по функции остаточного спроса

R\{p) = Q{p)-x. (5.117)

Уже описанный алгоритм принятия решений позволяет определить оптимальный объем выпуска1

„ -х qu~~2b~~2

и уровень цены

(5.118)

Ри =^-±-Ьх, (5.119) обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста в размере

Пи=(а~С-Ьх) (5.120) 11 4Ъ

Обратим внимание на то, что мощности будут загружены не в полной мере только при х >       . Но на данном этапе анализа нас интере-

ЗЬ

сует предел снижения цены, который можно определить из неравенства

(а-с-Ьх)2

(Р]-с)х>±         тг^-' <5Л21>

(a-c-bx)2       (а + с-Ьх) ■+■ с, ~~

В результате решения получаем интервал колебания цен:

 

(5.122)

4Ьх

1 Первый дуополист всегда будет производить qu >0 единиц продукции при це-

а-с

не р,| >с, если параметр х будет строго меньше величины ^

Размах колебания рыночной цены в процессе ценовой войны дуополистов Эджуорта определяется разностью между верхней и нижней границами интервала колебания цен и может быть представлен в виде функции от параметра х:

Размах колебания рыночной цены равен нулю только в двух случаях.

Во-первых, при л: = а~~с , когда, максимизируя прибыль по

Ъ

функции остаточного спроса, конкурент не сможет выбрать цену выше уровня предельных и средних издержек. Это фактически означает, что ограничение на производственные мощности в модели отсутствует и дуополисты Эджуорта превращаются в дуополистов Бертрана. Равновесие в модели наступает, когда каждый дуополист устанавливает цену на уровне предельных и средних издержек, не обеспечивая себе положительную прибыль.

а-с

ЪЬ

Во-вторых, размах колебания рыночной цены равен нулю при

Это означает, что при повышении цены до уровня

 

р = Я±І£ (5Л24)

 

каждый дуополист будет работать на полную мощность, обеспечивая половину рыночного спроса (при данной цене) и получая одинаковую с конкурентом положительную прибыль в размере:

П, =П2 = (а~с)2 . (5.125)

Понижение или повышение цены неминуемо приведет к уменьшению прибыли, а следовательно, убыточно для дуополистов. Таким образом, парадокс Бертрана удалось решить, поскольку при

х =     ^ в модели Эджуорта достигается равновесие. При этом рав-

ЪЪ

новесная цена превышает предельные и средние издержки, а дуополисты обеспечивают себе положительную прибыль. Функцию (5.123) можно записать в другом виде:

д = (а-с)-1 4

(а-сУ ЪЪх + -

Ьх

 

)

(5.126)

Это позволяет выявить зависимость размаха колебания рыночной цены от ограничения на производственную мощность на интервале изменения параметра х

 

где размах колебания рыночной цены существует (А > 0).

 

Функция f(x) = — 4

3bx + - J

bx

принимает наименьшее зна-

чение при условии ЗЬх- ——^—, когда х= а ,£. Таким образом,

bx bS

при х є

а-с. а — с

ЗА ■ бТз

размах колебания рыночной цены увеличи-

вается   и   достигает   своего   максимума   при 'х = -*Ц=-.' При

6V3

а-с. а-с

размах колебания рыночной цены уменьшается, а

его границы по мере сужения интервала принимают значения, близкие к уровню средних и предельных издержек дуополистов.

Именно при х -> £z£ модель Эджуорта постепенно превращается

b

в модель Бертрана.

Мы выяснили, что ценовая война имеет место в модели Эджуорта только при ограничении на производственные мощности дуополистов  на  уровне  qK = х,  который  изменяется  в пределах

 

3b b

При х = .£zl£ в модели достигается равновесие по Бертрану, b

когда цена устанавливается на уровне средних и предельных издержек,

а прибыль конкурирующих на рынке фирм равна нулю. При х — а"с

ЗЬ

в модели Эджуорта также достигается равновесие, но при этом цена превышает средние и предельные издержки, а конкуренты получают положительную прибыль.

Проанализирована ситуация, когда в процессе решения экономико-математической модели размах колебания рыночной цены существует (А> 0) или равен нулю (А = 0). Возникает вопрос: Каким будет решение модели, если ограничение на производственные мощности фирм не будет отвечать условию (5.127)? Очевидно, что в таком случае нельзя полностью использовать предложенный ранее алгоритм решения. Нужно разобраться, что скрыто за отрицательным значением размаха колебания рыночной цены (А < 0) при оставшихся пока без внимания уровнях ограничений на производственные мощности фирм.

Пожалуй, проще ответить на поставленный вопрос, когда ограничение на производственные мощности фирм превышает конкурентный уровень выпуска при цене, равной средним и предельным

издержкам, т.е. при х > а~с . В этом случае ограничение на произ-

Ъ

водственные мощности фирм фактически отсутствует. Если одна из фирм решит назначить цену выше уровня средних и предельных издержек, то для нее не останется ниши на рынке. Весь спрос будет удовлетворен фирмой-конкурентом. Угроза банкротства серьезнее, чем возможность кратковременного выигрыша, повлияет на принятие стратегических решений фирм. Ценовая война бессмысленна. Формальное решение задачи на остаточном спросе по предложенному выше алгоритму также не имеет смысла. Оно приведет к отрицательному значению для объема выпуска фирмы, решившей назначить более высокую цену. Фактически такая ситуация эквивалентна ситуации в модели Бертрана, когда ограничение на производственные мощности фирм отсутствует. Это означает, что при

х> а~с модель Эджуорта превращается в модель Бертрана и на

Ъ

рынке дуополии достигается статическое равновесие по Бертрану.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда ограничение на производственные мощности фирм колеблется в интервале

0<х<^=^~. (5.128) ЪЬ

Пусть в условный момент времени t = 1 второй дуополист работает на полную мощность при цене, равной предельным издержкам, т.е. выполняются условия (5.116).

В соответствии с оптимальной ценовой стратегией первый дуополист выбирает уровень цены исходя из функции остаточного спроса (5.117). Описанный ранее алгоритм принятия решений формально предлагает в качестве оптимального объем выпуска (5.118), который превышает уровень располагаемых фирмой производственных мощностей:

аи = ^_z_£_*>JC приО < х<^=^-. 11     2Ъ     2 ЪЬ

Это означает, что точка локального экстремума не принадлежит отрезку — области изменения переменной модели:

диф9х]. (5.129)

Таким образом, максимум прибыли первого дуополиста в размере

П] і = (а - с) х - 2Ьх2 (5.130)

достигается на одном из концов отрезка, когда фирма работает на полную мощность при цене

Р\— а — 2Ьх. (5.131)

Если возможна ценовая война, то предел снижения цены можно определить из неравенства

(р2 - с) х> (а - с) х - 2Ьх2. (5.132)

При этом получается, что цену понижать невыгодно, поскольку

Pi>a — 2Ъх = р\. (5.133)

Условия (5.131), (5.133) показывают, что при оптимальных стратегиях поведения обе фирмы назначат одинаковую цену на уровне р = а — 2Ьх, будут работать на полную мощность и получать максимально возможную при данных условиях положительную прибыль П] = ТІ2 = (а — с) х — 2Ьх2. Ценовая война не имеет смысла. В модели Эджуорта достигается равновесие.

Таким образом, предпосылки об однородности производимой продукции1 и о неограниченности производственных мощностей дуополистов по существу оказались в основе парадокса Бертрана.

5.2.7. Лидерство по цене

Проблема асимметричной конкуренции в условиях ценовой олигополии может быть решена в рамках модели ценового лидерства. Стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер-последователь» в случае, когда эндогенной переменной является цена, а не объем выпускаемой продукции, вполне можно проиллюстрировать на примере дуополии2.

Если фирма принимает решение об уровне цены и именно эта цена устанавливается на рынке при молчаливом согласии конкурента, то фирма считается лидером по цене. Последователь принимает цену лидера как данную и при таком условии решает задачу максимизации своей прибыли.

1          Напомним, что в случае дифференцированных продуктов равновесие в модели Бертрана достигается, когда цены превышают предельные и средние издержки.

2          Модель ценового лидерства, которая больше известна, как модель доминирующей фирмы, предполагает наличие в отрасли значительного числа фирм небольшого размера, которые образуют конкурентное окружение и принимают цену доминирующей фирмы как данную. Однако в целях сравнительного анализа моделей на первом этапе исследования можно считать, что у доминирующей фирмы есть только один последователь.

Пусть для определенности в модели ценовой дуополии первая фирма является лидером по цене, а вторая — последователем. При введенных предпосылках (5.7)—(5.9) решение модели для лидера и последователя принципиально не изменится, если фирмы поменяются ролями.

Логика модели предполагает, что фирма-лидер знает функцию рыночного спроса Q{p) (5.68), а главное — может предсказать уровень выпуска последователя при каждом уровне цены. Проверим, как работает указанная предпосылка при условии, что функция издержек последователя линейна и имеет вид (5.8).

Чтобы сделать прогноз поведения последователя, лидер должен определить уровень выпуска конкурента, максимизирующий его прибыль при каждом заданном значении цены. Пусть лидер решил установить цену на уровне pL(L — индекс фирмы-лидера). Тогда

последователь при наших предпосылках будет максимизировать функцию прибыли вида

Uf=(pL-c)qf9 (5.134)

где / — индекс фирмы-последователя. Необходимое условие экстремума

 

            L = Pl -с = 0    (5.135)

dqf

определяет требование к уровню цены:

pL=c,   (5.136)

которое соответствует условию равновесия на рынке совершенной конкуренции (р = МС). Ситуация вполне объяснима, поскольку фирма-последователь оказалась в положении конкурентной фирмы. Различие лишь в том, что для конкурентной фирмы рынок формирует уровень цены, а для фирмы-последователя цену устанавливает фирма-лидер.

Очевидно, что при предпосылках (5.7)—(5.9) в модели возникают следующие проблемы. Во-первых, фирма-лидер не может выбрать уровень цены pL - с на основе решения задачи максимизации прибыли конкурента. В большинстве случаев это просто нелогично. Кроме того, цена, установленная на уровне средних и предельных издержек, не может обеспечить положительную прибыль как для фирмы-последователя, так и для фирмы-лидера. Значит, такое стратегическое поведение неоптимально.

Во-вторых, фирма-лидер не может предсказать уровень выпуска последователя, поскольку в данной ситуации ему не известна функция предложения последователя. Таким образом, не выполняется одна из основных предпосылок модели ценового лидерства и без дополнительной информации модель работать не будет.

Введем дополнительные предпосылки. Пусть существует ограничение на производственную мощность фирмы-последователя, т.е.

О < qf < х. (5.137)

Пусть также при любом заданном уровне цены фирма-последователь будет работать на полную мощность.

Таким образом, функция предложения фирмы-последователя имеет вид:

Sf(p) = x. (5.138)

Она параллельна оси ординат (рис. 5.11) и определяет q f = х при любом

значении цены, выбранном лидером. Очевидно, что в модели ценового лидерства х должно быть меньше уровня выпуска конкурентной отрасли

Qc - а~С' поскольку лидер устанавливает цену выше средних и пре-

Ъ

дельных издержек и для него должна существовать ниша на рынке.

Заметим, что работа на полную мощность будет обеспечивать фирме-последо

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |