Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

6.2. экономический рост

С течением времени в долгосрочном периоде реальный доход страны, как правило, растет. Бывают периоды, когда он падает (периоды рецессии), но в целом тренд в долгосрочном аспекте указывает на постоянный рост. Колебания вокруг тренда называются экономическим циклом. Одна из задач макроэкономики — понять причины этих краткосрочных колебаний. Однако не менее важная задача — объяснить причины роста реального выпуска в долгосрочном периоде, проанализировать различные сценарии этого роста, определить показатели, влияющие на рост, и выявить причины межстрановых различий в уровне жизни.

В этом параграфе будут рассмотрены две модели экономического роста — модель Харрода—Домара и модель Солоу. Модель Хар-рода—Домара анализирует различные сценарии экономического роста в зависимости от характера динамики совокупного потребления. Модель Солоу исследует влияние на экономический рост сбережений, роста населения и технологического прогресса.

6.2.1. Модель Харрода—Домара

В модели делаются следующие предпосылки.

Рассматривается закрытая экономика (NX = 0).

В экономике отсутствует государственный сектор (G = 0).

Инвестиции вводятся мгновенно, т.е. отсутствует инвестиционный лаг (АДО = 1(f)).

Отсутствует технический прогресс.

Прирост выпуска пропорционален приросту запаса капитала с коэффициентом пропорциональности —: AY(t) = — AK(t), где В —

В В

коэффициент приростной капиталоемкости ^В =     j , который

показывает прирост запаса капитала, необходимый для приращения выпуска на единицу, — является коэффициентом прирост-

В

ной капиталоотдачи: — = .

В АК

Коэффициент В и соответственно ~ не меняются во времени.

( Я0Л

Обозначим норму накопления в момент t через а,  а, =-

Y(t)

 

норму потребления через р.

Основное тождество национальных счетов в момент t имеет вид: У(/) = /(/) + С(/);

/(/) = AK(t) = BAY{t).

В непрерывном случае: /(/) = BY(t), отсюда

У(/) = ЯУ(/) + С(/). В модели Харрода—Домара рассматриваются три сценария экономического роста в зависимости от характера динамики потребления.

Случай 1. Потребление отсутствует, весь доход тратится на накопление

Эта гипотеза нереалистична, но позволяет дать оценку максимально возможного для данной экономики темпа роста доходов. При этом варианте at— 1; р,= 0:

Y(t) = BY(t). (6.8)

Решение (6.8) указывает на траекторию    изменения доходов в

этом случае:

—t

y(t) = y(0) qb . (6.9)

Из (6.9) вытекает, что -^^ = -L  т.е. максимально возможный

7(0 В

темп прироста дохода в случае, когда весь доход тратится на накопление, равен приростной капиталоотдаче. Поэтому — часто назы-

В

вают непрерывным «технологическим» темпом прироста дохода.

Случай 2. Уровень потребления не зависит от времени

Предполагается, что потребление неизменно во времени:

C(t) = С(0) = С0, С0 = const.

Тогда

Y(t) = BY(t) + C0. (6.10) Из решения уравнения (6.10) следует, что

7(0 = С0+(7(0)-С0)е*'. (6.11)

Условие (6.11) описывает траекторию роста дохода в случае, когда уровень потребления не изменяется во времени, тогда норма накопления

і

С0+(7(0)-С0)е*'

~ -7(')=1 Со

Y(t)

При / -> оо Y(t) -> оо и at -> 1, а (3, -> 0.

Темп прироста национального дохода pt в этом случае:

_ по   >(°>-q>) (бт

Pt Ш ~с           ( }

bL + (r(0)-C0)

 

Из (6.12) следует, что при / -> оо pt ->-i- . Иначе говоря, в преВ

дельном случае доля потребления уменьшается до нуля и темп прироста совпадает с непрерывным «технологическим» темпом.

С л у ч а й 3. Потребление растет с постоянным темпом г

Если

С(0 = С(0)е",

тогда

Y(t) = C(0)ert +BY(t).

Этот сценарий обычно рассматривается в трех вариантах.

■ Случай 3.1. Потребление растет с темпом, равным технологи-

ческому темпу прироста дохода: г = —,

В

тогда

У(/) = С0е* + BY(t). В этом случае траектория роста дохода имеет вид:

Г

 

(6.13)

Доход растет до тех пор, пока уровень накопления остается положительной величиной, так как если 1(f) < 0, то BY (t) < 0 и, следовательно, Y(t) < 0.

Для того чтобы определить интервал времени, в течение которого доход растет, необходимо решить уравнение:

1(f) = 0 => BY (f) = 0■ => Y (f) = 0.

Подпись: 7(0)Из (6.13) вытекает, что Y(t) = 0 при tx = В

-1

VPo J

, где -f-

Ро С(0)

Из (6.13) также можно получить, что Y(f) = 0 при t2 = В—.

Ро

ным темпом, равным технологическому темпу прироста, доход рас-

(

^    1 [, достигает своего максимального

■1

Таким образом, в случае, когда потребление растет с постоян-м темпом, равным тех]

тет в промежутке ]0; В

значения утах = С(0) е5' в момент ty=B

j_

Ро

-1

, а затем начинает

падать и становится равным 0 в момент ґ2 = В —

Траектории изменения дохода и накопления в случае 3.1 представлены на рис. 6.5.

 

Случай 3.2. Потребление растет с постоянным темпом, превышающим технологический темп прироста:

C(/) = C(0)er/, г>

1_ В'

тогда

= С(0) ert +BY(t). (6.14) Решение (6.14) показывает траекторию изменения дохода:

Y(t) =

Г(0)-

С(0) l-Br l-Br

(6.15)

Из (6.15) вытекает, что темп прироста дохода в первоначальный

7(0) а0 момент времени —-— равен —^.

7(0) В

Таким образом, первоначальный темп прироста дохода положителен. Однако первое слагаемое в (6.15) положительно, а второе — отрицательно, поэтому этот случай аналогичен случаю 3.1: сначала доход будет расти, а начиная с некоторого момента начнет падать и в итоге упадет до 0.

■ Случай 3.3. Потребление растет с постоянным темпом, меньшим, чем технологический темп прироста:

С(0 = С(0)ег/,

1

Г<В'

Это означает, что в (6.15) первое слагаемое может быть больше 0, меньше 0 или равно 0.

Случай 3.3.1. Темп прироста потребления меньше первоначального темпа прироста дохода.

Пусть в (6.15) 7(0)--^-> 0, тогда (-Вг)>^-9 1-Вг 7(0)

следовательно,

 

В

Таким образом, если темп роста потребления меньше темпа

прироста дохода в первоначальный момент времени г<—^ = р0,

В

то в (6.15) оба слагаемых положительны и доход неограниченно растет во времени.

При /-> оо а(/) -> 1, Р(/) -> 0, т.е. в предельном случае норма накопления равна 1, а потребления 0. Такой тип развития («накопление ради накопления») может быть целесообразным только на ограниченном отрезке времени.

Случай 3.3.2. Потребление растет с постоянным темпом, мень-

а ^-t

тим технологического темпа прироста и равным            C(t) = С(0) е 3 ,

В

тогда из (6.15):

Г«) = ^-Л';    ^ = (30=1-а0. і-а0 i0

 

Следовательно,         ^ = 7(0) и Y(t) = 7(0) е в ,

1-а0

/ч   /(/)    7(0)е* -С(0)е*     Л а 7(0) е в

Другими словами, в этом случае норма накопления постоянна, а темп прироста национального дохода прямо пропорционален этой норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоемкости.

Случай 3.3.3. Темп прироста потребления больше первоначального

темпа прироста дохода: — < г < — .

В В

Из (6.15) вытекает, что в этом случае доход в некоторый момент перестанет расти и затем уменьшится до нуля.

Таким образом, модель Харрода—Домара указывает на случай 3.3.2 как на наиболее разумный вариант экономического развития. При этом варианте потребление и накопление растут с постоянным темпом, причем темп прироста национального дохода также по-а0

стоянен и равен ——.

В

Из модели Харрода—Домара следует, что постоянного сбалансированного роста можно достичь двумя путями: либо в начальный момент выбирается норма накопления ао, и тогда ищут оптимальный темп роста потребления г, который будет равен

—; либо выбирается желаемый темп роста потребления г и тоВ

гда норма накопления, при которой можно достичь такого темпа, равняется

Интересно, что в этом случае потребление и доход в долгосрочном периоде растут с одинаковым темпом — и потребление соВ

ставляет постоянную часть от дохода, т.е. функция потребления совпадает с функцией Кейнса в долгосрочном периоде, когда средняя склонность к потреблению не меняется.

С помощью модели Харрода—Домара среди возможных вариантов развития определяется наиболее предпочтительный, однако она не объясняет детерминант экономического роста. Эти детерминанты подробно анализируются в модели Солоу.

6.2.2. Модель Солоу

Модель экономического роста Солоу является необходимой отправной точкой практически всех исследований экономического роста. С ее помощью выявляются причины временного и постоянного устойчивого роста экономики и существование межстрановых различий в уровне жизни населения.

В модели рассматриваются четыре переменные: Y — выпуск; К — капитал; L — труд и Е — эффективность труда одного работника, зависящая от состояния его здоровья, образования и квалификации. Переменная Е отражает уровень «знаний», накопленных в обществе, или трудосберегающий тип научно-технического прогресса, под влиянием которого повышается эффективность труда одного работника.

Выпуск Y может изменяться во времени только при изменении во времени факторов производства: К, L, Е. Изменение численности работников и эффективности труда Е всегда рассматриваютсясовместно: в каждый момент времени в экономике насчитывается L работников с возросшей эффективностью труда или возросшее число работников с постоянной (начальной) эффективностью труда (І-Е). Таким образом, выпуск описывается производственной функцией 7 = F(K, LE).

Относительно производственной функции предполагается:

несущественность влияния других факторов производства, в частности, земли и природных ресурсов;

постоянная отдача от масштаба. Экономически такая предпосылка соответствует достаточно большой экономике, для которой выигрыш от специализации уже исчерпал себя, и поэтому новые факторы производства используются тем же технологическим способом, что и уже существующие.

Последнее предположение позволяет перейти к производственной функции в интенсивной форме — в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью:

Подпись:
Обозначим £ =       — уровень капиталовооруженности одного LE

У

работника с постоянной эффективностью труда; у -      — произ-

LE

водительность труда одного работника с постоянной эффективностью труда. Получим зависимость производительности труда от уровня капиталовооруженности у =Лк)-

Таким образом, выпуск в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью зависит только от уровня капиталовооруженности и не зависит от масштаба экономики;

3) /'(*)>0;./'(*)<0; /(0) = 0.

Наиболее часто используется конкретный пример производственной функции, обладающей перечисленными свойствами, — производственная функция Кобба—Дугласа

F(K,LE) = Ka(LE)

0<а<1.

Описание модели

Основными предпосылками модели Солоу являются следующие:

Выпуск в экономике расходуется на потребление и инвестиции, государство отсутствует, экономика закрытая, так что основное тождество национальных счетов имеет вид: у — с + /, где с, / — соответственно потребление и инвестиции на единицу труда с неизменной эффективностью.

Все, что сберегается, инвестируется, т.е. инвестиции равны сбережениям. Одна единица инвестиций превращается без дополнительных издержек в одну единицу нового капитала. Лаг отсутствует. Сбережения пропорциональны доходу. Норма сбережения s задается экзогенно и постоянна во времени (0 < s < 1). Таким образом, / = sy = sj[k).

Понятия «население» и «рабочая сила» совпадают.

Существующий капитал изнашивается с нормой 5 в год. Тогда изменение запасов капитала АК определяется разностью общей величины инвестиций sY и износа капитала ЬК, т.е. АК= K(t) =sY — ЬК

В расчете на единицу труда с постоянной эффективностью уровень капиталовооруженности изменится на

 

аил ~ ил - д    - MQL(t)E(t)-K(t)L(t)E(t)-K(t)L(t)L(t) _

{) = т = * I WW) J =   {L(t)E(t)f =

 

Lif) E{t) где n - —— темп роста численности населения; g =       — темп L(t) E(t)

роста технологического прогресса. Таким образом,

Ak(t) = k{t) = sf(k(t)) -{n + g + b)k{t). (6.16)

Соотношение (6.16) является в модели ключевым. Оно утверждает, что величина изменения уровня капиталовооруженности одного работника с постоянной эффективностью труда определяется соотношением двух величин в расчете на одного работника — инвестиций sf (&(/)), фактически произведенных в экономике, и величины инвестиций, необходимых для того, чтобы сохранять достигнутый уровень к в условиях роста населения с темпом п, роста эффективности труда с темпом g и выбытием капитала с нормой б (вычитаемое в правой части (6.16)).

Таким образом, в экономике уровень капиталовооруженности к падает, если фактические инвестиции меньше, чем необходимые для сохранения уровня к, и возрастает, если s(j(k)) > (п + g + 8)к.

Вводится понятие устойчивого уровня к*, при котором величины фактических и необходимых инвестиций совпадают (рис. 6.6),

В устойчивом состоянии к* неизменно, производительность труда работника с постоянной эффективностью постоянна: у = fijc). Общий объем производства Y = y(LE) растет с темпом (п + g), а

у

производительность труда — = уЕ растет с темпом g, так же, как и

L

К   к* (LE)   , * „

уровень капиталовооружености труда — =          = к Е.

L L

Более подробная характеристика устойчивого состояния экономики приведена в табл. 6.1.

Рост произшдительности труда в устойчивом состоянии определяется исключительно темпом роста технологического прогресса (см. табл. 6.1).

В отсутствие технологического прогресса (т.е. при неизменной эффективности труда) для экономики с растущим населением в устойчивом состоянии уровень капиталовооруженности остается постоянным, производительность труда не меняется, общий выпуск и общий запас капитала растут с темпом, равным темпу роста населения п.

Если же отсутствуют и рост населения и технологический прогресс, то в устойчивом состоянии при постоянном уровне капиталовооруженности производительность труда, общий выпуск и общий запас капитала остаются неизменными.

Таким образом, причинами, определяющими рост общего выпуска и общего запаса капитала в устойчивом состоянии, являются увеличение численности населения и технологический прогресс, а устойчивый рост производительности труда и капиталовооруженности достигается только при наличии технологического прогресса.

Изменение численности населения влияет на величину устойчивого уровня капиталовооруженности, но не влияет на темпы роста производительности труда и капиталовооруженности в устойчивом состоянии.

Влияние изменения нормы сбережения

Предположим, что экономика находится в устойчивом состоянии: с устойчивым уровнем капиталовооруженности кх и соответствующей нормой сбережения sx. Пусть под влиянием внешних изменений произошло возрастание нормы сбережения до s2. Это приведет к увеличению устойчивого уровня капиталовооруженности до

к*2 у так как инвестиции при к* превысят уровень необходимых для поддержания к на прежнем уровне и капиталовооруженность начнет расти, пока не достигнет к.

Производительность труда -j- = Ef(k) будет расти в связи с ростом А: и с ростом эффективности труда Е, поэтому в переходный период темп роста производительности труда превысит g. Как только к достигнет к*2 темп роста производительности труда упадет до g.

Таким образом, увеличение нормы сбережения приведет к временному увеличению темпа роста производительности труда. Это изменение влияет на уровень капиталовооруженности и производительности, а не на темпы их роста в устойчивом состоянии.

Сравнение устойчивых состояний. Золотое правило

Благосостояние населения зависит не только от величины общего дохода, но и от его распределения на потребление и инвестиции. Увеличение s увеличивает к* и выпуск, но его влияние на потребление может быть двояким. Поэтому возникает вопрос: при каком уровне к* достигается максимум потребления?

Другими словами, найдем

max

s

при условии

с [k(s)] = (1 - s)y = f[k(s)] - (я + g + 5)k(s),

отсюда

|£ = [П*)-(* + * + 8)]|£.

OS OS

Возрастание s увеличивает к. Влияние же на величину потребления зависит от того, превысит ли предельная производительность капитала /'(к) величину (п + g + 5). Увеличение уровня капиталовооруженности на единицу увеличивает величину инвестиций, необходимых для того, чтобы капиталовооруженность сохранилась на новом, более высоком уровне, на (п + g + 5). Если предельная производительность капитала меньше величины (п + g + б), то прирост общего выпуска недостаточен для поддержания к на новом устойчивом уровне и, следовательно, потребление должно упасть, хотя экономика достигает нового устойчивого состояния. Если же предельная производительность капитала больше, чем (п + g + 5), то прирост общего выпуска превышает объем необходимых инвестиций, так что увеличиваются и инвестиции, и потребление. Если же f'(k) = (п + g + б), то это означает, что достигается максимально возможное потребление из всех возможных устойчивых состояний и небольшое изменение в уровне капиталовооруженности к никак не повлияет на величину потребления. Устойчивый уровень капиталовооруженности, при котором достигается максимально возможное потребление, называется уровнем, соответствуюпіим Золотому правилу накопления. Золотое правило накопления состоит в выборе нормы сбережений s, обеспечивающей достижение именно этого устойчивого состояния.

Геометрически это означает, что график fljk) и линия (п + g + Ъ)к имеют одинаковые наклоны в точке к** (рис. 6.8).

Если выпуск в экономике описывается производственной функцией Кобба—Дугласа Y - AKaLl~a, (0 < а < 1), то оптимальная норма накопления, соответствующая Золотому правилу, s = а.

Переход к устойчивому состоянию, соответствующему Золотому правилу

Возникает вопрос о развитии экономики, которая осуществляет переход от первоначального устойчивого состояния, не соответствующего Золотому правилу, к устойчивому состоянию с максимально возможным потреблением.

Случай 1. Первоначальный устойчивый уровень капиталовооруженности превышает уровень, соответствующий Золотому правилу

В этом случае проводится политика, направленная на снижение нормы сбережения до уровня, соответствующего Золотому правилу. Пусть происходит одномоментное снижение нормы сбережения. В этот момент резко вырастет потребление с, а инвестиции / упадут.

Экономика выходит из устойчивого состояния, так как фактические инвестиции / становятся меньше, чем необходимые для поддержания к на постоянном уровне. Поэтому к, а за ним и выпуск, падают до тех пор, пока не достигнут нового устойчивого состояния. Однако, поскольку новое устойчивое состояние соответствует Золотому правилу, уровень потребления в новом устойчивом состоянии будет более высоким, чем первоначальный (рис. 6.9).

У с; і f

У

Случай 2. Первоначальный устойчивый уровень капиталовооруженности меньше значения, соответствующего Золотому правилу

В этом случае проводится политика, направленная на повышение нормы сбережения, что влечет за собой увеличение выпуска и объема потребления в будущем. Однако в настоящем увеличение нормы сбережения приводит к резкому падению потребления и соответствующему росту инвестиций. Фактические инвестиции начнут превышать величину, необходимую для поддержания к на новом уровне. Поэтому и потребление, и накопление станут постепенно возрастать, пока не достигнут нового устойчивого уровня (рис. 6.10).

to

Время

Норма сбережения увеличилась Рис. 6.10. Влияние увеличения нормы сбережения на динамику у, с, і

Расчет источников экономического роста. Остаток Солоу

Для оценки вклада факторов производства в экономический рост в 1957 г. Р. Солоу было предложено использовать производственную функцию с постоянной отдачей от масштаба Y = AF(Kf L), где А отражает уровень развития технологии.

Изменения в уровне технологических знаний приводят к одинаковому увеличению предельных производительностей труда и капитала и поэтому часто интерпретируются как повышение совокупной производительности факторов производства.

Тогда изменения в выпуске A Y определяются изменениями факторов производства К, L, А:

AY = МРК • АК + MPL- AL + F(K,L) • АА,

(6.17)

где МРК, MPL — предельные производительности капитала и труда; ДАТ, AL, АА — изменения в величинах факторов производства и уровня технологии.

Из (6.17) путем преобразования можно получить:

AY _ МРК-К АК { MPLL AL , АА

Y         Y       К        Y      L     А '

(6.18)

Соотношение (6.18) означает, что темп прироста продукции равен сумме трех слагаемых:

 

1) темпа прироста капитала      , умноженного на долю капитале

л а в общем доходе;

2)         темпа прироста труда ~-, умноженного на долю труда в об-

щем доходе;

3)         темпа прироста совокупной производительности факторов —.

Отношения MPL-Z, и МРК-К МОГуТ рассматриваться как доли

дохода на труд и капитал в предположении, что в условиях совершенной конкуренции труд и капитал оплачиваются по своим предельным производительностям.

Если для оценки источников экономического роста в качестве производственной функции с постоянной отдачей от масштаба используют функцию Кобба—Дугласа Y = AKaLl~a, О < а < 1, то соотношение (6.18) можно переписать в виде:

А7=аА£ + (1_а)А4 + М? (619)

Y        К          L А

где а отражает эластичность выпуска по капиталу и является постоянной для данной производственной функции.

Используя статистические данные, можно подсчитать вклад труда и капитала в экономический рост. Оценка же вклада научно-технического прогресса в экономический рост не может быть проведена впрямую и обычно вычисляется как остаточный член уравнения (6.19) (так называемый остаток Солоу):

М = АГ _ а Ж_ (і - а)    . (6.20)

A     Y       К L

Поэтому, строго говоря, остаток Солоу (6.20) определяет не вклад научно-технического прогресса в экономический рост, а ту часть экономического роста, которая не поддается непосредственным измерениям (объясняется любыми причинами, за исключением изменений количества используемых труда и капитала).

Вопросы и задания

Выпуск в экономике описывается производственной функцией Кобба—Дугласа с постоянной отдачей от масштаба. Определите доли дохода на труд и капитал в общем доходе в состоянии долгосрочного макроэкономического равновесия.

Пусть потребление зависит как от располагаемого дохода, так и от реальной ставки процента. Как в долгосрочном периоде изменятся ставка процента, доход, потребление и инвестиции при увеличении государственных расходов на величину AG? Приведите аналитическое и графическое пояснения ответа. Сравните свой ответ со случаем, когда потребление зависит только от располагаемого дохода.

Пусть потребление зависит как от располагаемого дохода, так и от реальной ставки процента. Как в долгосрочном периоде изменятся доход, потребление, инвестиции и ставка процента при снижении налогов на величину AT. Приведите аналитическое и графическое пояснение ответа. Сравните свой ответ со случаем, когда потребление зависит только от располагаемого дохода.

Пусть потребление зависит только от располагаемого дохода. Как в долгосрочном периоде изменятся доход, потребление, инвестиции и ставка процента при увеличении государственных расходов (на величину AG) за счет налогов? Приведите аналитическое и графическое пояснения ответа.

Пусть в модели Харрода—Домара темп роста потребления выше технологического темпа прироста. Определите момент времени, когда доход максимален, и момент времени, когда он падает до нуля.

Пусть в модели Харрода—Домара темп роста потребления меньше технологического темпа прироста и равен темпу прироста дохода в начальный момент времени. Найдите эластичность темпа прироста дохода по норме накопления.

Пусть во время войны запас капитала не изменился, зато уменьшились трудовые ресурсы.

а)         Как это непосредственно повлияет на общий объем произ-

водства и производительность труда?

б)         Предположим, что норма сбережения не изменилась, и пе-

ред войной экономика находилась в устойчивом состоянии.

Что произойдет с объемом производства на душу населения

в послевоенной экономике?

Используйте для ответа модель Солоу.

Пусть в экономике все трудовые доходы потребляются, а все доходы от капитала сберегаются. Покажите, что если факторы производства оплачиваются в соответствии со своими предельными производительностями, то в устойчивом состоянии достигается уровень накопления капитала, соответствующий Золотому правилу.

Определите, с каким темпом, в соответствии с моделью Солоу, в устойчивом состоянии изменяются:

а)         отношение капитал—выпуск;

б)         доли капитала и труда в доходе;

в)         общий доход на капитал в общий доход на труд;

г)         реальная арендная цена капитала и реальная заработная плата.

10. Покажите, что рост производительности труда зависит от роста

совокупной производительности факторов и роста капиталовооруженности труда.

 

7

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |