Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

1.3. свойства случайных процессов

В приведенном выше примере с потреблением электроэнергии, выборочное среднее значение определяется как среднее арифметическое значений элементов наблюдённого временного ряда. Теоретическое среднее значение (или математическое ожидание) — это «ожидаемое» значение каждого элемента случайного процесса, т.е. результат осреднения всех возможных значений интересующей нас величины. Если процесс эргодический, то его начальные и центральные теоретические моменты (в том числе среднее, дисперсия и т.д.) могут быть оценены «хорошо» (или, если быть точным, «состоятельно» — см. ниже) при помощи соответствующих моментов наблюдённого временного ряда, взятого за достаточно длительный период времени.

Пусть, например, переменная у подчиняется модели AR(1) следующего вида:

 

где є, — случайная величина с нулевой средней и постоянной дисперсией а2 , не коррелирующая с любой другой величиной из последовательности {є,, t є Z= {...,—1, 0, 1, 2, ...}}, т.е.

Д(є,) = 0;

D(zt) = Etf) = Gli (1.4)

cov(e/,8/_y) = 0 для любого У*0.

1 Слабостационарный процесс часто называют также стационарным в широком смысле.

Случайный процесе с подобными свойствами часто называют «белым шумом». Класс процессов, являющихся белым шумом, входит в более общий класс случайных процессов, а именно стационарных случайных процессов. Случайный процесс уь t є Z, слабостационарен1, если имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а ковариация между любыми двумя его элементами зависит только от промежутка времени между этими элементами:

D(yt) = E(yt-.li)2=y(0)<«>; (1.5) cov(j>,, yt_j) = y(J) Для любого /

Случайный процесс уь t^Z строго стационарен1, если при любом п (п — 1, 2, ...) совместное распределение п элементов случайного процесса yt],  yt,-.-9 ytn* взятых для произвольных

моментов времени t < /2 < ... < ^, не зависит от сдвига во времени, т.е. для любого целого числа Г и любых промежутков aly bjy і = 1, л:

P{yt^[ah bfl,     >>, є[я„,      = P{ytl+T є [я, b], >>,+r

В данной главе термин стационарность будет в основном употребляться применительно к слабой стационарности. Если процесс строго стационарен и имеет конечные начальные моменты второго порядка, то, очевидно, он будет слабостационарным. Обратное, вообще говоря, не верно. Однако важно обратить внимание, что если процесс слабостационарен и нормально распределен, то он также строго стационарен.

Уравнение (1.3) можно записать следующим образом:

(1-Э£)Л=ем (1.6)

где L — оператор сдвига, для которого Lmyt = yt_m, и (1 - pZ) является, таким образом, полиномом первого порядка от оператора сдвига.

Если уравнение (1.3) записать для периода Г— 1, получим Подстановка равенства (1.7) в уравнение (1.3) даст уравнение:

Уі =.Р2Л-2+є/+РЄм--. О-*)

1 Строго стационарый случайный процесс называют также стационарным в узком смысле.

Если в уравнении (1.3) заменить / на t — 2, т.е. перейти на два периода назад, и подставить результат в (1.8), то получим выражение для yt через переменные yt_3, є,, є,_і и є,_2. Выполняя аналогичные подстановки лаговых значений у9 после п — 1 замен получим

Л=Р^*+є,+Рєм+РЧ-2+РЧ-з>^ (1.9)

Если |р|< 1, то по мере увеличения л(и->оо) р"неограниченно

уменьшается (pw ->0). Поэтому, переходя к пределу при п->оо , получаем

yt=St +рЄм +РЧ_2 +РЧ-3 (1.10)

или с использованием оператора сдвига:

^=[1 + рІ + (рІ)2+(рІ)3+...]є,.

Применив к обеим частям этого уравнения оператор сдвига, умноженный на р, и вычтя полученное выражение из (1.10), получим

(1-рі)Л=є, (1.11) или, переходя к обратному оператору,

j,,=(l-pb)'V Поскольку є,, является белым шумом, то из (1.10) получим

E(yt ) = £(є,) + р£(єм) + р2Я(є,_2)+.... = 0 ; />0О = Я(^)Ч1 + Р2+Р^

соуСум^/) = £[(Є/ + рє,_і +РЧ-2 +-.»)-(Є/-у +'РЄ/-у-1 +

+ РЧ-у-2 + •••)] = РЭД).' (1.12)

Сравнивая выражения (1.12) с (1.5), получим, что процесс AR(1), заданный уравнением (1.3), является стационарным при

 

Фактически вся стандартная эконометрическая теория базируется на предположении о стационарности рассматриваемых процессов. Однако большое число экономических временных рядов — особенно в макроэкономике и финансах — не обладают свойством стационарности. Технике исследования нестационарных процессов посвящена обширная литература (см., например, [1], [2], [4]).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |