Имя материала: Микроэкономика Том 3

Автор: В.М. Гальперин

Часть vi общее равновесие и общественное благосостояние 6.1 задачи задача № 1

Рассмотрим экономику обмена с двумя индивидами, чьи функции полезности заданы как U1 = X"У,1"" и U2 = XeY21_p, где а, р є (0.1). Индивиды ведут себя как ценополучатели. В изначальном наделении индивид 1 располагает единицей блага У, а индивид 2 — единицей блага X.

Рассчитайте равновесные цены и равновесное размещение благ между индивидами.

 

ЗАДАЧА № 2

Пусть имеется экономика с двумя индивидами — А и В. Их предпочтения представлены функциями полезности: UA (XA, УА) = ХХУ2 и UB(XB, Ув) = ХУХ2/3. Индивид А изначально располагает 2 единицами блага X и ни одной единицей блага Y. Индивид В изначально располагает 3 единицами блага У и ни одной единицей блага X.

Рассчитайте равновесные цены и равновесное размещение благ между индивидами.

Функция полезности индивида А: UA(XA, YA) = XAYA. Функция полезности индивида B: UB(XB, Yb) = min {XB, YB}.

 

ЗАДАЧА № 3

Индивид А изначально располагает 10 единицами блага Y и ни одной единицей блага X. Индивид В изначально располагает 20 единицами блага X и 5 единицами блага Y.

Рассчитайте равновесные цены и равновесное размещение благ между индивидами

ЗАДАЧА № 4

Функция полезности каждого индивида U = Q°.5Q°.5 . Допустим, что в экономике предложение труда и капитала абсолютно неэластично и при этом L = 100 и K = 100. Производственные функции Q1 = K°.5L1'5; Q2 = 1.5L2. Агрегированный доход в этой экономике есть просто сумма доходов факторов, т. е. I = PKK + PLL.

4.1. Выведите формулы для расчета спроса и предложе-

ния на товарном и факторном рынке и внесите их в таблицу

VI.1 (Подсказка: используйте лемму Шепарда, согласно ко-

торой L =          ;  К =    .)

Ратечитайте равновесные цены товаров и факторов, равновесные количества товаров без привлечения рынка труда (Подсказка: примите цену капитала за счетную цену, numeraire.)

Покажите, что спрос на рынке труда равен предложению.

Определите, какая доля общего количества располагаемого труда задействована в производстве каждого из товаров. Найдите доход труда и доход капитала в данной экономике.

ЗАДАЧА № 5

Предположим, что индивид 1 обладает 78 единицами блага Х и ни одной единицей блага Y. Его функция полезности U1 = X1Y1 + 2X1 + 5Y1. Допустим, что индивид 2 обладает 164 единицами блага Y и ни одной единицей блага X. Его функция полезности U2 = X2Y2 + 4X2 + 2Y2.

Подсчитайте, каковыми будут соотношения равновесных цен и какова парето-эффективная комбинация благ (Подсказка: для решения используйте понятие избыточного спроса индивидов на блага Х и Y — Ex1, E, Ex2, Ey2, выразите через них X1, Y1, X2, Y2 в соответствующих функциях полезности индивидов.)

 

ЗАДАЧА № 6

В «экономике обмена» 1000 единиц блага X и 1000 единиц блага Y, а также 2 индивида (индивид 1 и индивид 2). Фун-

кция полезности индивидов U1 =     / Y /   и U2

X1/3y2/3

6.1. Заполните нижеследующую таблицу и по ее данным постройте контрактную кривую в коробке Эджуорта.

 

 

 

А

0

В

100

С

200

D

300

Е

400

F

500

G

600

Н

700

I

800

J

900

К

1000

Y1

о

2/3vl/3

х9

1000

 

1000

u2 = xi>\%213

6.2. Предположим, что индивиды 1 и 2 изначально имеют в своем распоряжении по 500 единиц блага X и Y каждый. Обозначьте это изначальное размещение как точку S в коробке Эджуорта. Найдите любое иное распределение благ, которое приведет к повышению благосостояния каждого индивида по сравнению с изначальным состоянием. Обозначьте его как точку О на контрактной кривой.

6.3. Каковы MRSXY для индивидов 1 и 2 в точке А? Как на основе полученных значений можно судить, какой из индивидов будет отдавать благо X за благо Y, а какой, наоборот, будет отдавать благо Y в обмен на благо X при продвижении из точки А в точку О?

 

ЗАДАЧА № 7

Пусть экономика состоит из двух индивидов, потребляющих два блага (X и Y). Индивид 1 изначально обладает благом X в количестве Х1 = 30 единиц и благом Y в количестве Y1 = 120 единиц. Индивид 2 изначально обладает благом X в количестве Х2 = 180 единиц и благом Y в количестве Y2 = 90 единиц. Их функции полезности U1 = X1Y1 и U2 = X2Y2 соответственно.

Нарисуйте коробку Эджуорта, отвечающую этой экономике.

Каковы уравнения кривых безразличия, проходящих через точку изначального размещения благ между индивидами? Изобразите их в коробке Эджуорта.

Заштрихуйте область, представляющую парето-улучшение по отношению к изначальному размещению благ между индивидами.

Каково уравнение контрактной кривой в данной экономике? Изобразите ее в коробке Эджуорта.

Определите две крайние точки на контрактной кривой, ограничивающие ядро экономики обмена (выразите их координаты через значения X1 и Y1).

Предположим, что некий «секретарь рынка» объявил цены благ. PX = 1 денежной единице (д. е.), PY = 2 д. е. Более того, он изъял блага у каждого индивида и заменил их деньгами. Затем «секретарь рынка» предложил каждому заказать у него такое количество благ, которое максимизирует его полезность при данном бюджетном ограничении.

Какое количество благ X и Y закажут индивиды 1 и 2? Сможет ли «секретарь рынка» удовлетворить их заявки? Будет ли заказанная комбинация благ эффективной?

«Секретарь рынка» поднял PX до 2 д. е., соблюдая все прежние условия. Сможет ли он теперь удовлетворить заявки? Будет ли финальное размещение благ эффективным, и если да, то почему?

Определите полезности индивидов 1 и 2, используя ответ на предыдущий пункт, и сравните их с соответствующими полезностями в исходном состоянии. Подсчитайте изменение полезности каждого индивида. Является ли переход из исходного состояния в состояние из предыдущего пункта парето-улучшением? Какова суммарная полезность индивидов в предыдущем пункте, насколько она изменилась по сравнению с исходным состоянием и может ли она быть повышена за счет иного размещения благ между ними?

 

ЗАДАЧА № 8

Пусть экономика состоит из двух индивидов, потребляющих два блага (X и Y). Функции полезности индивидов 1 и 2 U1 = X1°-5Y10-5 и U2 = X20.5Y20.5 соответственно. Экономика располагает 10 единицами блага X (X1 + X2 = 10) и 10 единицами блага Y (Y1 + Y2 = 10).

Определите выражение для границы возможных полезностей. Постройте график этой границы.

Если изначальное размещение благ X1 = 2, Y1 = 2; X2 = 8, Y2 = 8, то каковы полезности индивидов 1 и 2? Постройте коробку Эджуорта, контрактную кривую и отметьте точку изначального размещения.

«Секретарь рынка» решил, что полезность индивида 1 (U1) должна равняться 6 единицам, а полезность индивида 2 — 4 единицам. Покажите в коробке Эджуорта возможные перераспределения благ, которые при неизменных равновесных ценах обеспечат желаемое «секретарем рынка» распределение полезностей.

ЗАДАЧА № 9

В экономике производятся два блага X и Y с помощью капитала (K) и труда (L). Общее располагаемое количество капитала и труда 60L и 70K. Описьпвающие производственный процесс изокванты представлены как X1, X , X3 и Y, Y, Y3 (таблица).

 

 

зокванты X

Изокванты У

 

х2

Х3

Yi

Y2

Y3

Lx

Кх

Lx

Кх

Lx

Кх

Ly

Ky

Ly

Ky

Ly

Ky

5

55

25

45

15

65

5

20

10

50

35

60

15

25

35

35

40

55

20

15

25

35

45

45

30

15

50

30

55

55

55

15

40

35

55

40

Используйте содержащуюся в таблице информацию для построения в коробке Эджуорта для производства отвечающих данным таблицы изоквант. Обозначьте точки касания изоквант X и Y„, X и Y, X и Y как A, B и C соответственно.

1          о          2          2          3 1

На основе данных таблицы определите точку (назовем ее I), в которой пересекаются изокванты X1 и Y1.

а)         Объясните, почему точка I не является точкой опти-

мума. Что позволяет говорить о точках касания изоквант X

и Y как точках оптимума?

б)         Известны координаты двух точек касательной к изок-

вантам X2 и Y2, проходящей через точку их касания друг с

другом (25KX, 55LX и 22.5KY, 50LY). Рассчитайте MRTSL K в

точке касания между двумя изоквантами.

Постройте контрактную кривую для производства в коробке Эджуорта, соединяющую начала координат (точки 0х и 0Y) и точки A, B и C.

Даны следующие значения изоквант для благ X и Y: X, = 40, Y3 = 90; X2 = 100, Y2 = 60; X3 = 120, Y = 30.

1          3          2          2          3 1

а)         Постройте по этим точкам кривую продуктовой транс-

формации (границу производственных возможностей).

б)         Перенесите точки A, B, С и I из коробки Эджуорта на

рисунок с кривой трансформации и объясните, что означает

нахождение в точке I?

в)         Продлите кривую трансформации до соединения ее с

осью OX в точке Т, где X = 125, и с осью OY в точке Т", где

Y = 100. Предположим, что на отрезке ТА между точками

Т' и А расположена некая точка F. Будет ли перемещение в нее из точки I парето-улучшением?

Представьте, что рассматриваемая здесь экономика — «экономика Робинзона» и что кривая продуктовой трансформации представлена в ней прямой, соединяющей точки Т и Т'. Какой должно быть значение MRSXY для Робинзона, если достигается равновесие в производстве и потреблении?

Предположим, что «вальрасовский аукционист» назначил в «экономике Робинзона» (под таковой подразумевается условная модель экономики, где производителем и потребителем является один-единственный индивид) цены благ: РХ = 5 д. е., а PY = 4 д. е. Обеспечит ли они парето-эффективность? Если нет, то подскажите, какую цену на благо X следует назначить «аукционисту» для достижения парето-эффективности в «экономике Робинзона» при условии, что цена блага Y не меняется?

 

ЗАДАЧА № 10

 

Пусть в экономике производятся только 2 блага — X и Y. Их производственные функции:

X = KXi/2;

y = iY/3kY/3.

При этом экономика располагает общим количеством капитала (KT = KX + KY = 100) и общим количеством труда (LT = Lx + Ly = 200).

Постройте коробку Эджуорта для производства, определите координаты пяти точек контрактной кривой для производства и используйте их для построения этой кривой в коробке Эджуорта. (Подсказка: выразите, например, LX через KX и рассчитайте значения LX при следующих значениях KX: 0, 25, 50, 100.)

Производство какого из благ капиталоинтенсивно и почему? Каково соотношение капиталоинтенсивности в производстве благ X и Y?

ЗАДАЧА № 11

В экономике имеется фиксированное количество двух факторов производства — труда (L) и капитала (k). Они полностью задействованы в производстве двух благ — x и Y. Граница производственных возможностей (кривая продуктовой трансформации) представлена как X2 + 9Y2 = 100.

Найдите выражение для предельной нормы продуктовой трансформации MRPTXY через X.

Покажите, что кривая продуктовой трансформации вогнута по отношению к началу координат. Какую экономическую интерпретацию можно дать этому факту?

11.3.     Если для двух индивидов (А и В) MRSXY = MRSXy =

= - ^ то какова должна быть парето-оптимальная структура выпуска благ?

 

ЗАДАЧА № 12

Пусть в стране Дураков два блага — x (пушки) и y (масло) — производятся только с помощью труда. Производственные функции для этих благ:

x = jlX; y = o.bjjlY,

где lx и ly — количества труда, затраченные на выпуск x и y соответственно.

Если предложение труда lx + ly = 100, определите крайние точки кривой продуктовой трансформации и предельную норму продуктовой трансформации (MRPTXY).

Пусть функция общественного благосостояния Дураков u(x, Y) = 4x~y . Определите оптимальные количества благ (X* и Y*) и общественную полезность.

Пусть «аукционист» назначил цены px =1, py = 2. Обеспечат ли они парето-эффективность? Рассчитайте ценность выпуска при этих ценах.

12.4 Предположим, что x = 8. Каковыми будут теперь общественная полезность и ценность выпуска. Объясните их отклонения от полученных в (6.3) результатов.

12.5. Страна Дураков угрожает войной стране Баранов. Новая функция общественного благосостояния Дураков U(X, Y) = X°-75Y°-25 отражает смещение предпочтения общества в пользу пушек. Определите новые оптимальные количества

благ (X* и Y*), соотношение цен

и изменение занятости

py j

в результате подготовки к войне.

x

py j

12.6 Страна Баранов заключила союз со страной Козлов и вынудила страну Дураков подписать долгосрочное мирное соглашение. Функция общественной полезности Дураков в результате становится U(X, Y) = X025Y075. Определите новые оптимальные количества благ (X* и Y*), соотношение цен

и изменение занятости по сравнению с периодом под-

готовки к войне.

 

ЗАДАЧА № 13

 

Пусть граница возможных полезностей между двумя индивидами (А и В) представлена как UA + 2UB = 200.

Постройте ее график.

«Творец политики» — приверженец философского учения Ницше и соответственно максимизирует так называемую ницшеанскую функцию общественного благосостояния, W(UA, UB) = max{UA, UB}. Каковы будут оптимальные с его точки зрения UA и UB?

«Творец политики» — приверженец философского учения Роулса, и соответственно максимизирует роулсианс-кую функцию общественного благосостояния:

w(ua, ub) = max{ua, ub .

Каковы будут оптимальные с его точки зрения UA и UB?

«Творец политики» — приверженец философского учения Бентама и максимизирует простую утилитаристскую функцию общественного благосостояния:

ЩІі^  ub) = ua + ub.

Каковы будут оптимальные с его точки зрения UA и UB?

«Творец политики» согласен с концепцией общественного благосостояния Нэша и, соответственно, максимизирует функцию общественного благосостояния Бернул-ли-Нэша, представленную в виде функции Кобба-Дугласа,

W(U&,UB) = UA" • U°-5.

Покажите на рисунке точки социальных опти-мумов и изобразите соответствующие им кривые равного общественного благосостояния.

 

ЗАДАЧА № 14

«Творец политики» хочет распределить доход между двумя индивидами (A и B) так, чтобы максимизировать свое представление об общественном счастье, выраженном функцией общественного благосостояния W = Y°'5 + Y°'5, где YA и YB — доход соответствующего индивида. Предположим, что всего он может распределить 100 денежных единиц (д. е.) так, что YA + YB = 100.

Какое количество д. е. получит каждый из индивидов?

Предположим, что для «творца политики» стало почему-либо «дороже» давать деньги индивиду A, чем индивиду В. В результате он может распределить 100 д. е. так, что 2YA + YB = 100. Какое количество д. е. получит теперь каждый из индивидов?

 

ЗАДАЧА № 15

Пусть «творец политики» представляет себе обществен-

2 U(y. )]1-e

ное благосостояние как W = V  1          , где U(y) = y. для

tt    1 - e            1 1

i = 1, 2 есть индивидуальная полезность дохода. Ресурсное

2

ограничение в этой экономике задано как V Уі = 1.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |