Имя материала: Микроэкономика Том 3

Автор: В.М. Гальперин

6.2 решения

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧи № 1

Поскольку имеются лишь два блага, то достаточно определить только одну равновесную цену. Цену блага Y примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида 1: pX1 + Y1 = 1, а для индивида 2: pX2 + Y2 = р.

Затем индивид 1 выбирает X1 так, чтобы максимизировать X-j1 (1 - X1)1a . Из условия первого порядка получаем

X1 = а , что через подстановку в бюджетное ограничение Р

дает нам X2 = 1 - .

Индивид 2 выбирает X2, так чтобы максимизировать X2P (p - pX1)1_p. Из условия первого порядка получаем X2 = р, что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам Y2 = Р(1 - Р).

Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда X1 + X2 = 1,

или а + р = 1. Следовательно, равновесная цена p* = —а— .

Р          1 -Р

Она дает нам равновесное размещение благ между индивидами: X1 = 1 - Р; X2 = 1 - а; Y1 = Р; Y2 = а.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2

 

Цену блага Y примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида A: pXA + YA = 2р, а для индивида B: pXB + YB = 3.

Индивид A выбирает XA так, чтобы максимизировать XA/2(2p - pXA)1/2 . Из условия первого порядка получаем XA = 1, что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам YA = p.

Индивид B выбирает XB, так, чтобы максимизировать XB/3(3 - pXB)2/3. Из условия первого порядка получаем XB =

= — , что через подстановку в бюджетное ограничение дает Р

нам Y = 2.

B

Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда XA + XB = 2

или 1 + — = 2. Следовательно, равновесная цена p* = 1. Она Р

дает нам равновесное размещение благ между индивидами:

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 3

Цену блага X примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Затем найдем функции спроса индивидов А и В на благо Y как функции от его цены (p).

MRSXy = Xа- = I ==       = Xa == Ya = xa .

xa        Р р

Бюджетное ограничение для индивида А: XA + pYA = m == == XA = m - pYA, где m — доход индивида А. Отсюда функция спроса на Y индивида А: Y = m - pYA = m p 2p

Так как изначальное наделение для индивида А — 10 единиц блага Y, то можно определить, что m = 10p. Следовательно, индивид А предъявит спрос на 5 единиц блага Y

10Р = 51 2р )

Поскольку блага X и Y для индивида В абсолютно взаимодополняемые, то для него всегда XB = YB. Бюджетное ограничение для индивида В: XB + pYB = m == XB = m - pYB, где m — доход индивида В.

m

Отсюда функция спроса на Y индивида В: YB =          .

1 + p

Так как изначальное наделение для индивида В — 20 единиц блага X и 5 единиц блага Y, то m индивида В: 20 + 5р. Следовательно, индивид В предъявит спрос на благо Y, равный:

20 + 5 р

1 + Р '

Отсюда следует, что суммарный со стороны индивидов A и В на благо Y:

„   20 + 5 р

5 +       —.

1 + Р

Поскольку изначальное наделение благом Y индивида А составляло 5 единиц, а индивида В — 10 единиц, то легко заключить, что суммарное предложение блага Y равно 15 единиц. Отсюда:

к   20 + 5 р

5 +       — = 15.

1 + Р

Решение этого уравнения дает нам равновесную цену p* = 2. При данной равновесной цене спрос индивида B на благо Y = 10. Следовательно, равновесное размещение благ между индивидами: XA = 10, YA = 5; XB = 10, YB = 10.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4

4.1. Определим спрос на Q1 и Q2 и выразим его через I. Для этого составляем функцию Лагранжа:

V = ЯГЯ°А + W - P1Q1 - P2Q2).

Максимизируем полезность, для чего находим условия первого порядка:

— = 0.5Q-0-5Qr -Щ = 0; (i) 8Q1

dV

— = 0.5Q°.5Q2-0.5 -^^2 = 0; (ii)

 

~ I - P1Q1 - P2Q2 = 0. (iii)

ffk

Умножаем обе части уравнения (i) на Q1 и упрощаем выражение:

0.5Q1°-5Q2)-5 - XP1Q1 = 0; 0.5^ - AP1Q1 = 0;

 

Аналогично умножаем обе части (ii) на Q2 и упрощаем выражение. Получаем:

Q = 05 . (11»)

Теперь подставляем (1') и (11'') в (111):

r   0.5PU   0.5P2U n

I           1          2— = 0;

XI = 0.5U + 0.5U = U;

X = U. (111') I

И наконец, подставляем (111') назад в (1') и (11''), что дает нам функции спроса на товары, выраженные через I: = 0.5U   I = 0.5I = 0.5(PLL1 + PgX1);

1          Р   u    p P1

Q = 0.5U I = 0.5I = 0.5(PlL2 + РКз)

2          P2   и    P2       P2 .

Теперь определим функции предложения товаров. В случае Q1 необходимо вывести функцию общих затрат из производственной функции. Для этого надо решить задачу на минимизацию этих затрат:

Z = PKK1 + PLL + X(Q1 - К°.5Ll.5).

Получаем следующие условия первого порядка:

dK1

dZ

= PK - 0.5X K1-0.5 L?-5 = 0; (v)

 

PL - 0.5X K°.5L-05 = 0; (v1)

1

Q - КГ L15 = 0. (v11)

dX

Разделив (v) на (v1), получаем:

Pl = Ll

Pl K/

или

pkK1 = plL1,

или

K1 =

1 Р

К

Следовательно с1 = PKK1 + PLL1 = 2pllr Теперь осталось только избавиться от l1 в данном выражении. Для этого подставляем полученное выше выражение для к в Q1 = к°.5 l?.5:

 

Откуда

Q1

 

L = Q

l1.

V pk j

Л-0.5

 

Pk

Подставляем выражение для l1 в функцию общих затрат с1:

с1 = 2pk0-5 pl0.5q1. Отсюда функция предложения q1: p1 = MC1 = 2p0°.5 pl0-5. При совершенной конкуренции p1 = MC1, а функция предельных издержек есть функция предложения q1.

Определим функцию предложения q2. Так как в производстве в секторе 2 отсутствует капитал, то ее нахождение значительно упрощается.

Z = PLL2 + ^Q2 - 3 l2

При совершенной конкуренции на рынке труда:

3Z = Pl - 3 >■ = 0;

q2 -- l2 = 0.

L 2 dZ    „ 3

Отсюда:

-2

31      2 2

3 2

2 L2 = Q2 => l2 = 3 Q2.

Теперь для нахождения функции предложения Q2 надо составить функцию общих затрат С2.

 

C2  = plL2 = pl 2 Q2.

Тогда функция предложения Q2:

p2 = MC = 2 PL.

2          3 l

дС

Осталось определить спрос на факторы. Для этого применяем лемму Шепарда (см. подсказку к вопросу 4.1):

1 = Р°.5

,

 

K1 = C

дР,

2 dPL

3

4.2. Примем цену PK = 1.

Q1

В секторе товара 1 подставим в уравнение (1) выражение для P1 из уравнения (2):

0.5(PLL + PKK)

2P°.b ро.в

Затем приравняем спрос и предложение на рынке капитала — правые части уравнений (5) и (6), — а затем подставим полученное выше выражение для Q1:

100 = PK°-5 PL°-6Q1; 100 = 0.5(PLL + PKK) 2PK '

Отсюда получаем:

100 = 0.5(100PL + 100);

2 '

pl = 3.

Из уравнений (2) и (1) находим:

P1 = 2^3 « 3.46;

^     100    г_ пл Q1 = -т-« 57.74.

Теперь легко находим:

P2 = 2;        Q2 = 100.

Убедимся, что найденные значения равновесных цен товаров и факторов обеспечивают нам равновесие и на рынке труда. Иначе говоря, проверим действие закона Вальраса.

Приравняем спрос на труд к предложению труда:

10.5 • (3-0.5) • 57.74 + 2(100) = 33.333 + 66.667 = 100. 3

Из (4.3) следует, что в производстве Q1 задействована 1/3 общего количества располагаемого труда, в производстве

 

Доход труда PLL = 3 • 100 = 300. Доход капитала PKK = 1 • 100 = 100.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5

Представим исходную комбинацию благ индивида 1 через избыточный спрос X1 = Ex1 + 78 и Y1 = E. Введем избыточный спрос в функцию полезности индивида и максимизируем ее при наличии бюджетного ограничения (P E 1 + P E 1).

 

Приравняем нулю частные производные по V1:

SV1/8Exl =      + 2 - XPx = 0; 9Vi/dEyi =      + 83 - Xpy = 0; dV1/dX = - ( pE X1 + py Ey1) = 0. Решаем систему уравнений и получаем функции избыточного спроса для индивида 1:

X = (Я 1 + 83)/Р = (Ey1 + 2)/Рх;

- EX1P1 - Ey1P2 = 0;

E Р + 2Р = ЕР + 83Р ;

Ex1 = - EylPy/Px;

E1 = (Е Р + 83Р - 2Р )/Р ;

y1         1   X     X          y y

E, = - (Е Р + 83Р - 2Р )/Р ; E, = Р/Р - 41.5;

1 y

E л = 41.5 Р/Р - 1. Таким образом, избыточный спрос представлен как функции от соотношения цен. Увеличение Р относительно Р

х у

уменьшит E,^ и увеличит E. Увеличение Ру относительно Рх увеличит Ex1 и уменьшит E.

Аналогичным образом поступаем с функцией полезности индивида 2.

В итоге решения новой системы уравнений получаем следующие функции избыточного спроса для индивида 2:

Е2 = 84 Ру /Рх - 1;

E 2 = Р/Р - 84. В соответствии с требованиями «очищения» рынка можно записать:

Е = E, + E2 = 85 Р/Р - 42.5 = 0; E = E1 + E 2 = 42.5 Р / Р - 85 = 0. При решении первого из уравнений имеем РJPx = 0.5, а при решении второго — Рх/Ру = 2, что, как видно, одно и то же.

Подставляем соотношения цен в индивидуальные функции избыточного спроса и получаем:

E 1 = - 41;    E 2 = 82;    E 1 = 41;    E   = - 82. Индивид 1 отдает 41 единицу блага X индивиду 2 в обмен на 82 единицы блага Y.

Следовательно, парето-эффективная комбинация благ: X = 37;    X2 = 41;    Y1 = 82;    Y2 = 82.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6

 

6.1. Фиксируем полезность индивида 1 и составляем соответствующее уравнение Лагранжа:

l = u2(x2y2) + Ар/Лед) - u2] = x 2/3 y 2/3 + Mx!/3y2/3 - uj.

Поскольку то, что получает индивид 2, не получает индивид 1, и наоборот, то, следовательно

x2 = 1000 - x1; y2 = 1000 - y1. В результате уравнение Лагранжа становится функцией только двух переменных

X1 и

.1/3

L = (1000 - x1)2/3(1000 - y1)1/3 + А[хY2/3 Условия максимума первого порядка

 

Подпись: dL дХ1
dL dY

Перенося члены с А в правую часть и производя деление верхних уравнений на нижние, получаем:

1000 - Y

или

V1000 - Х1 J

V Х1 J

X

4y

1000 - х1    1000 - y1 что представляет условие эффективности в обмене (равенство

MRSXY и MRSXY).

Теперь можно заполнить таблицу и по значениям х1 и y1 (или х2 и y2) построить контрактную кривую (см. рис. 6.1).

6.2. В результате указанного размещения благ индивиды 1 и 2 получают по 500 единиц полезности каждый (точка s в коробке Эджуорта). На контрактной кривой можно найти такую точку (точка О в коробке Эджуорта), где, например, х1 = 660, y1 = 327; х2 = 340, y2 = 673. В этом случае u1 = 522 и U = 536.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 7

Строим квадрат со сторонами 21x21 (рис. 7.1).

Из условий задачи находим U° = 3600 и U0 = 16 200. Легко представить кривые безразличия индивидов 1 и 2, например, через X1 и X2.

Y1 = 3600/X^    Y2 = 16 200/X2

Задавая различные значения X1 и X2 в интервале от 0 до 210, можно получить соответствующие им значения Y1 и Y2. Например, X1 = 40, Y1 = 90; X1 = 50, Y1 = 72; X1 = 60, Y1 = 60; X1 = 80, Y1 = 45; X1 = 90, Y1 = 40; X1 = 100, Y1 = 36. По данным точкам можно построить кривую безразличия для индивида 1 (U°). Аналогичным образом строится кривая безразличия для индивида 2 (£7°).

7.4. Для нахождения уравнения контрактной кривой надо помнить, что в любой точке этой кривой имеет место эффективность в обмене, т. е. MRS XY = MRS XY .

mrsx. = MEx. = dUx /dX = A:

MRSXY =

MUY     dUY / dY X1 MUX = dUX / dX = MUY ~ dUY / dY ~ X2

Далее можно записать следующую систему уравнений:

 

X X

Xi + X2 = Xi + X2 =

210; 210

Отсюда получаем: Y = XY

 

=> Y =

Xi(210 - Yi) (210 - X1)

=> 210 Y1 - X1Y1 = 210 X1 - X1Y1 => X1 = Y1

Получили уравнение контрактной кривой (на рис. 6.1 диагональ квадрата, представляющего коробку Эджуорта).

Аналогичный результат получился бы, если бы записали выражение не для Y1, а для Y2. Контрактная кривая также представляла бы диагональ квадрата (уравнение X2 = Y2).

7.5. Найдем координаты точек, в которых кривые безразличия индивидов 1 и 2, проходящие через точку изначального размещения благ, пересекают контрактную кривую.

Для этого составим следующую систему уравнений:

X =

Y1;

3600

1 X

Получаем Y2 = 3600 => Y1 = 60, X1 = 60. Аналогично:

X2 =

Y2 =

Y2; 16 200

Отсюда Y2 = 127.3, X2 = 127.3.

7.6. Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = ^(ВД) +       - Px X1 - PY YJ, где І1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: І1 = 1 • 30 + + 2 • 120 = 270.

SL -Ш> -1- 0 == Y1 -1;

dL dU

dX1 дХ1

1 - 21 - 0 == Х1 - 21;

dY1 dY1

— - 270 - X - 2Y1 - 0 == 41 - 270 == 1 - 67.5.

dl          1 1

Отсюда: Y1 = 67.5; Х1 = 135.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U2(X2,Y2) + 1(І2 - px Х2 -

где І2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном их размещении. Таким образом: І2 = 1 • 180 + 2 • 90 = 360.

^-1-0 == Y2 = 1;

dX2 dX2 —-dU2 - 21 = 0 == X2 = 21;

— - 360 - X2 - 2Y2 = 0 => 41 = 360 => 1 = 90.

1          2 2

Отсюда: Y2 = 90; X2 = 180.

В итоге получаем X1 + X2 = 257.5 и Y1 + Y2 = 157.5. Таким образом, благо X окажется в дефиците, а благо Y — в избытке.

Заказанная комбинация благ не будет эффективной, так как не лежит на контрактной кривой. Уравнение контрактной кривой Х1 = Y1 (Х2 = Y2) предполагает, что количество единиц блага X в распоряжении любого из индивидов должно быть равно находящемуся в его же распоряжении количеству единиц блага Y.

7.7. Проводим аналогичные расчеты при PX = 2.

Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) +       - Рх X1 - PY YJ, где І1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: І1 = 2 • 30 + 2 • 120 = 300.

^ = U - 2Х = 0     Y1 = 2Х; дХ1    дХ1 1

— =       - 2Х = 0     X, = 2Х;

dY1    dY1 1

дТ

= 300 - 2Х - 2Y = 0 => 300 = 4Х

дХ        11 1

Отсюда: X1 = 75, Y1 = 75.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L =       + Х(І2 - Px X2 - PyY2),

где І2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном их размещении. Таким образом: І2 = 2 • 180 + 2 • 90 = 540.

^ = ди- - 2Х = 0 Y2 = 2Х; -дТ = ди2 - 2Х = 0     Х2 = 2Х;

дТ

= 540 - 2Х2 - 2Y2 = 0 => 4Х2 = 540.

дХ        2     2 2

Отсюда: X2 = 135, Y2 = 135.

В итоге получаем Х1 + Х2 = 210 и Y1 + Y2 = 210. Таким образом, нет ни избытка, ни дефицита. Рынок «расчищается», и обеспечивается общее экономическое равновесие. Одновременно заказанные комбинации благ находятся на контрактной кривой, следовательно, достигается парето-эф-фективная комбинация благ.

В последнем легко убедиться, обратившись к условию эффективности в обмене: mrs^-у = ^ = y = mrsXy = ^ = y = і.

MUY    X1         XY    MUY X2

Это равенство MRSXY и MRSXY на рис. 7.1 представлено в точке касания кривых безразличия u* и u*.

При ценах, заданных «секретарем рынка» в п. 7.7:

mrsXy = mrsXy = i* = 1 = р*,

где —Xr = p * — относительная равновесная цена. На рис.

pY*

7.1 луч, представляющий эту цену, проходит через точку касания кривых безразличия u* и u*.

7.8. u* = 75 • 75 = 5625; u2* = 135 • 135 = 18 225. При изначальном размещении благ u* = 3600, u° = 16 200.

Отсюда: Au1 = 5625 - 3600 = 2025; Au2 = 18 225 - 16 200 = = 2025. Очевидно, что это изменение является парето-улуч-шением (оба индивида повысили свое благосостояние).

Суммарная полезность индивидов в п. 7.7 составляет u* + u* = 23 850. Суммарная полезность в исходном состоянии u* + u° = 19 800. Следовательно, общий прирост полезности Au = 23 850 - 19 800 = 4050.

Полезность, полученная в п. 7.7, отвечает парето-эффек-тивному состоянию «экономики обмена». Это означит, что ее нельзя повысить за счет изменения размещения благ.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 8

 

8.1. Находим, что

MRSXy = MUUX. = dUX / dX = A;

XY    MUY     dUY / dY X1

MRSXy = MUUX- ==dUX /dX =

X     MUY     dUY / dY X2

Условие парето-эффективности:

Y      Y       Y      10 - Y

mrs' = mrsXy =>Y- =    => Y- = 10 y.

После перемножения получаем:

10У1 - У1Х1 = 10X1 - X1У1 => X1 = У1.

Отсюда: U1 = X10.5X°.5 = X1 => U1 = 10 - X2. Аналогично можно показать, что U2 = X2. В результате получаем уравнение границы возможных полезностей:

Эта граница представлена на рис. 8.1

8.3.       MRS1™ = MRSXL = У- = У^ = ^ = p* = 1.

X1        X2 Гу

Следовательно, относительная равновесная цена (p*) есть любой луч, пересекающий контрактную кривую под прямым углом. На рис. 8.2 эти лучи проведены через точку А и точку желаемого «секретарем рынка» размещения (точку В), где индивид 1 имеет X1 = 6, у = 6; индивид 2, в свою очередь, обладает X2 = 4, У2 = 4. Исходя из заданных нам функций полезностей индивидов можно заметить, что в точке В U = 6, U2 = 4 (что и нужно «секретарю рынка»).

Используя рис. 8.2, нетрудно заметить, что для достижения нового распределения полезностей между индивидами «секретарю рынка» надо передать индивиду 2 от индивида 1 либо 8 единиц Y, либо 8 единиц X . Для того чтобы в этом убедиться, достаточно из точки А провести прямые горизонтальную и вертикальную линии до соединения с лучом, представляющим относительную равновесную цену и пересекающему под прямым углом контрактную кривую в точке В. После указанного перераспределения относительная равновесная цена (р*) обеспечит автоматический переход в точку В — к желаемому «секретарем рынка» распределению полезностей.

См. рис. 9.1.

a) Точка I не является точкой оптимума, так как она не является точкой касания изоквант. Напротив, изокванты X1 и Y3 пересекаются в точке I. В точках касания изоквант соблюдается условие парето-эффективности для производства (MRTS^ = MRTS^).

б) 22.5 + 25 = 47.5. Отсюда AK = 70 - 47.5 = 22.5 50LY отвечает 10LX. Следовательно, AL = 55 - 10 = 45.

0.5.

MRTSr

aK 22.5

Соединяем указанное точки кривой (см. рис. 9.1).

а) См. рис. 9.2.

б)         См. рис. 9.2. Координаты точки I (X1 = 40, Y1 = 30). Нахож-

дение в точке I означает неэффективность, поскольку она находит-

ся слева от кривой продуктовой трансформации (границы произ-

водственных возможностей). При имеющихся в данной экономике

ресурсах можно достичь более высокого объема выпуска.

в)         См. рис. 9.2. Нет, не будет. Переход из точки I в точ-

ку F сокращает выпуск блага X. Поэтому, несмотря на то

что он переводит экономику из неэффективного состояния

в эффективное, парето-улучшения не происходит.

9.5.       MRS XY = MRPTXY = — = 100 = 0.8.

AY 125

9.6. Нет, не обеспечат: MRPTXY Отсюда PX = 3.2.

X

P

4 5

Рис. 9.2. Кривая продуктовой трансформации

 

РЕШЕНИЕ ЗАдАчи № 10

Подпись: - KX 	Y KY
LX LY

10.1.       MRTSXK -—^;   MRTSL, -;

Подпись: ;
Подпись: LX LY
== 200KX - 200LX - LXKX ==
- 2(100 - Kx ) LX~    200 - LX

== Lx(200 - Kx) = 200Kx

LX

Отсюда

200KX

200 - KX

Определяем значения LX при KX = 0, 25, 50, 75 и 100 По имеющимся в условии задачи данным строим коробку Эджуорта для производства, проводим в ней диагональ и по данным таблицы строим контрактную кривую для производства.

Lx

Kx

Ly

Ky

0

0

200

100

28.6

25

171.4

75

66.7

50

133.3

50

120

75

80

25

200

100

0

0

10.2. Производство блага X капиталоинтенсивно, так как —X > ——, где KT и LT — общие количества капитала и труда. В

коробке Эджуорта этот факт отражен расположением вогнутой контрактной кривой для производства выше диагонали.

Капиталоинтенсивность производства блага X вдвое выше капиталоинтенсивности производства блага Y. В этом легко убедиться, рассчитав соответствующие значения LY и KY (см.

таблицу) и сопоставив —Х и —Y  в любых точках (кроме

75 25

крайних). Например,                 : — = 2.

120 80

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 11

11.1. Преобразуем уравнение кривой продуктовой транс-

формации:       9Y2 = 100 - X2;

;

100 - X2

Y2 =

9

1

Y = 3(100 - X2)05.

dY

Теперь находим предельную норму продуктовой трансформации:

^(100 - X2 )-0.5 (-2Х) = - Х (100 - X2 )-0.5.

MRPTXY =

dX   6   '           ' 3

11.2. Для вогнутой по отношению к началу координат

кривой продуктовой трансформации должны соблюдаться

dX

dY d2Y условия:       < 0; ——- > 0.

dX2 d2Y 1

^Ц- = -(100 - X2)1-5 > 0, dX2 6

так как по условиям задачи X < 10 во всех точках кривой, кроме точки ее соединения с осью 0Y.

Кривая продуктовой трансформации вогнута, если а) имеет место убывающая отдача от масштаба в производстве обоих благ; б) если нарушается допущение об однородности факторов (например, один из факторов производства имеет убывающую производительность в производстве какого-либо блага); в) при допущении об однородности факторов и постоянной отдаче от масштаба выпуск благ требует использования факторов в различных пропорциях (например, производство одного блага — трудоинтенсивное, другого — капиталоин-

тенсивное, скажем, —X < —Y ).

 

11.3.     - X (100 - X2)05 =- 4;

3 7

— (100 - X2)1 = 16 => (100 - X2)-1 = =*

9          49 49X2

49X2

100 - X2 =         => 193X2 = 14 400 => X* = 8.64;

144

Y * = i(100 - X2)05 = i(100 - 8.642)05 = 1.68.

33

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 12

 

12.1 Выражаем LX и LY через X и Y соответственно и получаем уравнение для кривой продуктовой трансформации:

X2 + 4Y2 = 100. Крайние точки данной кривой: X = 10, Y = 0; X = 0, Y = 5. Затем находим общий дифференциал данного уравнения:

2XdX + 8YdY = 0,

или

- ^ = MRPTXY = —.

12.2 Условия оптимума (парето-эффективности) предполагают, что MRPTXY = MRSXY.

MUX = Y

Следовательно,

MRS XY

MUY X

x = y .

4Y " X'

X2 = 4Y2;

X2 + 4Y2 = 2X2 = 10. В результате получаем:

X* = V50 = 7.07;        Y * = V12.5 = 3.535.

Общественная полезность:

U = V7.07 • 3.535 * 5.66.

12.3. Поскольку:

mrSxy = XX* =    = MRPTxy ,

следовательно: y

PX    V12.5 1

-X =

p*    V50 2

Таким образом, предложенные «аукционистом» цены обеспечат парето-эффективность. Ценность выпуска составит

pXx* + p*y = 1 • 7.07 + 2 • 3.535 = 14.14.

В таком случае из уравнения x2 + 4Y2 = 100 получаем, что y = 9 == y = 3. При таких значениях:

u = V8^3 * 4.9; pXx* + p*y = 1 • 8 + 2 • 3 = 14.0. Легко заметить, что в результате отклонения от парето-эффективной комбинации благ общественная полезность и ценность выпуска снизились.

От подготовки к войне ресурсов не прибавляется, следовательно, граница производственных возможностей и MRPTXY остаются прежними. С ростом «оборонного сознания» меняется только MRSXY.

MRS XY =        X =       .

XY   muy x

Отсюда:

— = 3Y; 12Y2 = X2. 4Y X

Следовательно:

12Y2 + 4Y2 = 100;

Y* = 2.5;           X* = 8.66.

Соотношение цен:

p* X

p— = — = 0.866.

pY 4Y

Оно говорит нам о росте относительной цены пушки (если раньше 1 пушка стоила 0.5 одной единицы масла, то теперь приблизительно 7/8 той же единицы масла).

Определим занятость до возникновения напряженности между страной Дураков и страной Баранов. Из условий задачи находим, что LX = X2; LY = 0.5Y2. Из полученных в п. 6.2 значений X*, Y получаем LX * 50, Ly * 6.25. В условиях подготовки к войне LW * 75, LYY * 6.25 . Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ALX = 75 - 50 = 25, а изменение занятости в производстве масла ALY = 6.25 - 12.5 = -6.25.

YY

12.6. Теперь MRSxy =  . Отсюда:

3X

— = —;       4Y2 = 3X2.

4Y 3X

Следовательно:

X2 + 3X2 = 100;

X* = 5;  Y* * 4.33;

p* X

pxr = — * 0.289.

pY* 4Y

Очевидно, что цена пушки относительно единицы масла ниже, чем в предыдущих ситуациях (0.289 < 0.5 < 0.866).

В условиях долгосрочного мира занятость распределяется следующим образом: LPX = 25, LPY * 18.75 . Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ALX = 25 -- 75 = -50, а изменение занятости в производстве масла

ALY = 18.75 - 6.25 = 12.5.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 13

См. ответ на вопрос 13.6.

UA = 200, UB = 0.

Оптимальные значения UA и UB находятся в точке пересечения луча, выходящего под углом 45о из начала координат (его уравнение UA = UB), с границей возможных полезностей (UA + 2UB = 200). Совместное решение этих двух уравнений дает нам UA = 662/3, UB = 662/3.

Заметим, что UA + UB достигает максимума в пределах области достижимых полезностей тогда, когда она соединяется с границей возможных полезностей в точке ницшеанского оптимума. Следовательно, UA = 200, UB = 0.

13.5.     «Творец политики» находит следующее решение:

L = U0/ • U°B" + М200 - Ua - 2Ub);

dL     0.5UB5-x = 0 = X = 0.5U°b-5

dUA u°a6

йТ        ТТ0.5 ТТ0.5

= 0.5U^ - 2X = 0 == 2X = 0.5Ub-;

3Ub      U°B5    U0/ '

ВТ

= 200 - UA - 2UB = 0 == UA = 200 - 2UB.

Отсюда:

U0-5 U0-6

и0.5      u0.5 '

UA UB

dL     0.5    , 0.5

            = —— А = 0 == —— = А;

дУА    У°АЬ      У°АЬ '

dL     0.5    .      0.5 .

            = —кг - А = 0 == —— = А.

дУв    У°0-5 Ув0-5

Отсюда УА = Ув = 50.

14.2. Теперь «творец политики» находит следующее решение L = У°/ + У0'5 + А(100 - 2Уа - У);

^ =       - 2А = 0 ==        = 2A = -L = 4А2;

 

dL     0.5    .      0.5    .        1 А2

            = —^т -А = 0 == —— = А =>     = А2.

dy    У™           У™ 4УВ

Отсюда YB = 4YA => YB = 80, YA = 20. Решение Задачи № 15

 

15.1. Представим функцию общественного благосостояния как W =   1  У[е +—— ye. Тогда dW = y1-edy1 + y2edy2 = 0. 1 - e        1 - e

Отсюда наклон кривой равного общественного благосостоя-

Подпись: ния dy2

dy1 15.2.

e

e

' y2

 

dW=0        V y1 J

-1 при e = 0, что отвечает утилитарист-

V y1 J

скому критерию.

15.3.     Функция Лагранжа для «творца политики»:

l = -1— [y!-e + y1-e ] -     + y2 -1],

1 - e L J и тогда условия первого порядка (кроме ресурсного ограничения):

г)Т

— = y:e -х = 0,   i = 1.2.

Следовательно, y1-e = y2e, что предполагает y1 = y2. Значение e в данном случае не влияет на оптимальное решение.

L = -— y~e + y2- ] - ЦСУ + У2 - 1],

15.4.     Теперь функция Лагранжа для «творца политики»

 

1 - e 1

и условия первого порядка:

dL

- = V1

= y1 e -Xa = 0;

dy1

dL      -e   r, „

—         = y- -X = 0;

dy2

—         = 1 - ay1 - ay2 = 0.

dX

Избавляясь от X, получаем y2 = ay1 и y2 = 1 - ay1. Решая

11~       e          У 2

1 + a1-e            1 + a1-e

1    1 1

и y2 = 1 -

Отсюда можно заключить, что рост а снижает у* и увеличивает у2, тогда как рост e, напротив, увеличивает у* и снижает у2. Это можно интерпретировать следующим образом: а измеряет, во что обходится (сколько стоит) перераспределение в пользу индивида 1 (чем выше затраты на него, тем меньше доход индивида). С другой стороны, e измеряет неприятие неравенства «творцом политики»; при а > 1 перераспределение в пользу индивида 1 становится дороже, но неприятие неравенства «творцом политики», напротив, направляет перераспределение в пользу индивида 1. Следовательно, при выработке оптимального решения «творец политики» будет взвешивать затраты на перераспределение, с одной стороны, и «ценность» перераспределения с точки зрения его этических установок — с другой.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 16

Набор достижимых аллокаций {(x, у): x + у < 100}.

Если (x, у) такие, что x + у < 100, то от «пирога» после раздела остается 100 - x - у и это может быть передано Адаму, Еве или же им обоим для увеличения их полезности. Однако в таком случае раздел пирога не является парето-эффективным. В результаты можно заключить, что {(x, у): x + у = 100} — набор парето-эффективных аллокаций.

Так как x — это полезность и доход Адама, а у — полезность и доход Евы, то свобода от зависти предполагает, что x > у и что у > x, а это соблюдается только тогда, когда x = у. В таком случае набор всех достижимых свободных от зависти аллокаций {(x, у): x = у и x + у < 100}. Следовательно, некоторые свободные от зависти аллокации достижимы, но не являются парето-эффективными.

Учитывая особые функции полезности, которые линейны по отношению к доходу, предельные полезности дохода обеих индивидов постоянны и равны 1 независимо от величины дохода. Тогда все (x, y), такие что x + y = 100, удовлетворяют утилитаристскому критерию. Раз предельная полезность дохода постоянна, то, следовательно, утилитарист не заботится о распределении полезностей. Значит, есть не единственное утилитаристское решение. Набор утилитаристских решений тождественен набору парето-эффективных аллокаций {(x, y): x + y = 100}.

Напротив, максиминное решение является единственным. Так как следует максимизировать полезность наименее обеспеченного индивида, то x = y = 50.

Нет принципиального различия с предыдущим ответом. Однако должно быть ясно, что «творец политики» здесь может выбрать как только разделение дара в 100 д. е., так и в дополнение использование налога для разделения 50 д. е. Адама. В этом случае надо проводить четкое разграничение между тем, как должен быть разделен дар в 100 д. е. и конечным распределением дохода. Пусть (x, y) будет разделением дара, а (x, y) — конечным распределением дохода. Предположим далее, что «творец политики» может только разделить дар, но не в состоянии ничего сделать по отношению к изначально располагаемой Адамом сумме, т. е. x > 0. Так как X = 50 + x, y = y и x + y = 100, то набор утили-таристких (парето-эффективных) аллокаций {(x, y): X + y = = 150 и X > 0}. Раздел дара не определен, но распределен он должен быть весь {(x,y): x + y = 100}.

По той же причине максиминное решение относительно конечного распределения x = y = 75. Однако для его достижения «творец политики» даст Адаму из дара только 25 д. е., так как 50 д. е. он уже имеет. Следовательно, максиминное распределение дара x = 25, y = 75.

Ресурсное ограничение (набор достижимых аллокаций) может быть представлен как {(x,y): 2x + y = 100}, поскольку если все отдать Адаму, то он получит только 50 д. е. (половина дара исчезает в процессе перераспределения), тогда как если Ева получает все, то на нее придется 100 д. е.

Задача «творца политики»-утилитариста:

max   L = x + y + X(100 - 2x - y).

Условия первого порядка dL

—         = 1 - 2X* < 0    x* > 0; dx

dL

= 1 - X* < 0     y* > 0;

dy

dL

= 100 - 2x * - y* = 0.

dX

Предположим, что x* > 0. Тогда X* = 0.5. Однако в то же время, из следующего неравенства следует, что X* > 1. Из этого противоречия очевидно, что x* > 0 не есть оптимальное решение для «творца политики»-утилитариста. У него остается единственный вариант: x* = 0, y* = 100.

Максиминное решение может быть получено, если заметить, что ресурсное ограничение везде имеет отрицательный наклон. Следовательно, надо найти достижимое распределение, которое уравнивает полезности, т. е. решить систему уравнений:

x = y;

2x + y = 100.

Отсюда следует, что Адам получит 662/3 д. е., Ева — 331/3 д. е.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 17

Состояние 1 превосходит состояние 0 по критерию Па-рето. Состояние 2 превосходит состояние 0 по критерию Калдора, но не по критерию Парето (состояния 2 и 0 паретонесравнимые). Состояния 2 и 1 парето-несравнимые, но состояние 2 превосходит состояние 1 по критерию Калдора.

17.2. Простая утилитаристская функция общественной полезности для индивидов А и В есть W = UA + UB, а роул-сианская функция для тех же индивидов W = min {UA, UB}. В таком случае по утилитаристскому критерию состояние 1 предпочтительнее состояния 0, состояние 2 предпочтительнее состояния 0 и состояние 2 предпочтительнее состояния 1. По критерию Роулса, только состояние 1 предпочтительнее состояния 0, тогда как при переходе из состояния 0 в состояние 2 общественное благосостояние не возрастает, так же как и при переходе из состояния 1 в состояние 2.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 18

dY

18.1.     Условие равновесия w = VMP == w = P •                 == 50 =

1000 dLlY

= —— == 2500LY = 1 000 000 == LY = 400. Отсюда Y = 40 000.

Так как производственные функции заводов одинаковы, то L = 400, X = 40 000.

Если химзавод создает внешний негативный эффект (а < 0), то на его решения о найме и выпуске этот факт никак не повлияет (LY = 400, Y = 40 000). Однако у пивзавода VMP по этой причине снизится.

Теперь:

dX

50=P    =1000LX05(Y-38000Г01 =1000LX05(2000r°-1 =468L-05

dLx

Отсюда Lx = 87 (вместо 400 ранее), а выпуск X = = 2000(87)0.5(2000)-0.1 = 8723 (вместо 40 000 ранее).

Поскольку выпуск химзавода Q(Y) равен 38 000, то можно найти LY из 38000 = 2000LY5. LY = 361.

Ставку налога можно найти из:

(1 - t)VMPL = (1 - t)1000(361)- 05 = 50.

Отсюда t = 0.05. Этот налог снизит PY до 0.95 и наем на 39 работников. Пивзавод, как и в первом случае, будет выпускать 40 000 единиц продукции и нанимать 400 работников.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 19

P = MC == 20 = 0.4Q == Q = 50.

P = SMC == 20 = 0.5Q == Q = 40. При общественно оптимальном выпуске (Q = 40) MC = 0.4Q = 0.4 • 40 = 16. Отсюда налоговая ставка t = 20 - 16 = 4.

19.3.

Если каждая фирма действует независимо, то частные предельные затраты (МС1 и МС2) просто приравниваются к ценам.

Р1 = МС1 == 2 = Q1/50 == Q1 = 100; Р2 = МС2 == 3 = 2Q2/100 == Q2 = 150.

Объединенная фирма максимизирует свою прибыль как разность между общей выручкой и суммарными затратами:

п = 2Q1 + 3Q2 - Q12/100 - Q12/100 + Q1; dn/dQ1 = 2 - 2Q1/100 + 1 = 0 == Q1 = 150; dn/dQ2 = 3 - 2Q2/100 = 0 == Q2 = 150.

Полные общие издержки пасеки (TSC1) должны учитывать ее влияние на снижение издержек выращивания яблок:

TSC1 = Q 2/100 - Q1.

Тогда предельные общественные издержки (MSC1) можно приравнять к цене и получить общественно эффективный выпуск: MSC1 = 2Q/100 - 1= 2 = Q* = 150.

Чтобы вывести пасеку на общественно эффективный выпуск, можно предоставить ей субсидию на единицу продукции (s). Ее надо вычесть из частных предельных издержек.

РЕшЕниЕ Задачи № 21

21.1. Приравниваем предельные затраты каждого хозяйства к цене и находим выпуск и прибыль при раздельном хозяйствовании:

Р1 = МС1    15 = 0.2Q1 + 5 == Q1 = 50; Р2 = МС2    15 = 0.4Q2 + 7 = Q2 = 20; п10 = P1Q1 - TC1 = 15-50 - 0.1-502 - 5-50 + 0.1-202 = 290; п20 = P2Q2 - TC2 = 15-20 - 0.2-202 - 7-20 - 0.025-502 = 17.5.

21.2. С тем чтобы определить оптимальный налог и субсидию на единицу продукции, сначала нужно найти общественно-оптимальную величину выпуска для первого и второго хозяйств. Она находится путем приравнивания к цене предельных общественных затрат (MSC). Предельные общественные затраты первого хозяйства учитывают негативный внешний эффект, который его деятельность оказывает на затраты второго, т. е. 0.025Q12. Предельные общественные затраты второго хозяйства, напротив, исключают положительный внешний эффект, который его деятельность оказывает на затраты первого, т. е. 0.1 Q22. Тогда:

MSC1 = P1    0.2Q1 + 5 + 0.05Q1 = 15 =  Q1* = 40; MSC2 = P2    0.4Q2 + 7 - 0.2Q2 = 15 =  Q2* = 40.

Теперь подсчитаем, какую величину нужно добавить к предельным затратам первого хозяйства (иначе говоря, каким налогом обложить каждую единицу его продукции) и какую величину необходимо вычесть из предельных затрат второго (иначе говоря, какую субсидию предоставить на каждую единицу его продукции) с тем, чтобы и первое, и второе хозяйство вышли на оптимальный выпуск в 40 единиц: 0.2Q + 5 + t = 15 => t = 15 - 5 - 0.2 • 40 = 2; 0.4Q2 + 7 - s = 15 => s = 0.4 • 40 - 15 + 7 = 8. 21.3. После объединения двух ранее самостоятельных хозяйств в одно прибыль определяется как:

п = 15(Q + Q2) - 0.125 Q12 - 5Q1 - 0.1Q22 - 7Q2. Максимизируем прибыль. Находим частные производные и приравниваем к нулю:

cn/cQ1 = 15 - 0.25Q1 - 5 = 0; cn/cQ2 = 15 - 0.20Q2 - 7 = 0. Отсюда Q1 = 40; Q2 = 40 (следовательно, совокупный выпуск = 80) и совокупная прибыль п = 360. Прирост прибыли по сравнению с прибылью при раздельном хозяйствовании составил Лп = 360 - (290 + 17.5) = 52.5.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 22

22.1.     LX + LY = 20. Отсюда:

LY = 20 -FT = FX + FY; FT = 10LX - 0.5L2X + 5(20 - LX) = 5LX - 0.5L2X + 100. Приравниваем средние уловы на озерах X и Y:

= ^  => 10 - 0.5LX = 5.

Отсюда LX = 10 и     = 10.

FT = 50 - 0.5(100) + 100 = 100.

22.2.     max FT : 5LX - 0.5 LLX + 100;

dF

-L- = 5 - Lx = 0.     Lx = 5, Ft = 112.5.

22.3.     В случае свободного доступа FX = 10LX -0.5L2X =

= 10 • 10 - 0.5 (10)2 = 50. Средний улов в этом случае = 50/10 = 5.

В случае ограниченного доступа, обеспечивающего максимальный суммарный улов, FX = 10LX - 0.5 LLX = 10 • 5 - 0.5 (5)2 = 37.5. Средний улов в этом случае = 37.5/5 = 7.5.

Цена лицензии равна разности между средними уловами, т. е. 2.5.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |