Имя материала: Микроэкономика Том 3

Автор: В.М. Гальперин

Часть iv рынки благ 4.1 задачи

 

ЗАДАЧА № 1

Производственная функция фирмы

q = 2 • (x1 - 5)0.5(x2 - 10)03,      x1 > 5, x2 > 10.

а)         В коротком периоде второй ресурс фиксирован на уров-

не x2 = 20, цена на продукт фирмы сложилась на уровне

P = 6. Определить объем предложения фирмы и прибыль.

б)         Рыночный спрос QD = 10 000 - 1000P. Определить

число фирм, действующих на рынке в длительном периоде.

 

ЗАДАЧА № 2

Функция предельных затрат фирмы-монополиста MC(Q) = = 10 + 2Q. Найти объем выпуска, максимизирующий прибыль, и соответствующую цену для следующих вариантов спроса:

а)         PD(Q) = 50 - Q;

б)         PD(Q) = 60 - 4Q;

в)         PD(Q) = 70 - 2Q;

г)          PD(Q) = 80 - 6Q.

 

ЗАДАЧА № 3

а)         Допустим, что прибыль монополии достигает мак-

симума при цене 25; объем выпуска при этом равен 10, а

предельные затраты равны 15. Приведите пример функции

спроса, для которой выполняются эти условия.

б)         Пусть прибыль монополии достигает максимума при

цене P, при этом объем выпуска равен Q и значение предель-

ных затрат MC(Q) < P. Докажите, что существует спрос, при

котором выполняются эти условия.

ЗАДАЧА № 4

Фирма имеет предельные затраты MC(q) = 2.5q.

а)         Найти объем предложения фирмы в условиях совер-

шенной конкуренции при цене P = 50.

б)         Найти объем предложения и цену, если эта же фирма

является монополистом на рынке с функцией спроса:

QD(P) = 30 - 0.4P.

 

ЗАДАЧА № 5

В состав фирмы входят несколько заводов. Зная функцию общих затрат каждого из них, TC.(q.), найти функцию общих затрат фирмы для следующих вариантов ее состава:

а)         n одинаковых заводов с функциями затрат

TC; (q) = 100 + 10q + q2,   i = 1, 2, n;

б)         два завода с функциями затрат

TC1(q1) = 100 + 10q1 + q2;   TC2(q2) = 200 + 10q2 + 0.25q2;

в)         два завода с функциями затрат

TC1(q1) = 100 + 10q1 + q2;   TC1(q1) = 100 + 5q2 + 0.25q2.

 

ЗАДАЧА № 6

 

Многозаводская монополия в длительном периоде может вводить новые заводы и ликвидировать существующие, приспосабливаясь к условиям спроса.

Пусть средние затраты отдельного завода описываются функцией ACi(qi) = 100/qi + 10 + qi, где q. — объем производства отдельного завода. Построить функцию средних затрат фирмы LAC(Q), где Q — объем производства фирмы.

 

ЗАДАЧА № 7

Фирма-монополист имеет в своем составе 100 заводов и находится в состоянии равновесия длительного периода на рынке с линейной функцией спроса.

Сколько заводов действовало бы на этом рынке, если бы каждый был самостоятельной конкурентной фирмой?

 

ЗАДАЧА № 8

 

Монополия встречается со спросом, описываемым фун-

кцией: .           

QD = 1 - .

Найти функцию предельной выручки, построить ее график. В чем особенность функции предельной выручки в данном случае?

 

ЗАДАЧА № 9

 

Фирма продает товар на изолированном внутреннем рынке, где она является монополистом, и на мировом рынке, в условиях совершенной конкуренции. Спрос на внутреннем рынке описывается функцией PID (QI) = 60 - QI (индекс I относится к внутреннему рынку), на мировом рынке сложилась цена PW = 30 (индекс W относится к мировому рынку). Предельные затраты фирмы MC(Q) = 10 + 0.5Q. Найти цену равновесия на внутреннем рынке, объемы продаж фирмы на мировом и внутреннем рынках.

 

ЗАДАЧА № 10

 

Многозаводская монополия имеет в своем составе m заводов и осуществляет ценовую дискриминацию на n сегментах рынка. Доказать, что рациональное распределение объема производства между заводами (q , q2,     qm) и объема продаж между сегментами рынка (Q1, Q2,     Qn) удовлетворяет условию MCi(qi) = MC2(q2) = ... = MC,^) = = MRi(Qi) = MR2(Q2) = ... = MRn(Qn), где MC.(q.) — предельные затраты і-го завода, MRy(Qy.) — предельная выручка на у-м сегменте.

ЗАДАЧА № 11

Фирма-монополист имеет функцию затрат TC(Q) = 4Q и реализует продукцию на рынке, подразделенном на два сегмента. Спрос каждого сегмента задан функциями QD (P) = 100 - 5P;     Q2D (P) = 150 - 15P.

а)         Найти предельную выручку фирмы как функцию объ-

ема продукта для двух вариантов: (i) продукт продается на

рынке по единой цене; (ii) продукт на различных сегментах

продается по разным ценам.

б)         Определить (i) объем продаж, цену и прибыль мо-

нополиста при продаже товара по единой цене; (ii) объемы

продаж, цены на сегментах и прибыль монополиста, осу-

ществляющего ценовую дискриминацию.

 

ЗАДАЧА № 12

Фирма с функцией общих затрат TC(q) = 100 + 20q + q2 встречается со спросом, описываемым функцией

QD (P) = —N    (80 - P),  где N — число покупателей.

10 000

При каком числе покупателей фирма может безубыточно действовать на данном рынке?

При каком числе покупателей фирма будет естественной монополией?

При каком числе покупателей эта естественная монополия будет безубыточной при установлении цены ее продукта на уровне предельных затрат?

 

ЗАДАЧА № 13

В дуополии Курно предельные затраты фирм равны MC1(q1) = 10 + 2q1, MC2(q2) = 20 + q2, рыночный спрос описывается обратной функцией PD(Q) = 100 - 3Q.

а) Найти функции реагирования каждой фирмы на выбор конкурента.

б)         Найти объемы выпуска каждой фирмы, рыночный

объем сделок и цену в состоянии равновесия.

в)         Задавшись произвольными начальными объемами вы-

пуска фирм, рассчитать динамику объемов и цен. Принять,

что каждая фирма в пределах одного периода не меняет своего

решения, а в последующем периоде обе фирмы принимают

новые решения исходя из своих функций реагирования.

 

ЗАДАЧА № 14

 

Олигополия Курно включает три фирмы с функциями затрат TC.(q.) = c.q., c1 = 10, c2 = 20, c3 = 30. Найти равновесные значения цены, рыночного объема сделок и объемов выпуска каждой фирмы, если спрос описывается функцией

а)         PD(Q) = 100 - 0.5Q;

б)         PD(Q) = 48 - 0.5Q.

 

ЗАДАЧА № 15

 

Какие значения может принимать эластичность спроса в точке равновесия а) монополии; б) дуополии Курно; в) олигополии Курно из n фирм?

 

ЗАДАЧА № 16

 

а)         Олигополия Курно состоит из трех фирм с функциями

затрат TC. (q.) = c.q., причем c1 = 18, c2 = 20, c3 = 22; спрос

описывается функцией QD(P) = 10 000/P2. Найти равновесную

цену, объем сделок и объемы выпуска каждой фирмы.

б)         Решить ту же задачу для случая c1 = 15, c2 = 20, c3 = 25.

 

ЗАДАЧА № 17

 

Рыночный спрос описывается функцией PD(Q) = 100 -- 0.1Q. Каждая действующая на рынке фирма имеет предельные затраты MC. = 40. Найти объемы производства каждой фирмы, рыночные объемы продаж и цены в следующих структурах:

а)         на рынке действует единственная фирма;

б)         на рынке действуют две фирмы в условиях модели

Курно;

в)         на рынке действуют две фирмы, одна из которых

является лидером (в смысле Штакельберга), другая — ее

последователем;

г)          на рынке действуют три фирмы, одна из которых

является лидером по отношению к остальным, а оба ее пос-

ледователя принимают решения независимо друг от друга;

д)         на рынке действуют три фирмы, одна из которых яв-

ляется лидером по отношению к остальным, другая — пос-

ледователем первой и лидером по отношению к третьей, а

третья — последователем первой и второй.

 

ЗАДАЧА № 18

 

На рынке с закрытым входом действуют доминирующая фирма и ее конкурентное окружение. Рыночный спрос описывается функцией QD = 7000 - 10Р, предложение конкурентного окружения — функцией (Q = -1250 + 2.5Р. Предельные затраты доминирующей фирмы — постоянная величина: MC = c = const. Определить функцию остаточного спроса на продукцию доминирующей фирмы; найти значения равновесной цены и объемов продаж доминирующей фирмы и конкурентного окружения при следующих значениях предельных затрат доминирующей фирмы: а) c = 400; б) c = 360; в) c = 330; г) c = 320; д) c = 280; е) c = 250.

 

ЗАДАЧА № 19

 

На рынке монополистической конкуренции действует фирма с функцией общих затрат TC(q) = 100 + 10q + q2. Спрос на ее продукцию в коротком периоде описывается равенством QD(P) = 92 - 2P. Найти цену, по которой фирма продает продукт, объем выпуска и прибыль фирмы.

 

ЗАДАЧА № 20

 

На рынке монополистической конкуренции действуют фирмы с одинаковыми функциями общих затрат TC(q) = 100 + 10q + q2. Спрос на рынке описывается равенством QD(P) = 4600 - 100P. Найти число фирм, действующих на рынке в длительном периоде, объем выпуска каждой из них и цену равновесия. Сравнить величину средних затрат с их минимальным возможным значением.

 

ЗАДАЧА № 21

 

Фирма с функцией общих затрат TC(q) = 100 + 10q + q2 действует на рынке монополистической конкуренции. Эластичность спроса на ее продукцию равна 5 (по абсолютной величине). Определить объем продаж и цену продукции в состоянии равновесия длительного периода.

 

ЗАДАЧА № 22

 

На концах линейного города (модель Хотеллинга) длиной 5 расположены две фирмы, имеющие функции затрат TC1(q) = 30q и TC2(q) = 60q. Для жителя, удаленного от фирмы, товар которой он покупает, на расстояние x, затраты на доставку продукта оцениваются величиной tx. Спрос на продукт абсолютно неэластичен и равен 1 на единицу длины. Определить равновесные цены товара каждой фирмы и прибыли фирм, если а) t = 10; б) t = 4; в) t = 1. Какие выводы можно сделать из сопоставления результатов?

4.2 РЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1

а)         Оптимум фирмы в коротком периоде достигается при

том уровне выпуска, при котором выполняется равенство

SMC(q) = P. При решении задачи (Производство, 4 части

III) определена функция SMC(q) = 0.1256q. Из равенства

0.1256q = 6 находим q = 47.773. Выручка фирмы TR = Pq =

= 6 • 47.774 = 286.64. Общие затраты фирмы в коротком

периоде STC(q) = 85 + 0.062797q2 = 228.32. Прибыль фирмы

п = 286.65 - 228.32 = 58.32.

б)         Равновесие совершенно конкурентного рынка в дли-

тельном периоде достигается при цене, равной минимуму

средних затрат каждой фирмы: P = min LAC(q) = 4.544; при

этом предложение каждой фирмы определяется эффективным

масштабом производства qe = 49.520. Рыночный объем пред-

ложения равен объему спроса: Q = 10 000 - 1000 • 4.544 =

= 5456. Отсюда число действующих фирм N = Q/qe « 110.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2

а) Предельная выручка монополиста MR = 50 - 2Q; условие MR = MC принимает конкретный вид 50 - 2Q = 10 + + 2Q, откуда Q = 10, и по условиям спроса P = 40.

Аналогично б) Q = 5, P = 40; в) Q = 10, P = 50;

г) Q = 5, P = 50.

Обратите внимание на то, что в вариантах а) и б) при одинаковых ценах монополист выпускает разные объемы продукта точно так же, как в вариантах в) и г); с другой стороны, в вариантах а) и в) монополист выпускает одинаковые объемы продукта, но продает их по различным ценам, так же как в вариантах б) и г).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 3

а) Если функция спроса линейна, обратная функция спроса имеет вид PD = a - bQ, а предельная выручка мо

нополии при этом равна MR = a - 2bQ и совпадает с предельными затратами: MR = MC. Таким образом, из условий задачи следует система равенств

25 = a - 10b;    15 = a - 20b.

Решение системы: a = 35, b = 1, так что обратная функция спроса PD = 35 - Q; прямая функция спроса равна QD = 35 - P.

Можно построить и другой пример. Допустим, что спрос имеет постоянную эластичность ц, т. е. описывается степенной функцией QD = 10 • (25/P)n. Так как в точке максимума прибыли монополии выполняется равенство

P ■

(

1 - і

ц

MC,

и из условий P = 25, MC = 15 находим: ц = 2.5. Итак, QD = 10 • (25/P)2,5.

б) По аналогии с предыдущим пунктом покажем, что существует, в частности, линейная функция спроса, удовлетворяющая условиям. Для функции PD = a - bQ имеем систему уравнений

 

откуда

P = a - bQ; ,    P - MC

MC = a - 2bQ,

Комментарий. Решение задач 1 - 2 раскрывает смысл утверждения «у монополии нет функции (кривой) предложения». На приведенном рисунке точка A —произвольная точка, расположенная выше кривой MC. Из решения последней задачи следует, что существует кривая спроса, проходящая через точку A и соответствующая максимуму прибыли монополиста. Таким образом, точки, соответствующие максимуму прибыли монополиста, покрывают всю область плоскости (Q, P), расположенную выше кривой предельных затрат.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4

 

а)         Из условия P = MC(Q) находим Q = 20.

б)         Обратная функция спроса PD(Q) = 75 - 2.5Q; отсюда

MR(q) = 75 - 5q (в силу монопольного положения фирмы

Q = q). Из равенства MR(q) = MC(q), т. е. 75 - 5q = 2.5q, на-

ходим q = Q = 10.

Комментарий. Сравнение решений задач а) и б) иллюстрирует значение структуры рынка, на котором действует фирма. В обеих ситуациях фирма продает свой продукт по одной и той же цене, P = 50, однако если она является монополистом, то производит меньшее количество продукта (в данном случае — в 2 раза), чем в случае конкурентного рынка. Можно показать, что это утверждение носит общий характер. Фирма-ценополучатель максимизирует свою прибыль при выполнении условия MC = = P, фирма-монополист — при условии MC = MR, причем MR < < P в силу убывающего характера функции рыночного спроса. Обозначив MCc и MCm соответственно предельные затраты при максимизации прибыли в условиях конкуренции и монополии, приходим к выводу, что при одинаковой цене MCm = MR < P = = MCc. А так как предельные затраты — возрастающая функция выпуска, из MCm < MCc следует, что при равенстве цен объем производства монополии меньше, чем объем выпуска фирмы на конкурентном рынке.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5

 

а)         По соображениям симметрии можно предположить,

что объемы производства заводов одинаковы. Но равенство

объемов производства заводов следует из того, что по усло-

виям минимизации затрат фирмы на производство любо-

го объема производства Q должны выполняться равенства

MC1(g1) = MC2(q2) = ... = MCn(qn), откуда в данном случае сле-

дует что объемы производства заводов одинаковы и, следо-

вательно, каждый из них равен q. = Q/n, так что

TC = 100 + 10Q + | Q| ,       i = 1, 2, n.

n    n J

Затраты фирмы равны сумме затрат всех заводов, так что

TCi = 100n + 10Q + —.

n

б)         Из условия MC1(q1) = MC2(q2) найдем распределение

общего объема выпуска фирмы между заводами:

10 + 2q1 = 10 + 0.5q2, откуда q2 = 4q1, а так как Q = q1 + q2, находим:  q1 = 0.2Q, q2 = 0.8Q. Таким образом,

TC1 = 100 + 2Q + 0.04Q2;     TC2 = 200 + 8Q + 0.16Q2 и TC(Q) = 300 + 10Q + 0,2Q2.

в)         Приравнивая друг другу предельные затраты заводов

10 + 2q1 = 5 + 0.5q2,

найдем распределение объема производства фирмы: q1 = = 0.2Q - 2, q2 = 0.8Q + 2. Однако малый объем выпуска фирмы не может быть распределен между фирмами так, чтобы выполнялось равенство MC1(q1) = MC2(q2): так как MC1 > 10, а MC2 может принимать меньшие значения, малые объемы (Q < < 10) должны выпускаться только 2-м заводом. Итак,

q1 =

0,         Q < 10;

0.2Q - 2,        Q > 10;

Q,         Q < 10;

0.8Q + 2,       Q > 10.

Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат:

TC(Q)    Г 300 + 5Q + 0.25Q2,       Q < 10; 1C(Q)-< 2

[ 295 + 6Q + 0.2Q2,       Q > 10.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6

 

Прежде всего заметим, что все заводы имеют одинаковые затратные характеристики, так что объем производства фирмы будет распределен между заводами поровну, q. — Q/n, i — 1, n. При этом средние затраты каждого завода равны средним затратам фирмы в целом.

Вначале дадим грубую оценку рационального числа заводов, производящих в совокупности заданный объем Q. Так как любой объем должен производиться с наименьшими общими (и, что равносильно, средними) затратами, определим, при каком объеме производства завода средние затраты минимальны (эффективный размер завода, qe). Минимум AC достигается при q. — 10 и равен 30. Ясно, что если Q кратно 10, то число заводов должно равняться Q/10 и при этом окажется AC — 30. Если же Q не кратно 10, то число заводов должно быть близко к Q/10.

Теперь уточним выбор нужного числа заводов. При малых объемах, очевидно, достаточно одного завода. При Q > 10 средние затраты возрастают с ростом объема, и при некотором значении Q целесообразно использовать два завода. Определим, при каком значении Q — Q1 средние затраты при использовании одного завода равны средним затратам при использовании двух заводов:

100   1П   ^    2 • 100   1П Q

            + 10 + Q —       + 10 + —,

Q          Q 2

откуда Q12 — J200 « 14.14 . Таким образом, при Q < Q12 продукция производится на одном заводе с меньшими затратами, чем на двух, а при Q > Q1 соотношение становится противоположным. При этом LAC(Q12) — 31.21.

Аналогичным образом, переход от n заводов к n + 1 совершается при значении Q = Qn  + 1, удовлетворяющем равенству

n • 100   1П   Q    (n + 1) • 100

+ 10 + — = -     + 10 +

Q

Q          n          Q          n +1

при

плоо +10 + Q Qn

откуда Qn n+1 = 1(0^/n(n + 1) . Ровно n заводов оказываются эффективными при 10>/(n -1) • n < Q < 10у/n • (n +1) . Итак, мы получили выражение для функции средних затрат:

LAC(Q)

средние затраты имеют ло-

n,  n + 1'

10,J(n - 1) • n < Q < 10.Jn • (n + 1). Комментарий. Как отмечалось, при Q, кратном 10, средние затраты принимают минимальное значение LAC = 30. При объемах, равных Q

кальные максимумы, равные

AC(Qn, n+1) = 10 •

n

n + 1

+1 +

n +1

n

В таблице приведены значения Qn + и соответствующие значения средних затрат. Из таблицы видно, что локальные максимумы средних затрат мало отличаются от минимума, равного 30, и тем меньше, чем больше n. Иными словами, при Q > q средние затраты мало отклоняются от константы, равной минимальному значению.

 

п

Qn, п+

AC(Q„ и+і)

1

14.14

31.21

2

24.49

30.41

3

34.64

30.21

4

44.72

30.12

5

54.77

30.08

Пренебрегая этими отклонениями, говорят, что функция средних затрат многозаводской фирмы имеет L-образную форму — падающий участок при Q < q и постоянный участок при Q > qe; величину q при этом называют минимальным эффективным размером фирмы. Если размер фирмы больше минимального эффективного, то LAC(Q) = c = const. Отсюда следует, что при этом LTC(Q) = cQ и, следовательно, LMC(Q) = c = const. Допущение о постоянстве средних (и предельных) затрат часто используется в моделях монополии и олигополии.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 7

 

Комментарий к предыдущей задаче позволяет считать функцию предельных затрат монополиста постоянной, LMC(Q) = c, равной минимуму средних затрат завода. Функция спроса линейна; положим PD(Q) = a - bQ, так что предельная выручка MR = a - 2bQ. Из равенства MR = LMC

следует, что для монополии Q

a-c

Заводы, действующие как самостоятельные фирмы, в конкурентном равновесии длительного периода имели бы эффективный размер, так что средние (и предельные) затраты каждого из них равнялись бы c. Функция рыночного предложения характеризовалась бы постоянной ценой, PS(Q) = = c. При данном спросе объем конкурентного равновесия

 

с

равен Q(

a

b

c

Таким образом, заводы, действующие са-

мостоятельно и конкурирующие друг с другом, производили бы вдвое больший объем продукта, чем монополия. А так как в обоих случаях заводы имеют эффективный размер, число их также должно быть вдвое больше, чем в составе монополии, и равно 200.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 8

 

Обратная функция спроса:

PD(Q) = 1 + (1 - Q)3.

Отсюда

График функции предельной выручки представлен на рисунке.

Решение этой задачи показывает, что, несмотря на то что функция спроса — монотонно убывающая (кривая D), предельная выручка может иметь другой характер. В данном случае она имеет локальный минимум при Q = 0.5, возрастающий участок 0.5 < Q < 1, локальный максимум при Q = = 1 и затем убывает при Q > 1.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 9

Максимум прибыли фирмы достигается при равенстве предельной выручки на каждом из рынков и предельных затрат фирмы. В условиях совершенной конкуренции предельная выручка совпадает с ценой. Поэтому MC(Q) = Pw, т. е. 10 + 0.5Q = 30, откуда объем производства фирмы Q = 40. Условие MC(Q) = MRT (QT) дает равенство 30 = 60 - 2Qp откуда объем продаж на внутреннем рынке QT = 15. Так как Q = = Qt + QW объем продаж на мировом рынке QW = 40 - 15 = 25. Цена на внутреннем рынке Рт = 60 - 15 = 45.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 10

Распределение объема производства между заводами должно удовлетворять условию

MC^) = MC,^) = ... = MCJgJ = MC(Q), где Q — объем выпуска фирмы, MC(Q) — ее предельные затраты. Распределение объема продаж между сегментами рынка

MR1(Q1) = MR2(Q2) = ...= MRn(Qn) = MR(Q), где MR(Q) — предельная выручка фирмы. Условие MR(Q) = = MC(Q) завершает доказательство.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 11

а) Верхний предел цены на первом сегменте равен 20, на втором — 10.

(i) При продаже продукта по единой цене функция спроса для рынка представляет собой сумму соответствующих функций на сегментах:

D          { 250 - 20Р,       Р < 10;

{ 100 - 5Р,         10 < Р < 20.

Функция спроса имеет излом при Р = 10, Q = 50. Обратная функция спроса:

D          Г 20 - 0.2Q,       Q < 50;

1 12.5 - 0.05Q,      50 < Q < 250.

Общая выручка:

TR(Q) = Q ■ PD (Q)

20Q -0.2Q2,      Q < 50;

12.5Q -0.05Q2,      50 < Q < 250. Предельная выручка:

Г 20 - 0.4Q,       Q < 50;

MR(Q) = i

I 12.5 - 0.1Q,        50 < Q < 250.

Излом функции спроса порождает скачок функции предельной выручки при Q = 50. Эта функция убывает на каждом из участков, слева (при Q < 50) и справа (при Q > 50); при Q — 50 предел слева равен 0, предел справа равен 7.5.

(ii) Для анализа ситуации, связанной с ценовой дискриминацией, потребуются функции предельной выручки на каждом сегменте. Обратные функции спроса на сегментах: Pf (Q) = 20 - 0.2Q;     P2D(Q) = 10 - 0.0667Q. Функции предельной выручки:

MR1(Q) = 20 - 0.4Q;       MR2(Q) = 10 - 0.1333Q.

Чтобы выполнить «горизонтальное суммирование» функ-

ций предельной выручки, нужно найти обратные функции:

Q (MR) = 50 - 2.5MR,    MR < 20;

1          } (1)

Q2(MR) = 75 - 7.5MR,   MR < 70.

Их сумма:

Г 125 - 10MR,      MR < 10;

Q(MR) = {

I 50 - 2.5MR,     MR > 10.

Обратная функция представляет собой предельную выручку дискриминирующей фирмы:

Г 20 - 0.4Q,        Q < 25;

MR(Q) = {         * (2)

[ 12.5 - 0.1Q,     Q > 25.

Отметим, что у дискриминирующей фирмы предельная выручка — непрерывная монотонно убывающая функция.

Для нахождения общей выручки требуется проинтегрировать предельную выручку в пределах от 0 до Q; интегрирование нужно выполнить раздельно по участкам. При Q < 25:

Q

TR(Q) = J(20 - 0.4q)dq = 20Q - 0.2Q2.

0

Отметим, что TR(25) = 375. При Q > 25:

Q

TR(Q) = TR(25) + J (12.5 - 0.1q)dq =

25

= 375 + 12.5(Q - 25) - 0.05(Q2 - 252) = = 93.75 + 12.5Q - 0.05Q2.

Итак,

TR(Q) = { 20Q - 0.2Q2,  Q < 255

[ 93.75 + 12.5Q - 0.05Q2,           Q > 25.

б) (i) При продаже товара по единой цене оптимум монополии достигается при объеме продаж, удовлетворяющем условию MR(Q) = MC(Q). В рассматриваемом случае это условие выполняется при двух значениях Q, слева и справа от точки разрыва функции MR(Q):

20 - 0.4Q = 4 => Q = 40 < 50; 12.5 - 0.1Q = 4      =>     Q = 85 > 50.

Оптимум фирмы определим путем сопоставления величины прибыли в обоих локальных максимумах, при Q = 40 и при Q = 85.

При Q = 40 цена спроса P = 20 - 0.2 • 40 = 12, выручка TR = 12 • 40 = 480, затраты TC = 4 • 40 = 160, прибыль П = = 480 - 160 = 320.

При Q = 85 соответствующие величины составляют P = 12.5 - 0,05 • 85 = 8.25, TR = 8.25 • 85 = 701.25, TC = = 4 • 85 = 340, П = 701.25 - 340 = 361.25. Таким образом, монополист предпочитает второй вариант (Q = 85), дающий большую прибыль.

(ii) При ценовой дискриминации равенство MR.(Q.) = = MC(Q) должно выполняться на каждом сегменте. В общем случае следовало бы решить уравнение

MR(Q) = MC(Q),

где функция MR(Q) определяется уравнением (2), и найденное при решении значение MR подставить в уравнения (1) для нахождения распределения общего объема продаж по сегментам. Но условие MC(Q) = 4 = const упрощает задачу: объемы Q1 и Q2 могут быть определены из условий MR1(Q1) = = MC и MR2(Q2) = MC, т. е.

20 - 0.4Q1 = 4;  10 - 0.1333Q2 = 4,

откуда Q1 = 40, Q2 = 45. При этих объемах цены спроса составляют

P1 = 20 - 0.2 • 40 = 12, P2 = 10 - 0.0667 • 45 = 7, так что выручка равна TR = 12 • 40 + 7 • 45 = 795. Поскольку суммарный объем продаж на обоих сегментах оказался таким же, как при единой цене, величина общих затрат принимает уже найденное значение TC = 340. Отсюда прибыль при ценовой дискриминации П = 795 - 340 = 455.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 12

 

Обозначим A = N/10 000, так что функция спроса будет представлена равенством QD(P) = A • (80 - P), а обратная функция спроса — равенством PD(Q) = 80 - Q/A.

Средние и предельные затраты фирмы даются выражениями

AC = 100 + 20 + q;        MC = 20 + 2q.

q

1) Если на рынке действует единственная фирма, то объем ее продаж q совпадает с рыночным объемом покупок Q, так что здесь q = Q. Фирма может безубыточно действовать, если максимально возможная для нее прибыль неотрицательна. Максимум прибыли достигается при условии MR = MC. Так как MR = 80 - 2q/A, приравнивая это выражение предельным затратам, 80 - 2q/A = 20 + 2q, найдем,

30 A

что q = .

1 + A

Условие безубыточности сводится к тому, что общая выручка не меньше общих затрат, TR > TC. Используя найденное выражение для q, получаем:

TR = Р=Гб0-™- 30A; TC = 100+20 • 30A+ Ґ «°±Т.

Теперь условие безубыточности принимает вид неравенства относительно A. Его решение дает A > 0.125, так что N > 10 000 • A = 1250. Итак, фирма может безубыточно функционировать на данном рынке, если число покупателей не менее 1250.

2) Единственная фирма на данном рынке будет естественной монополией, если производство требуемого объема продукта одной фирмой сопряжено с меньшими затратами, чем его производство двумя или бульшим числом фирм. Прежде всего выясним, какой объем производства может быть с меньшими затратами произведен одной фирмой. Для этого сравним средние затраты на производство заданного объема Q одной фирмой и двумя фирмами. При этом будем считать, что ресурсы могут свободно перемещаться и, следовательно, обе фирмы будут обладать одинаковыми затратными характеристиками.

Если рыночной объем Q производится одной фирмой, то объем ее выпуска q = Q; если фирм две, то объем выпуска каждой из них q = Q/2. Объем, при котором производство одной и двумя фирмами требует одинаковых затрат, определяется равенством TC(Q) = 2TC(Q/2), или, что равносильно, AC(Q) = AC(Q/2):

100   on   ^    200   on Q

            + 20 + Q =        + 20 + —,

Q          Q 2

откуда  Q = yf200 « 14.14 .

Если цена спроса, соответствующая этому объему, превосходит или равна средним затратам, то две фирмы могут безубыточно производить и продавать товар не дороже, чем единственная фирма. Если же цена спроса менее средних затрат, то единственная фирма окажется естественной монополией. Средние затраты при Q = 14.14 равны 41.21, так что фирма будет естественной монополией при условии

PD(14.14) = 80 - 14.14/A < 41.21, откуда A < 0. 3646 и N < 10 000A = 3646.

Замечание 1. При ответе на первый вопрос мы выяснили, что фирма может безубыточно действовать на данном рынке при N > 1250. Таким образом, безубыточная фирма окажется естественной монополией при 1250 < N < 3646. Если продукт, производимый фирмой, признается социально значимым, то благодаря государственным дотациям фирма сможет функционировать и при N < 1250.

3) При установлении регулирующим органом цены на уровне предельных затрат, что исключало бы общественные потери монополизации рынка, фирма может безубыточно действовать на рынке при условии MC(q) > AC(q), или

20 + 2q > 100 + 20 + q,

q

откуда q > 10. При этом объеме (Q = q) цена спроса должна быть не менее средних затрат: P°(10) > AC(10), т. е. 80 - 10/A > > 40. Отсюда A > 0.25 и N > 2500.

Замечание 2. Мы выяснили, что при числе покупателей в пределах 2500 < N < 3646 единственная фирма может удовлетворить спрос с меньшими затратами, чем две (или более) фирмы, и при этом она может безубыточно продавать свой продукт по цене, равной предельным затратам. Фирмы, действующие в этих условиях, называют слабыми естественными монополиями.

Итак, в зависимости от числа покупателей фирма может оказаться в следующих положениях:

при N < 1250 фирма может безубыточно функционировать только при условии получения дотации;

при 1250 < N < 2500 фирма представляет собой обычную естественную монополию, которая может безубыточно функционировать при установлении цены не ниже средних затрат;

при 2500 < N < 3646 фирма представляет собой слабую естественную монополию, и ее цена может быть установлена на уровне предельных затрат;

наконец, при N > 3646 фирма не является естественной монополией.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 13

а) Прибыли фирм равны

П = (100 - 3?1 - 3q2) • q1 - (qj;

п2 = (100 -       - 3q2) • q2 - TC2 (q2). Условие максимума прибыли каждой фирмы при заданном выпуске конкурента:

= (100 - 6q - 3q2) - (10 + 2qJ = 0; -Ьі = (100 -      - 6q2) - (20 +      = 0.

5g2

 

t

Qiit)

q2(t)

Qit)

Pit)

0

5.00

20.00

25.00

25.00

1

7.50

13.00

20.50

38.50

2

12.75

11.50

24.25

27.25

3

13.88

8.35

22.23

33.33

4

16.24

7.68

23.91

28.26

5

16.74

6.26

23.00

31.00

6

17.81

5.95

23.76

28.72

7

18.03

5.32

23.35

29.95

8

18.51

5.18

23.69

28.92

9

18.62

4.89

23.51

29.48

10

18.83

4.83

23.66

29.02

11

18.88

4.70

23.58

29.26

12

18.97

4.67

23.65

29.06

13

18.99

4.62

23.61

29.17

14

19.04

4.60

23.64

29.08

15

19.05

4.58

23.62

29.13

16

19.07

4.57

23.64

29.08

17

19.07

4.56

23.63

29.11

18

19.08

4.56

23.64

29.09

19

19.08

4.55

23.63

29.10

20

19.09

4.55

23.64

29.09

Решая первое уравнение относительно q1, второе — относительно q2, найдем функции реагирования фирм: q1 = 22.5 - 0.75q2 = R1(q2);     q2 = 16 - 0.6q1 = Д,^).

б)         Из системы q1 = R1(q2); q2 = R2(q1) находим: q1 = 19.09;

q2 = 4.55; далее, Q = q1 + q2 = 23.64 и P = 100 - 3 • 23.64 = 29.09.

в)         Обозначим q1(t), q2(t) объемы выпуска фирм в t-м периоде.

Поскольку каждая из фирм ориентируется на известный

ей выпуск конкурента в предшествующем периоде,

q^t)

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |