Имя материала: Математика в экономике

Автор: Юдин С.В.

3.4. производная. исследование функций

Для нахождения производной в программе Maxima применяется команда diff

 

Задача 3.7. Поиск экстремумов.

 

3 2

Найти экстремумы функции у = -9х -Ах +5х 1. Определим функцию:

(\%І15)    у(х]:=-9*хА3-4*хЛ2+5*х; С\%о15]   у(х) :=(-5}х3 - 4 х2 + 5 х

 

Найдем производную:

(\%І16) f (x) :=diff (у (x) ,x) ; (\%ol6)    f(x) :=diff(y(x) , x)

<\%il7) f(x);

<\%ol7)    -21x2-Qx + S

Найдем нули производной: (\%i!S)    solve(f(x} =0,x] ;

-J ISl'-f- 4        -J 151 ' - 4

(\%oiej   fjc =   fx=      ;

27 27

Найдем вторую производную:

(\%i!9) g(x} :=diff (f (x) ,x) ; (\%ol9) g(x):=diff(f(x),x]

(\%І20) g(x); (\%o20) -54x-8

Далее может возникнуть проблема, т.к. мы задали функцию

g(x) через производную другой функции, т.е. ее аргументом является

функция. Переопределим функцию второй производной:

(\%i25)    g(x) :=-54*x-8; (\%o25)    g( x) :=( - 54 )x - 8

5.         Вычислим значения второй производной в точках, в которых

первая производная обращается в ноль:

(\%І2Є)    g(- (sqrt (151)44)/27} ; (\%o26)    -2( -л/15l'-4 }- 8

(\%i27)    g( (sqrt(151}+4)/27} ; (\%o27)    -2(л/і5і' + 4 }- 8

Для преобразования подобных выражений в десятичную дробь используется функция float:

(\%І31)    float (\%о2б) ,пшіег; (\%о31) 24.57641145488901

(\%І32)    float (\%о2 7} , mimer; (\%о32) -40.57641145488901

82

Аргументом этой функции (так же, как и у других функций) может быть число, выражение или ссылка по адресу, как в данном случае.

В первой точке вторая производная больше нуля, а во второй -меньше нуля, следовательно, в первой точке наблюдается минимум, во второй - максимум.

 

Задача 3.8. Минимаксная задача.

Найти минимальное и максимальное значение функции у = х -х - х + на отрезке [ -2, 4].

Задаем функцию:

(\%ІЄ) y<xj :=хЛ3-хЛ2-х+1; (\%о6)   у( х) : = х3 - х2 - х + 1

Находим производную:

(\%i7)    diff (у(х] ,х] ; (\%о7) Зх2-2х-1

Находим нули производной:

(\%ІЗ)    solve(diff(у{х))=0,х);

_

С\%о8)    [х = 1,х =     ^del(x}=0;

3

4.         Т.к. обе точки, в которых производная обращается в ноль,

находятся внутри указанного в условиях отрезка, то вычисляем значения функции как в стационарных точках, так и на границах отрезка (рис. 3.2):

Итак, точка минимума: (-2; -9); точка максимума: (4; 45). Задача 3.9. Исследование функции и построение ее графика.

Произвести полное исследование функции и построить ее график: у = 3x3 - 9x 2 +26x- 24 Зададим функцию:

у (х) : = (хЛ3-9*хЛ2+2б*х-2 4)л(1/3) ; (\%ol)   у(х):=^х  -Эх +26Х-24)

. ООФ: jcgR.

. Симметрия отсутствует.

. Точки пересечения с осями координат: При x=0:

(\%І2)   у(0);

(\%о2)  -2 31/3

или

(\%i3)   float(\%);

(\%оЗ)  -2.884499140614817

Найдем, когда функция обращается в ноль:

(\%i4)    solve (у (х) =0, х) ; (\%о4)    f х = 4 Л х = 2 , х = 3 ]

. Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.

. Наклонные асимптоты:

Наклонные асимптоты ищем в виде: y=ax+b. По определению асимптот параметры a и b находятся как пределы:

а= lim ^1^; Ъ= lim (у(х)-ах)

jf—»оо   X Jf—»оо

(\%І5)    а : limit(у(х)/х,х,inf] ;

(\%о5) 1

Найдем второй параметр:

(\%І6)   Ь : limit ( (у (х) -а*х) , х, inf ] ; (\%о6) -З

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y=x-3. 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Найдем производную:

 

(\%І7)    diff<у<х),х);

зxz - 18х + ге

<\%о7)            

З ( к    - Э к   +26 х -24)

Разложим знаменатель на множители, применив к функции операцию «Упростить (рац)», для чего просто нажмем на эту кнопку:

(\%i9) radcaii(\%);

З л2 -18 х + 26

(\%о9)

3(x-4>2/3(x-3)2/3U-2}2/3

 

Найдем нули производной:

(\%i!0)    solve (diff (у (x) )=0,x] ;

т/Т"- э        т/1Г+ 9

(\%ol0)    [x =   , je=     , del(x) = Oj

з 3

В десятичных дробях корни имеют следующее выражение:

(\%ill)    float(\%);

{\%ollJ    [x = 2 . 422649730810374 , x = 3 . 577350269189625

Следует отметить, что при x=2, x=3, x=4 первая производная терпит разрыв, и ее значение в этих точках стремится в бесконечности. Таким образом, график функции в этих точках вертикален.

При x <2.4226, y >0 - функция возрастает;

При 2.4226< x <3.5774, y '<0 - функция убывает;

при 3.5774< x , y' >0 - функция возрастает.

Таким образом, х =3.5774 - точка минимума; х=2.4226 - точка максимума.

Сначала упростим это выражение:

7). Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость. Найдем вторую производную:

1/3       "-'3       1/3 п

(\%ol3J

U-4}       (к-3)       (х-2> ' (6х^-36х+56)

а затем разложим на множители:

11232 к + 5184

Корни комплексные, на множестве действительных чисел корней нет. Таким образом, вторая производная в ноль не обращается. Однако, она терпит разрыв в точках х=2, х=3, х=4. При этом, при переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно - это точки перегиба.

Теперь построим график. Предварительно, зададим функцию асимптоты:

Для построения графика нажмем кнопку «График 2D». Появится панель мастера «График 2D» (рис. 3.3).

 

3.5. Интеграл

Задача 3.10. Неопределенный интеграл.

х -1

Найти неопределенный интеграл j"           dx

х(х   +1)

В программе Maxima для интегрирования имеется функция integrate. Ее синтаксис:

mtegrate(функция, аргументфункции {,нижний_предел, верхнийпредел }) В фигурные скобки заключены необязательные операнды: пределы интегрирования. Если они отсутствуют, то производится поиск неопределенного интеграла. Введем команду:

 

Итак, мы сразу же получили, что интеграл равен

J  *  1  dx =       - arctg(x)

х(х2 +1) 2

 

Как видим, переменная интегрирования здесь опускается.

 

Задача 3.11. Определенный интеграл.

 

з  y -—

Вычислить определенный интеграл J ,— е  2 dx. Введем команду:

(\%i2)    integrate (ехр(-хЛ2/2)/sqrt(2*\%pi),x, 0, 3]

(\%о2)

Здесь была использована математическая константа число 71=3.14159... (отношение длины окружности к диаметру). В программе Maxima она обозначается «\%pi».

Ответ был получен через встроенную функцию erf(x) - интеграл ошибок. Получим ответ в привычной форме, используя функцию float74

(\%ІЗ)    float (\%);

(\%оЗ) 0.49865010196837

Итак, наш интеграл вычислен с очень большой точностью. Если будет необходимость, то можно увеличить точность, войдя в раздел меню «Численные вычисления»==>«Установить точность».

Количество знаков зависит только от объема памяти компьютера и, возможно, времени, которое Вы готовы потратить в ожидании ответа.

Ниже показано графическое представление интеграла:

89

Как видим, представление не очень красивое (зато ВСЁ бесплатно).

 

Задача 3.12. Несобственный интеграл.

 

со |

Вычислить несобственный интеграл J—  dx.

OX +1

Введем команду: (\%il)    integrate(1/(хЛ2 + 1),x, G, inf ] ;

 

(\%ol) —

 

Как видим, мы получили требуемый результат.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |