Имя материала: Математика в экономике

Автор: Юдин С.В.

3.7. ряды

Задача 3.13. Сходимость и суммы числовых рядов.

Исследовать ряд на сходимость и найти его сумму, если он

"       ЪАп - 82

сходится: 2^   2          '

п=6П -2п  -5п + 6

Применим признак Даламбера, для чего нужно найти предел отношения lim

П^сс С1п

Выполним расчеты.

Задаем функцию (общий член ряда):

Подпись: <ап

 

 

< —

и3-2и2-5и + 6   и3-2и2-5и + 6 и3-2и2-5и 34п ЗАп

= 68— = — = Ъп

3        2    г 2      3      3 л        3 2

п -2п -5п     п -п 12      п п

<

68

Рассмотрим функцию f(x) = — . Т.к. при х>0 f(n)=b(n), то

X

оо

Вычислим интеграл j—dx:

можно применить интегральный признак Коши.

68

Т.к. получено конечное значение, то интеграл сходится, следо-

 

вательно ряд ^Ьп сходится, а т.к. 0<ап <Ьппщ всех достаточно п=6

больших n, то и исходный ряд тоже сходится.

Найдем теперь сумму ряда. Сначала без использования программы Maxima, а затем проверим результат с ее помощью.

91

Разобьем дробь ап на элементарные дроби, для чего разложим знаменатель на множители. Для этого найдем корни знаменателя,

3 2

т.е. решим уравнение п -2/7 -5/7 + 6 = 0.

Легко заметить, что /7 = 1- корень этого уравнения.

Для нахождения двух остальных корней поделим полином третьей степени на (п-1):

 

п3 -2п2 -5п +6

/2-І

3 2

п - п

п2 -п-6

-п2 - 5п

 

-п2 +п

 

-6п + 6

 

0

 

2

Решим квадратное уравнение п -/7-6 = 0. Имеем: п = -2 и /7 = 3. Таким образом, знаменатель раскладывается на следующие множители:

г? - In1 - 5п + 6 = {п - \п + 2)(и - 3).

 

Исходная дробь a(n) может быть представлена в виде:

34/7-82          а       Ъ с

ап=—, -2         =          +          +         

/7-2/7-5/7 + 6     /7-1    /7+2 /7-3

Приведем правую часть дроби к общему знаменателю:

34/7 - 82        an2 - an -6а + Ъп2 - 4Ьп + ЪЪ + сп2 + с/7 - 2с

Qn ~ пъ-2п2-5п + в ~            (и-1)(и + 2)(и-3)

 

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем следующую систему уравнений:

а+^ ^ 0 < - а - 4Ь + с = 34 - 6а + 36 - 2с = -82

 

Ее решение: а = 8; Z? = —10; с = 2..

92

Таким образом,

8      10 2

n-1   n + 2 n-3 Рассмотрим последовательности, образуемые каждым слагаемым. Расположим их друг под другом так, чтобы в каждом столбце были одинаковые знаменатели, и сложим:

222222 22

— + — + - + — + — + -+ — + — + ...+

345678    9 10

_10_10_10_ ~8~  ~9~ Ї0

8   8   8   8     8 8 - + - + - + -+ - + — + , 5   6   7   8     9 10

і I

Видно, что сумма всех столбцов, кроме первых пяти, равна нулю. Таким образом, сумма ряда равна

88822222 5 = - + - + - + - +- + - + - + - = 6.2619047. 56734567

Найдем теперь сумму ряда с помощью программы Maxima:

Подпись:
Для того, чтобы получить ответ, необходимо добавить команду simpsum:

з imp s um;

Ответ не дан.

Попытаемся найти решение через предел частичных сумм.

Зададим функцию частичной суммы S(m) = ^а(п):

п=6

Как видим, предел тоже не находится.

Попытаемся приблизиться к ответу, увеличивая значение верхнего предела суммы: m=1000

(\%ІІ8) S(1000};

(\%І23)

(\%о23) 6.261870761928762 Разница в найденном нами точном ответе и приближенном, найденном программой Maxima - в четвертом знаке после запятой. Можно считать, что мы нашли ответ точный.

Задача 3.14. Сходимость числового ряда.

 

Исследовать ряд на сходимость:

2п (2п + 2)! ^    (3/7)! '

п=1

Применим признак Даламбера, для чего определим фунцию общего члена ряда, а затем найдем предел отношения последующего члена к предыдущему:

Т.к. предел отношения равен нулю, то ряд сходится.

 

Задача 3.15. Сходимость степенного ряда.

 

ОО

Исследовать ряд на сходимость: ^(-9и2 + п - 6)хп~1.

п=4

Найдем радиус сходимости:

(\%І5)    а (п) :=-9*лЛ2+п-6;

(\%о5)    а< л) :=< - 91л2 + л - 6

(\%i6)    limit (а (п+1) /а (п) jr п, inf) ; (\%о6) 1

Радиус сходимости равен единице, следовательно, ряд сходится абсолютно при -1 < х < 1.

При |х| = 1 нарушается необходимый признак сходимости: члены ряда должны стремиться к нулю. Т.к. множитель при xn-1 неограниченно растет по модулю, то и все произведение также неограниченно растет. Ряд расходится.

Задача 3.16. Разложение в ряд Тейлора.

 

Разложить функцию в ряд Тейлора: f (х) - х ■ cos2 (х) в точке

x=0.

Для разложения функции в ряд Тейлора служит функция taylor. Ее синтаксис:

taylor(f,x,a,n).

Здесь f - функция, которую требуется разложить в ряд Тейлора; х - переменная, по которой производится разложение; а - точка, в которой производится разложение; n - максимальная степень переменной х, до которой выписывается ряд Тейлора.

Введем команду:

3.8. Дифференциальные уравнения

Задача 3.17. Решение обыкновенного дифференциального уравнения

Решить дифференциальное уравнение ,   х + у

у=—-■

х-у

Для решения дифференциальных уравнений используется команда ode2. Ее синтаксис:

ос1е2(уравнение, имяфункции, имяаргумента). Зададим уравнение:

Задача 3.18. Задача Коши.

 

Решить задачу Коши:

у"-4/ + 4у = е3х,у(0) = 0, У(0) = 1. Записываем уравнение:

Мы получили, что решение уравнения есть следующая функция:

у = е3х +(к2-х + к)е2х.

 

При помощи функции ic2 учтем начальные условия:

С\%ІЗ)    Іс2 (\%, х=0, y=Q, 1 diff [у, х] =1} ; {\%оЗ)   у = \%е3х-\%е2х

Зх 2х

Окончательно получаем: у = е -е

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |