Имя материала: Математика в экономике

Автор: Юдин С.В.

5.3. задачи экономического моделирования

 

Задача 5.1. Система массового обслуживания.

В цехе имеется два станка для обработки корпусных деталей. Интенсивность поступления деталей на обработку равна Х=6 дет/час, а интенсивность обработки деталей каждым станком равна ц=4 дет/час. Нарисовать графы состояний и вычислить: коэффициент использования оборудования, среднее число занятых станков, среднее число деталей в очереди, среднее время пребывания детали в цехе, вероятности состояний, если:

а)         имеется накопитель на две детали;

б)         емкость накопителя не ограничена.

Решение.

На рис. 5.4 и рис. 5.5 представлены диаграммы состояний для первого и второго случаев соответственно.

обслуживающими аппаратами (станками) 1). Накопитель с ограниченной емкостью.

X

В соответствии с общей теорией имеем: р. = р _х —^ .

Ш

Так как у нас два станка и две позиции в накопителе, то интенсивность поступления: Xq - х - х2 = ^3 = ^4 = ^5 ^/ = О V/ > 4.

Это следует из того, что интенсивность поступления деталей на обслуживание постоянна, но если заняты оба станка и оба места в накопителе, то детали не поступают в систему.

Интенсивность обслуживания:

Ц|=ц; Ц2=2|а; цз = 2ц; 04= 2ц; Ц5 = ... = О.

Это объясняется тем, что интенсивность обслуживания кратно количеству занятых одновременно станков. Если деталь одна, то ц і

= ц, если деталей больше, то    = 2i, т.к. станков всего два и

на обслуживании одновременно может быть не более двух деталей. Далее имеем:

1       2 1    З 1

= -Л)Р » Р3=— Р » ^4=— Р

р = -; р=рор> Pi [і

1    З    1 4

-уР , /?4=—п

 

Сумма всех вероятностей (в том числе и p0) равна 1, т.е.

p0

л          1   2     1    З     1 4

1 + P + -P   +-ГР +-7Р

2       22 23

1.

Подпись: і	I   2     І    З     I 4
1 + Р + -Р   + ^Р +^7Р 2       22 23
Отсюда: Р0

1

<\%І26) p2:pl*Ro/2; 144

(\%о26)           

653

(\%І27) p3:p2*Ro/2; IDE

(\%о2 7)          

653

(\%І2Є) p4:p3*Ro/2;

- -

(\%о2Є)

Й53

Число занятых станков: N = р + 2р2 + 2р^ + 2р^.

(\%І32)    Н:р1+2* (р2+рЗ+р4);

Е5Е

(\%о32>          

Є53

(\%ІЗЗ)    float (\%] ;

(\%оЗЗ) 1.313935681470138

Итак, среднее число занятых станков равно VV=1,314. Число деталей в системе: т = рх + 2р2 + Ър^ + 4/>4

(\%І34)   га: sum (i*pO*Ro~i/2Л(і-1),і,1,4), float; C\%o34) 1.727411944869832

Число деталей в очереди: К = р-$ + 2р^

(\%І35) К:рЗ+2*р4,float; (\%о35) 0.41347626339969

М

Время пребывания в цехе равно: Т = —.

X

(\%i36) T:m/Lambda; (\%о36) 0.28790199081164

2). В случае неограниченности емкости очереди Xj=X Vi,     = 2[i Vi >2, ± = [і.

Вероятности любого состояния не будут равны нулю. Условие

 

ОО

нормировки здесь:  ^Pj = 1.

7 = 0

Тогда pi}

Вычислим необходимые величины:

sum((Ro/2)

Подпись:  Исходя из общей теории, далее получаем: Среднее число деталей в системе:

і

'рА

Последовательно вычисляем:

(Ro/2)

2

(\%І52)   Х(100),float; (\%o52) 11.24999999989994

Как видно, скорость сходимости ряда большая, возьмем его значение Y=11,25:

(\%І55) Y:\%o51; (\%о55) 11.25

Далее:

(\%І56)   m:pO*(Ro+2*Y); (\%o56) 3.428571428571428

Среднее число занятых станков: N = 2 - 2pQ - pi:

 

(\%І57) N:2-2*pO-pO*Ro;

 

(\%o57) -2

Среднее число деталей в очереди: К = т-N:

(\%І58) K:m-N;

(\%о58) 1.928571428571428

 

М

Время пребывания в цехе равно: Т = —:

 

(\%І59)    Т:т/Lambda; (\%о59) 0.57142857142857

Ответ:

а)         p0, p1, p2, p3, p4 равны: 0.196, 0.294, 0.221, 0.165, 0.124;

число занятых станков N = 1.314; число деталей в системе m = 1.727; число деталей в очереди K = 0.413; коэффициент использования (N/2)= 0.657; время пребывания в цехе= 0.288.

б)         p0 равно: 0.143;

число занятых станков = 1.5; число деталей в системе = 3.428;

число деталей в очереди = 1.929; коэффициент использования = 0.75; время пребывания в цехе = 0.571.

 

Задача 5.2. Задача линейного программирования.

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров - не менее 70 и витаминов - не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П и П 2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта Пх - 2 руб., П2 -3 руб.

Построить математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ. Найти параметры задачи.

Решение. Составим экономико-математическую модель.

Пусть х1 - количество единиц продукта П1, х2 - количество единиц продукта П2.

Целевая функция - стоимость питания: Ц=2 х+3 х2-^тіп.

Ограничения:

необходимо потреблять не менее 120 единиц белка

0.2 х1+0.1 х2 > 120

необходимо потреблять не менее 70 единиц жиров

0.075 х1+0.1 х2 > 70

необходимо потреблять не менее 10 единиц витаминов

0.1 х2 > 10

4) обе переменные неотрицательные

х1 > 0, х2 > 0

Для решения используем электронные таблицы OpenOffice.org

Calc.

На рис. 5.6 представлена исходная информация, необходимая для решения задачи.

В ячейках A3 и В3 установлены нули как начальное приближение. В ячейках А7 и А8 помещены коэффициенты целевой функции (2 и 3 соответственно). В ячейках А11:В13 помещены коэффициенты всех трех ограничений.

В ячейках Е11:Е13 помещены знаки ограничений. Это справочные элементы и нужны только нам. Для программы решения задач линейного программирования они не требуются.

В ячейках F11:F13 помещены правые части ограничений.

Теперь, необходимо задать формулы расчета целевой функции и левых частей ограничений.

Если посмотреть на нашу таблицу (рис. 5.6) и формулу целевой функции, то можно записать: Ц=А7*А3+В7*В3.

Формулы подобного вида записываются через функцию SUMPRODUCT (сумма произведений соответствующих элементов двух и более массивов).

Мастер функций

Подпись: Массив 1
Массив 2 Массив 3 Массив 4
Перемножает соответствующие помпоненты текущих массивов и вычисляет соответствующие значения.

Массив 1 (обязательный)

Массив 1; массив 2,... до 30 массивов, аргументы которых перемножаются.

Результат функции О

Отмена

<< Назад

Далее

 

Рис. 5.9. Окно ввода аргументов

После нажатия правой кнопки в окне ввода «Массив 1» на рабочем листе активизируется окно ввода первого набора (рис. 5.9).

Мышкой выбирается прямоугольная область, содержащая элементы первого массива. Это - значения переменных, т.е. ячейки А3:В3.

Т.к. значения переменных сейчас равны нулю, то и результаты

расчета по введенным формулам равны нулю (рис. 5.12).

 

 

|D7

 

01 Л Ш

= =SUMPRODUCT($A$3:$B$3;A7:B7)

 

 

 

 

В

С

D

Е

F

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Х2

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

=

5

ы

 

Значение

 

 

 

 

6

:ции

 

целевой функции

 

 

 

 

7

3

 

=SUMPRODUCT($A$3:$B$3;A7:B7)

 

 

 

'—

В

 

 

 

 

 

 

9

ы

 

Значение

Знак

Правая

 

10

 

 

левой части

неравенства

часть

 

 

11

0 1

 

=SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A11:B11}

>=

120

 

12

0 1

 

=SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A12:B12)

:>=

70

 

13

0 1

 

=SUMPRODUCT[$A$3:$B$3;A13:B13}

>=

10

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

>1

 

ИЕ

[7]|Й]Лисг1 /Лип-2/ЛистЗ /

ГГ       1                  NN 1

 

 

 

 

|лист1/3   || Базовый

100\% II

ІІСТАНДП * 1

Суннз=0

 

 

Рис. 5.11. Отображение введенных формул

 

/к Ж   =   | =SUMPRQDUCT($A$3:$B$3;A7:B7)

 

 

А В

с

 

Е

F

 

1

Переменные

 

 

 

 

 

2

Х1

Х2

 

 

 

 

 

3

0

0

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент

ы

 

Значение

 

 

 

6

целевой функции

целевой функ

ции

 

 

t>

2

3

I 0

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

9