Имя материала: Математика в экономике

Автор: Юдин С.В.

2.2. решение систем линейных алгебраических уравнений

Следующий пример, решение систем линейных алгебраических уравнений решим дважды. Один раз - при помощи табличного процессора OpenOffice.org Calc, а второй - при помощи программы Maxima.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

3xi + 4\%2+ ЗХ3- Х4 = 16

2 xi       - 4 Х3 + 2 Х4 = - 6

2xi + Х2 - ЗХ3 + 3x4 = 3 -xi+ 3Х2~ 2 Х3 — 3x4 = -13

4 3 2

Это уравнение можно переписать в матричном виде: AX=B. ^ 3    4    3 -Г

Домножим матричное уравнение слева на A-1. Получим A-1AX= A-1B, или EX=A-1B, или X=A-1B. Таким образом, для решения этой системы необходимо найти обратную матрицу и произвести матричное умножение.

Задача 2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений при помощи табличного процессора OpenOffice.org Calc

Первое действие - ввод исходных данных, а именно, матриц А и В (рис. 2.13). Кроме этого, целесообразно сразу же выделить место для обратной матрицы, указав положение левого верхнего элемента.

Второе действие - нахождение обратной матрицы. Для этого необходимо использовать функцию обращения матриц MINVERSE. Вызов функций происходит через «Мастер функций». Для этого следует нажать комбинацию клавиш «Ctrl»+«F2». Появится соответствующая панель (рис. 2.14).

Последовательность выбора:

в разделе «Категория» выбирается пункт «Массив»;

в появившемся списке функций выбирается нужная функция «MINVERSE»;

нажимается кнопка «Далее».

Рис. 2.15. Выбор функции при помощи «Мастера функций» После нажатия кнопки «Далее» появляется окно ввода адресов параметров (рис. 2.16). Диапазон ячеек, в которых находятся элементы матрицы А (ячейки В1:Е4) целесообразно указать мышкой на рабочем листе.

После проверки, установлена ли галочка в окне «Массив» (внизу слева), можно нажать кнопку «ОК». На рабочем листе появляется результат (рис. 2.17).

После нахождения обратной матрицы можно начинать подготовку к вычислению вектора неизвестных (рис. 2.18). Указав верхнюю ячейку столбца, в котором будут располагаться результат расчетов, вызываем нажатием клавиш «Ctrl»+«F2» «Мастер функций», в котором выбираем функцию умножения матриц MMULT (рис. 2.19).

В два окна по очереди вводим диапазоны ячеек в которых находятся элементы обоих сомножителей (первый - обратная матрица А-1, второй - вектор свободных коэффициентов В).

Рис. 2.19. Ввод параметров в функцию

После нажатия кнопки «ОК» на рабочем листе появятся результаты расчета (рис. 2.20): ^=1, x2=2, x3=3, x4=4.

Задача 2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений при помощи программы Maxima

Исходные данные используем те же, что и в задаче 4. Т.е. необходимо решить систему уравнений

3xi + 4\%2+ 3хз - \%4= 16

2 xi       - 4 Х3 + 2 Х4 = - 6

2 xi + x2 - 3x3 + 3x4 = 3 -xi+ 3x2 - 2x3 - 3x4 = -13

Первый способ.

Используем специальную функцию solve, которую можно вызвать через кнопку «Решить» в нижней части окна программы (рис.

2.21).

После нажатия кнопки «ОК» в основном окне программы Maxima появляется решение (рис. 2.23, строка \%о1).

Второй способ

Теперь решим эту же систему через матрицы. Попутно освоим матричные операции в среде Maxima.

В нижней строке окна программы (окно «ВВОД») набираем «A:», а затем через пункты меню «Алгебра»==> «Ввести матрицу» (рис. 2.24) вызываем панель «Матрица», в которой задаем размерность матрицы 4х4 (рис. 2.25), после чего вводим элементы матрицы (рис. 2.26).

После ввода всех чисел и нажатия кнопки «ОК» в главном окне программы Maxima будет напечатана матрица А (рис. 2.27).

После этого, аналогично вводим матрицу В (рис. 2.28.. .2.30).

 

ял* *J

Файл   Правка   Maxima Уравнения

 

Анализ  Упростить   Графики 1

Создать матрицу ...

/*

wxMaxima 0.7.2 http://і Maxima 5.12.0 http://та Using Lisp GNU Common 1 Distributed under the С Dedicated to the memory This is a development ъ provides bug reporting

Ввести матрицу ... Обратить матрицу Характеристический полином Определитель Собственные значения Собственные вектора Сопряженная матрица Транспонировать матрицу

Создать список ... Применить к списку ... Применить к элементам списка .. Применить к элементам матрицы

 

Рис. 2.24. Создание и ввод новой матрицы

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |