Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

Библиографический список

 

Ответы и решения

 

Глава 1

Тест 1.1. Правильный ответ: 1, 2, 3, 4.

Задача 1.1. Уравнения для новых условий задачи принимают вид:

(1 - 0,15) р1 -    0,14 р2     _ 0,8; -0,4 р1    + (1 - 0,12) р2 _ 3,6.

Правые части уравнений системы равны показателям матрицы, так как цена одного человеко-года труда была принята равной 1 ден. ед.:

р _f   0,85 -0,14 Y f0,8^   f 1,272 0,202^ f0,8 'W 1,746 ^ _f -0,4   0,88)     3,6J_f0,578 1,223 J3,6J_^4,884J.

Таким образом, новая цена 1 ед. сельскохозяйственной продукции равна 1,746 ден. ед., а 1 ед. промышленной продукции — 4,884 ден. ед.

 

Глава 2

3-X 2 14-X

Задача 2.1. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:

:0, X -7X +10 _0 .

Корни этого уравнения

7     49         7 + 3

1,2   2   , 4   2        1 2

Для двух переменных система уравнений (2.13) имеет вид:

 

jx1 +(4-X)x2 _ 0.

Подставив сюда значения корней   X1_5,    X2_2 , получим две

системы уравнений:

{

-2x1 + 2x2 _ 0, (x1

+2x2_0, +2x2_0.

Каждая система является одним уравнением, что и следовало ожидать. Это связано с тем, что определитель системы равен нулю.

Из первой системы для X1 _ 5 и из второй для X 2 _ 2 следует, что координаты собственных векторов связаны соотношениями

x1_ x2,   x1_ -2 x2.

Поскольку x2 — произвольное число, то любому собственному значению матрицы соответствует бесконечное множество собственных векторов различной длины. Положим x2 = b, где b Ф 0 — любое число. Тогда собственные векторы можно записать в виде:

Х1 = 5,

7(1).

\% 2

7(2)

-2b b

Задача 2.2. Решение этой системы имеет вид (2.16):

X

:(Е - A - B )-1 -(і(t)- B ■ X(t.

Найдем сумму матриц A + В:

(0, 3 0, 1 0, 4^   (0, 06 0, 02 0, 08^   (0, 36 0, 12 0, 48^

А + В

0,2 0,5 0,0

0,3 0,1 0,2 0,04 0,10 0,00 0,06 0,02 0,08 0,24 0,60 0,00 0,36 0,12 0,28

Матрица A + В является продуктивной, так как сумма величин любого столбца более единицы.

Матрица E - A - В = E -(A + В) имеет вид:

 

Е - А - В-

( 0,64 -0,12 0,24 0,40

0,36 -0,12

-0,48 ^

0,00

0,72

Определим обратную матрицу (E - A - k)

(25  25   50 ^

(E - A - k))

7 14 21 15  25 10

7 7 7 15 125 355

V 7   84  126 J

муле

Величины валовой продукции трех отраслей определим по фор-x() =(е - a - b") 1 -(y( ) - b ■ x^1^ . Найдем вначале произведение двух матриц:

(0,06 0,02 0,08^ (775,5102^   (115,102 ^

В ■ Xі

0,04 0,10 0,00 0,06 0,02 0,08

510,2041

729,5918 82,0408 115,102

Затем определим разность матриц:

(300^   (115,102 ^   ( 184,898 ^

Y - к ■ X

t-1

200 400

82,0408 115,102

117,9592

284,898

Подставив полученные результаты в исходную формулу, получим вектор валовой продукции отраслей:

 

(1549,32^

1224,49 1374,43

V 7   84  126 J

Прирост валовой продукции i -й отрасли определяется по формуле

 

 

'1549,32^

 

(775,5102^

 

(773,810n

Xt-Xt-1 =

1224,49

-

510,2041

=

714,286

 

ч1374,43 j

 

ч729,5918J

 

ч644,838j

Поставка продукции фондообразующей отрасли i на инвестиционные цели отрасли j находят из соотношения

4' '=у'(і>-j-").

2 (t)

11

=btf

(*(')

(t-1 - x1

12

=b<2)(

x( ) -

(t-1

x2

13

=b«(

 

 

21

21

(*(')

 

22

22

(x2t)

- (t-

x2

Подставив сюда полученные результаты, найдем:

= 0,06 ■ 773,81 = 46,43 ;

0,02■ 714,286 = 14,29 ;

= 0,08■ 644,838 = 51,59 ;

= 0,04 ■ 773,81 = 30,95 ;

= 0,1-714,286 = 71,43 ;

*& = b23)(x3t)- x3t-1)) = 0 ■ 644,838 = 0 ;

Подпись: 31 311)(*<')- x(t-1)) =

0,06 ■ 773,81 = 46,43 ;

7 (t)- h(t)

^32

7 с) - bc)

23

b32)|x2) x2 )): bc )( x()_ xc

23    3 3 = 0,2• 714,286 - 14,29 ; 0,08 • 644,838 - 51,59 .

Проведем проверку, подставив результаты в правую часть исходной формулы:

X

-■AX(t)+ B

(X (t)_ X (t    + Y (t);

 

А

(0,3 0,1 0,4^

0, 2 0,5 0,0 0,3 0,1 0, 2

(1549,32^ 1224,49

1374, 43

(0,06 0,02 0,08^

0,04 0,10 0,00 0,06 0,02 0,08

( 773,810 ^

714, 286 644,838

(300^

200 400

 

(1137,02^   (112,30 ^

(300^   (1549,32^

922,11 862,13 102,38 112, 30

200 400

1224,49 1374, 43

Задача 2.3. Максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента определим по формуле

_ P(0)Bx(0) Х- r

P(0)Ax(0)

(216 162))3 4)(120

(216 44 „^(її

 

1-0,08.

Луч Неймана, или магистраль, соответствующая максимальному сбалансированному росту, определяется соотношением

X(t    • X(0)-1,08' ^(125

 

Глава 3

Задача 3.1. Эластичность замещения фондов трудовыми ресурсами находят по формуле

)-_а> -_05994 LV  ;      — 0,539

Эластичность замещения трудовых ресурсов фондами определяется соотношением

EK (L )-_ — -_ 0539 -_0,91. ^w     а2 0,594

Таким образом, при увеличении труда на 1\% капитал уменьшится на 1,1\%, а при увеличении капитала на 1\% труд уменьшится на 0,91\%.

Задача 3.2. Подставив в производственную функцию Кобба— Дугласа Y = AKаL1-a исходные данные задачи, получим:

8 = 10а ■ 51-а

Прологарифмировав полученное соотношение, найдем:

lg8 = а + (1 -a)4g5 =a + lg5 -a4g5. Отсюда находим эластичность выпуска по основным фондам:

а= М-^ = 0,68.

1- lg5

Таким образом, производственная функция завода имеет вид:

Y = к 0,68 £0,32

Найдем новое количество работников, необходимых для увеличения годового выпуска завода на 0,5 млрд руб. Для этого запишем уравнение

8,5 = 100,68 L0,32.

Возведем левую и правую части этого уравнения в степень 1/0,32:

8 510,32 = 100,68/0,32l

Решение этого уравнения имеет вид:

т = 8,51/0,32 = 802,5 = 6

= 100,68/0,32 = 133,35 = 6,02.

Таким образом, для увеличения годового выпуска завода на 0,5 млрд руб. потребуется увеличить количество работников на 6020 — - 5000 = 1020 чел.

 

Глава 4

Задача 4.1. Найдем точку спроса. Задачу потребительского выбора для рассматриваемого случая можно записать в виде:

xf1 xf2 — max при условиях

p1x1 + p2x2 < I, x1 > 0,   x2 > 0. Функция Лагранжа имеет вид:

L( x1 , x2, X) = xf1 xf +X(I - p1x1 + p2x2 ).

Найдем первые производные и приравняем их нулю:

— = a1x11 x22 -\%p1 = 0,

dL      a,   a2-1л a

dx2

 

 

(OP.1)

-1 - p1x1 + p2x2 = 0.

Умножим первое уравнение на x1, а второе — на x2 и сложим первое со вторым:

(a1 + a2)x^1     -\%(p1x1 + p2x2~) = 0. Учитывая последнее уравнение системы (OP.1), получим:

(a1 + a2 ) x1a1     =A1. Разделим это уравнение на первое уравнение системы (OP.1):

( a1 + a2 ):

a1

p1

Отсюда находим точку спроса для товара x:

*      a1 1

x1 =

a1+ a2p1

Аналогично находим

1

Подпись: 1

 

Так как —-

d1a1+a2p1 являются ценными.

a1 + a2 p2

dx2

■> 0 и

d1a1+a2p2 > 0, то оба товара

a

<0 , по-

1 dx2

           < 0 и —2

a1+a2p12 dp2

Подпись: dx
Производные —-
dp1
1

a1+a2p2

этому оба товара являются нормальными.

Уравнение Слуцкого для второго товара можно записать:

Подпись: dp2 і
V     Л / коми

dp2

dx ~df

Отсюда имеем:

(ax *^

Ф2

ax + ax * ap2  aI 2

Для первого товара соотношение, характеризующее влияние компенсирующего изменения цены на спрос, можно записать в виде:

(ax* ^

ap2

 

1

I

ax*  ax* * —

—- + —L x2 - 0 +      1       

• I > 0.

 

Так как эта величина больше нуля, то товары взаимозаменяемые:

(ax22 ^

5p2

*

—- + —2 x2

—2 I

I

1

 

•і < 0

I

+

2 p2

—1 + —2 J

 

Как и следовало ожидать,

aP2 J

< 0.

Задача 4.2. Эту задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:

n ь

I uixi -» max

i-1

при условиях

I Ptxt _I - 0, x > 0,   i - 1, 2,

Функцию Лагранжа запишем в виде:

n

n

■xn,   —x _Х1 I pixi _ I

i-1      V i-1

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:

n b

 

dL (x,, A) n

K'   ' = I p,x, -1 = 0. (OP.3)

dA i=1

Из уравнения (OP.2) находим:

x  =т^ или x, =   1   1 . (OP4)

11

1-b    ba,      b1-ba1-b

x     = - или  x =     ■       

A1-bp1-b

Подставив выражение (OP.4) в (OP.3) , получим:

11

A1-b ,=1 p1-b

b1 bn       a1 b

p1

Отсюда находим:

1 1

1

A 1-b       — n

b1-b I

,==1 rV1

Подставив это в (OP.4), найдем функцию спроса:

1

1-b

11

                     _1_

Д— n   a 1-b p 1-b  n   a 1-b

1bT-bafb

1

1  -U   ,t1 -L-1

p1-bp1-b

дх*

Найдем производные —-,   i ф j:

дР]

 

п-ь

 

1-Ь

 

дх[_

-I]^

,p>.

1 -ь

др

 

( _ Л

1 -ь

(_ л

1-ь

1-ь

Подпись: і Л
I

 

■+1

1 - ь

1-ь

Ъ

1 - ь (

1-Ь

р]-ь

j лр¥Ь-1

Так как эти производные больше нуля, то функция спроса на товары обладает свойством сильной валовой заменимости.

Задача 4.3. Поскольку инвестиционные выплаты производятся в конце первого и второго года, то при решении этой задачи надо дисконтировать не только доходы, но и инвестиции.

Чистый приведенный доход:

5     20     3     10     10     20    20    ЛГ „„

          2 +—3 + —Г + —Г + —6 + —7 = 15,77;

1,1   1,12   1,13   1,14   1,15   1,16 1,17

20   5    5   10   10   20 20

W210 =         2 +—3 + —т +—г +—6 +—7 = 16,03;

2 10   1 1 1 121 131 141 151 161 17

1,20

5   20    3    10   10   20 20

          2+—3+—Г+—г+—6+—т = 4,8;

1,2 1,221,231,241,251,261,27

^2,20

20

1,2   1 22 ' 1,23 ' 1,24 ' 1,25 ' 1,26 ' 1,27

3

101020

20

1,13

+             + +

1,14   1,15 1,16

+ U7 _

) -

5 20

1,1 + U2

 

5

101020

20

 

+             + +

1,14   1,15 1,16

+й7 _

) -

20 5

Ц+й2

 

3

10     10 20

20

1

_ й3

1,24   1,25 1,26

1,27.

 

5 20

1,2 +1,22

 

5

101020

20

_|_

 

1,24   1,25 1,26

1,27.

 

20 5

U +1^22

 

Индекс прибыльности:

3

ЇЇЇ+1

Ц+й2

5     10     10     20 20

          3 +     А +     5 +     6 +     7

U1,20 _~       5       20       _ 1,266 ;

U2 20 _         ^ ^ „ ^          ^ _ 1,192 .

и        1719 ;

Срок окупаемости:

3 310

K110 _ 5(1 + 0,1) + 20 _ 25,5; Д_ — _ 2,73;       A2 _ — +—_ 10,99;

1,10     V       '                        1,1         1,1 1,12

31010 3101020

A3 _ — +—г + —3_ 18,5; A4 _ — + —+ —-+ —_ 32,165;

3 1,1 1,121,13        4 1,1 1,121,131,14

„    25,5-18,5     „ гл

пок110 _ 3 + _ 3,51 года;

ок1,1°       32,165 -18,5

K2,10 _ 20(1 + 0,1) + 5 _ 27; 4 _ ^ + ^ _ 12,81; A3 _ — +      + Л _ 20,323; Л _ — +      + -10+^ _ 33,983;

3 1,1 1,121,13         4 1,1 1,121,131,14

27 - 20,323

"ок210 _ 3 +  _ 3,49 года;

2        33,983 - 20,323

3 310 K120 _ 5(1 + 0,2) + 20 _ 26; A1 _ — _ 2,5; A2 _ — + —- _ 9,44;

1,20    1 1,2        2 1,2 1,22

3     10     10    _ „„

A3 = — + —2 +—3 = 15,23; 3   1,2   1,22 1,23

3101020

A4 =— + —2 + —3+—4 = 24,88;

4 1,2 1,221,231,24 310102020

A5 =— + —2 + —3 +—г + —г = 32,9;

5 1,2 1,221,231,241,25

„    26 - 24,88     ллл        л      5     10 „„

«ок120 = 4 +  -        = 4,14 года; A2 = — +—- = 11,11;

ок1,20        32,9 - 24,88    2   1,2 1,22

51010 5101020

A3 = — + —2+—3 = 16,9; A4 = — + —- + —3 + —- = 26,54;

3 1,2 1,221,23         4 1,2 1,221,231,24

510102020

A5 = — +—2 + —3 + —г +—г = 34,58;

5 1,2 1,221,231,241,25 29 - 26,54

"ок220 = 4 +  = 4,306 года.

ок2,20     34,58 - 26,54

Внутренняя норма доходности первого проекта находится из уравнения

1 + Чвл    ( 1 + qB,1)     ( 1 + qB,1)     ( 1 + qB,1)

10        20 20

+        5 +     6 +     7 = 0.

( 1 + qB,1)       ( 1 + qB,1)       ( 1 + qB,1)

Решая уравнение в Excel, получим qB 1 = 28,12\% .

Аналогично для второго проекта: qB 2 = 25,27\%.

Определим доходность инвестиций. Сумма дисконтированных к началу проекта инвестиций:

K   = — + ^0г = 21,07; K02 = — +      = 22,31.

0,1   1,1   1,12        0,2   1,1 1,12

Уравнение для определения доходности проектов:

310102020

520     3 10

21,07 =0;

(1 + п )   (1 + Г1У   (1 + Г1У   (1 + Г1У   (1 + Г1У

510102020

22,31 =0 .

(1 + Г2 )3     (1 + Г2)4     (1 + Г2)5     (1 + Г2 )6     (1 +Г2)7

Решения этих уравнений равны:

r1 = 21,82\%; r2 = 22,75\%. Показатели представлены в табл. ОР.1.

При ставке дисконтирования 20\% первый проект имеет преимущества перед вторым по всем показателям кроме доходности. При ставке 10\% первый проект имеет преимущества по индексу прибыльности и внутренней норме доходности, а по чистому приведенному доходу, сроку окупаемости и доходности инвестиций преимущества имеет второй проект. В качестве основного критерия выбора проекта принимаем доходность инвестиций. Таким образом, выбираем второй проект.

Задача 5.1. Потребление в начальный момент времени находим

C

из соотношения 1  0 = 0,5 , т.е. С0 = 5 .

10 0

А. Это случай, когда r > —, т.е. темп прироста потребления

B

превышает фондоотдачу. Функция дохода модели в этом случае в зависимости от времени имеет вид:

■e0,u +-

Y(t) = I 10     —

Потребление в модели изменяется по закону

С (t ) = C0er 4 = 5e0,2t

 

Глава 5

Отсюда находим закон изменения инвестиций:

I(t) = Y(t)-C(t) = 15e0,1-t -5e0,2-t -5e0,2-t = 15e0,1-t - 10e0,2t.

Для определения момента времени, для которого инвестиции будут равны нулю, надо решить уравнение

15e0,1 ■t - 10e0,2 ■t = 0 , e(01-0,2)t = - , lne(01-0,2)t = ln- , -0,1t = -0,4 ,

15 15

t = 4 года.

Таким образом, через четыре года инвестиции уменьшатся до нуля. Момент времени, для которого доход будет равен нулю, находят из уравнения

15e0,1 -t - 5e0,2-t = 0 , e(0,1-0,2)t = А , ine(0,1-0,2)t = ln1,

15 3

-0,1t = -1,1, t = 11 лет. Через 11 лет до нуля уменьшится доход.

Б. Этот вариант соответствует случаю, когда r = р0 = 0,2 . Находим траектории:

Y (t) = (10     5        e 0,4 t +     5        e0,2 ^ t = 10e0,2 ^t;

w   V      1 - 2,5^0,2)         1 - 2,5-0,2

С (t ) = C0er -t = 5e0,2 - t;

I (t) = Y (t)- C (t) = 10 ■ e0,2 - t - 5 ■ e0,2 - t = 5 ■ e0,2 - t.

Таким образом, выпуск, потребление и инвестиции развиваются с годовым приростом, равным 20\%.

В. Этот случай соответствует ситуации, когда — > r > р0, так как

В

> 0,3 > 0,2 . Находим траектории:

 

Y (t) = f 10    5        1 ■ e0,4- t + 5        e0,3 -t = -10 ■ e 0,4 t + 20e0,3 -1;

w   V      1-2,5-0,3)  1-2,5-0,3

r t       0,3 t

С (t ) = C0er -t = 5e 0,3 - t;

I(t) =Y(t) -C(t) =-10 e0,4 t+15e0,3 t.

Определим моменты времени, для которых до нуля уменьшатся инвестиции и доход:

in    0,4-t , і,- 0,3-t    А      0,1-t    , ,-     .     ІП 1,5

-10-e     +15e     = 0 , e     = 1,5 , t =     = 4 года.

0,1

Инвестиции уменьшатся до нуля через четыре года.

 

-10 - e0,4-t + 20e0,3-t = 0 , e0,u = 2, t = — = 7 лет.

0,1

Доход уменьшится до нуля через семь лет.

Г. Здесь r <р0, так как 0,1 < 0,2 . Находим траектории:

Y U) = Г10     5        1 - e0,4■ t + 5        e0,1 ■ t = - - e0,4t + 20 e0,1 ■t;

w   ^      1 - 2,5-0,1 J        1 - 2,5-0,1    3 3

r-t     с „0,1 -t.

С (t ) = C0er-t = 5e0,1 -t;

4 1     e0,3 -1

I (t ) = Y (t)-C (t )= 3-e0,4-1 + З

Полученные функции возрастают во времени. Однако инвестиции возрастают существенно быстрее, чем потребление. Для начала процесса (при t = 0) потребление составляет 5 ед. и инвестиции равны 5 ед. Через 10 лет потребление составит 13,6 ед., а инвестиции будут равны 215 ед., т.е. инвестиции будут превышать потребление в 16 раз.

Задача 5.2. Удельный валовой внутренний продукт описывается уравнением

 

На стационарной траектории удельную фондовооруженность k0

и точку k * находят из соотношений (5.14) и (5.16). Предварительно находят:

X = v + ]1 = 0,02 + 0,03 = 0,05;

k0 = ^ У* =    = 10,08 тыс. руб./чел.

1 1 . *   (a-p-AW   (0.4-0.2>-0.4

k = I    I     = I I      = 2.19 тыс. руб./чел.

I    А    )       I 0.05  )        '         УУ '

Народнохозяйственная производительность труда на стационарной траектории

У 0

: (k0 ^ = 10.080,4 = 2.56 тыс. руб./чел.

Удельные инвестиции на одного занятого на стационарной траектории

i0 =p - y0 = 0.2 - 2.56 = 0.51 тыс. руб./чел.

Среднедушевое потребление на одного занятого на стационарной траектории

c 0

:(1 -p) y0 = 0.8 - 2.56 = 2.05 тыс. руб./чел.

Народнохозяйственная производительность труда в начальный момент времени

y0 = k0a = 40.4 = 1.74 тыс. руб./чел.

Среднедушевое потребление на одного занятого в начальный момент времени

c0 =(1 -p) y0 = 0,8-1,74 = 1.39 тыс. руб./чел.

Траектория фондовооруженности определяется формулой (5.17) и при полученных данных может быть представлена в виде:

k0. 6 (t) = 10.060.6 +(40.6 -10.060. 6 )- e-0.03-t.

Процесс считают установившимся при k (t) = 0.9 - k0. Поэтому, подставив сюда k (t ) = 0.9 -10.08 = 9.072 и учитывая, что 10.060.6 = 4 и 40. 6 = 2.3 , получим:

9.0720.6 - 4 = (2,3 - 4) • e-0. 03-t; 3.755 - 4 = -1.7 - e-0. 03-t;   e0. 03-t = 6.94.

Решив это уравнение относительно t, найдем время переходного процесса tnep. Прологарифмировав правую и левую части последнего выражения, получим: ln6,94    1,94    ГА ,

tneD =          =        = 64,6 года.

пер     0,03 0,03

Задача 5.3. На стационарной траектории удельная фондовооруженность к0 и точка к * равны:

 

, 0 =(AVa =( 0,4 V0,4

к0 = I £— I     = I ^—1      = 32 тыс. руб./чел.

I X J       [0,05J       УУ '

1 1

. *   (AVa   (0,4^ 0,4У0,4   6 95

к = I —■        I     = I I      = 6,95 тыс. руб./чел.

I    X    J       [ 0,05  J       '         УУ '

Народнохозяйственная производительность труда на стационарной траектории

y0

: (к0)а = 320,4 = 4 тыс. руб./чел.

Удельные инвестиции на одного занятого на стационарной траектории

i0 =р ■ y0 = 0,4 ■ 4 = 1,6 тыс. руб./чел.

Среднедушевое потребление на одного занятого на стационарной траектории

c0 =(1 -р) y0 = 0,6^4 = 2,4 тыс. руб./чел.

Народнохозяйственная производительность труда в начальный момент времени

y0 = к0а = 40,4 = 1,74 тыс. руб./чел.

Среднедушевое потребление на одного занятого в начальный момент времени

c0 = (1 - р) y0 = 0,6 ■ 1,74 = 1,04 тыс. руб./чел.

Траектория фондовооруженности определяется формулой (5.17) и при полученных данных может быть представлена в виде:

к0,6 (t ) = 8 + (2,3 - 8)^ e

-0,03^ t

 

Подставив сюда к (t) = 0,9 • 32 = 28,8 , получим:

 

7,51 - 8 = -5,7 • е      ;   е      = 11,63.

Прологарифмировав, получим:

t       ln11,63    2,45   81 8

tneD =          =        = 81,8 года.

пер     0,03 0,03

Сопоставив полученные данные с данными задачи 5.2, видим, что среднедушевое потребление на одного занятого в начальный момент времени уменьшилось на 1,39 -1,04 = 0,35 тыс. руб./чел., а среднедушевое потребление на одного занятого на стационарной траектории увеличилось на 2,4 - 2,05 = 0,35 тыс. руб./чел. В то же время интервал выхода на стационарную траекторию увеличился с 64,6 до 81,8 года.

 

Глава 6

Задача 6.1. Точку равновесия экономики находим из системы уравнений

Р = 0,8 • Y, Y = 1000

0,25 • P'

Y =     1000     .       Гт°Г: = 70   .     =     • y1 = 0,8• 70,7 = 56,56 .

0,25 • 0,8 • Y     1   ^0,25 • 0,8 11

Полученные результаты поясняются на рис. ОР.1. После наступления шока точка равновесия (Y1, Р1) переместилась по кривой спроса

в точку (Y2, Р2). Выпуск сократился до Y2 = Y1 (1 - 0,25) = 70,7 • 0,75 = 53 .

Увеличится безработица, часть производственных фондов не будет задействована.

 

°        Y2      Yi Y

Рис. OP.1

Значение Р2 находим из уравнения 53 =        . Откуда Р2 = 75,5 .

2        °,25 • P2

Шок привел к смещению линии предложения AS1 вправо. Линия заняла новое место, соответствующее линии AS2, которая пересекается с линией спроса в точке (Y2, Р2). Угловой коэффициент у линии AS2 будет тот же, что и у линии ASj. Пусть линия AS2 пересечется с осью °Р в точке Р°. Тогда уравнение прямой AS2 примет вид: P = °, 8 • Y + P°. Эта прямая проходит через точку (53; 75,5). Подставив

координаты этой точки в полученное уравнение прямой, найдем 75,5 = °,8• 53 + P°. Отсюда  P° = 33,1. Таким образом, окончательно

уравнение линии предложения AS2 принимает вид: P = °,8• Y + 33,1.

Если не принять никаких мер, то цены и выпуск будут постепенно выравниваться и через некоторый промежуток времени уменьшится безработица и экономика придет к исходному состоянию (Yj,Р1). Весь этот процесс приведет к снижению уровня жизни

людей. Чтобы избежать этих негативных последствий шока правительство может провести дополнительную эмиссию денег. Новое количество денег должно перевести состояние экономики в точку (Y1, Р3). А это значит, что выпуск останется прежним, а цены увеличатся, т.е. будет иметь место инфляция. Найдем новую совокупную цену и новую массу денег.

Новую цену Р3 можно найти, подставив в уравнение прямой P = 0,8 • Y + 33,1 значение выпуска Y1 = 70,7 . Тогда P = 89,7 .

Эмиссия денег приведет к смещению линии совокупного предложения AD1 вправо в положение линии AD2. Линии AD2 и AS2

должны пересечься в точке (70,7; 89,7). Поэтому новую массу денег

можно найти из уравнения Y =   , подставив туда координаты

0,25 • P

этой точки. В результате получим:

М = 70,7 • 0,25 • 89,7 = 1585,4.

Анализ результатов данной задачи показывает, что умелое вмешательство правительственных органов помогает избежать негативных последствий шоков.

Задача 6.2. Функция потребления имеет вид:

Е = 200 + 0,8 • Y. Сбережения для уровня дохода 1200 млрд руб. равны:

Y - Е1 = 1200 -(200 + 0,8 -1200) = 40 млрд руб. Сбережения для уровня дохода 800 млрд руб.

Y2 -Е2 = 800 -(200 + 0,8 • 800) = -40 млрд руб.: Задача 6.3. Мультипликатор равен:

AY   20 А

М =     = — = 4.

AA 5

Формулу для предельной склонности к потреблению получим

11

из соотношения М =         . Отсюда b = 1        . Подставив сюда зна-

1 - b M

чение для мультипликатора, получим b = 1 - — = 0,75 .

4

Задача 6.4. Найдем предельную склонность к потреблению из уравнения 2400 = 600 + b • 2400 . Предельная склонность к потреблению равна:

b = 2400 - 600 = 0,75.

Из формулы E _ A + bY при известном потенциальном равновесном объеме E _ Y _ YKn _ 3000 млрд руб. выпуска и при полученной предельной склонности к потреблению находим:

А _ YKJl -bYKJl _ 3000 -0,75 • 3000 _ 750 млрд руб.

Дефляционный разрыв равен:

ДА _ А - А0 _ 750 - 600 _ 150 млрд руб.

 

Глава 7

Задача 7.1. Коэффициент наличности найдем по формуле

K1 _ М0 _      _ 0,36,   или   360\% .

М2 2119,6

Сумма безналичных денег равна:

2119,6-763,3 _ 1356,3 млрд руб.

Задача 7.2. Индекс цен за год равен:

 

Ip _Yl(1 + Ht) _ 1,012 1,01 1,008-1,006 1,014• 1,003х

t _1

х 1,009 • 1,007 • 1,002 • 1,004 • 1,003 • 1,002 _ 1,0829. Находим темп прироста инфляции за год:

H _ Ip -1 _ 1,0829 -1 _ 0,0829,   или   8,29\% .

Среднемесячный темп прироста инфляции находим по формуле H _ ^Гр -1 _ ^^1,0829 -1 _ 0,00666,   или   0,666\%.

Задача 7.3. Из уравнения Фишера находим формулу для реальной доходности пенсионера:

a _ r - H _ 4 - 9 _-5\% .

Таким образом, пенсионер теряет каждый год 5\% своего вклада.

в 480

Задача 7.4. K _ — _ _ 0,96,  или 96\%.

N 500

Задача 7.5. Вариант 1. Предварительно определяем купонную годовую ставку u _ R/N _ C• p/N _ 4•100/5000 _ 0,08 годовых.

Расчетный курс находится по формуле

k = °,°8   1 1,1—г + А— = °,91694674,   или и 91,69\%.

4 (1,1^4 -1) 1,17

Цена облигации A = 5°°° • °, 91694674 = 4584,73 руб. Вариант 2. u = 4 -125/5°°° = °,1 годовых.

k = °,1   1 -1,1—г + А— = 1,°178939,   или и 1°1,79\%. 4 (1,114 -1) 1,17

A = 5°°° •1,°178939 = 5°89,47 руб.

 

Задача  7.6.   Суммарный  депозит  увеличится  в   md = — =

rr

6,7 раза.

°,15

R

Задача 7.7. Из условий задачи следует, что   rd =    = °,2 ,

C

cd = ^ = °,3 . Тогда сумма резервов R = °,2 ^1°° = 2° млрд руб., сумма наличности C = °,3 4°° = 3° млрд руб., а денежная база B = C + R = 2° + 3° = 5° млрд руб. Предложение денег рассчитывается по формуле

Ls = ^l±! • в =  а3 +1 • 5° = 13° млрд руб.

cd+rd     °,3 +°,2

 

Глава 8

Задача 8.1. Для получения уравнения линии IS подставим исходные данные в основное макроэкономическое соотношение:

Y = C +1 + G + Xn = 1°°° + °,75 ^(1 - °,4)^ Y + 5°° - 46°° • r + + 5°° + 4°° - °,°5 • Y - 8°° • r.

Проведя преобразования, найдем:

Y = 4°°° - 9°°° • r.

Для получения уравнения линии LM в функцию спроса на реальные кассовые остатки подставим значения для М = 3000 и для Р = 3:

3000 Y

          =        1000 • r.

33

Отсюда находим уравнение кривой LM:

= 3000 + 3000 • r.

Для получения равновесного уровня процентной ставки приравняем правые части уравнений линий IS и LM:

4000 - 9000•r = 3000 + 3000•r.

Отсюда находим равновесный уровень процентной ставки:

r0 = 0,0833,   или 8,33\%.

Равновесный уровень дохода равен:

Y0 = 3000 + 3000 • r0 = 3000 + 3000 • 0,0833 = 3250.

Задача 8.2. Равновесный уровень процентной ставки для первоначальных условий примера был определен в задаче 8.1 и составил:

r0 = 0,0833,   или   8,33\% и Y0 = 3250 .

Полученное там же уравнение линии LM имеет вид:

Y        = 3000 + 3000 • r , а уравнение линии IS имеет вид:

= 4000 - 9000 • r.

При уменьшении ставки прямого налогообложения до 26,7\% уравнение линии IS преобразуется к виду:

Y = 1000 + 0,75-(1 - 0,267 )• Y + 500 - 4600 • r + 500 + 400 - 0,05 • Y - 800 • r.

Проведя преобразования, найдем

Y = 4800 -10 800 • r.

Равновесный уровень новой процентной ставки находим из уравнения

4800 -10 800 • r = 3000 + 3000 • r;

r1 = 0,1304,   или 13,04\%.

Равновесный уровень нового выхода равен:

Y1 = 3000 + 3000 • r1 = 3000 + 3000 • 0,1304 = 3391,2.

Для того чтобы процентная ставка осталась равной 8,33\%, необходимо повысить денежное предложение с величины М до М1. Тогда уравнение кривой LM можно представить в виде:

Y = M1 + 3000 • r.

Новое значение денежного предложения найдем из уравнения 4800 -10 800 • r = М1 + 3000 • r , подставив сюда величину процентной ставки, равную 8,33\%: М1 = 4800 -13 800 • 0,0833 = 3650,46. Новое значение выпуска равно:

Y2 = 4800 -10 800 • r = 4800 -10 800 • 0,0833 = 3900,36 .

Задача 8.3. По условиям примера имеем следующие показатели: автономное потребление a = 1000 , предельная склонность к потреблению b = 0,75 , предельная величина инвестиций при r -—0 /0 = 500 , коэффициент пропорциональности d = 4600 , предельная величина инвестиций при r -— 0 и Y -— 0 Хп0 = 400, предельная склонность к импортированию m = 0,05 , коэффициент пропорциональности g = 800 , коэффициенты пропорциональности к = 1/3 и h = 1000 . Налог T = tY , где t — налоговая ставка. Из решения задачи 8.1 имеем в точке равновесия Y0 = 3250:

= 1000 (1000 - 0,75 • 0,4 • 3250 + 500 + 500 + 400)

Y =        1000 (1 - 0,75 + 0,05)+ 46003+800 +

4600 +800     M        + 2,57 М

1000 (1 - 0,75 + 0,05)+ 46003+ 800 Р'Р-Для номинального предложения денег М = 3000 имеем:

Y = 679 + 2,57 •3000 = 679 + ™.

PP

Таким образом, можно построить график совокупного спроса (рис. ОР.2).

Задача 9.1. Правая часть уравнения (9.3) равна A = 200 +1000 = 1200. Величина выхода на стационарной траектории определяется по —     A 1200

формуле Y = =        = 6000. С учетом замены (9.4) конечно-

1 - b   1 - 0,8

разностное уравнение принимает вид:

yt = (0 8 + 1) yt-1 - yt-2 = 18 • yt-1 - yt-2 .

Корни уравнения равны:

 

Глава 9

Подпись: = 0,9 + 0,4359 • i.

0,8 +1 +

Подпись: V(0,8 +1)2

4-1    1,8 + 0,8718 • i

Ч:

0,4359

+i-arctg       

2        0,9    = +i-0,48

Выразим корни через экспоненту: Х12 =yj0,92 + 0,4359

Поскольку p = 1, то имеет место неустойчивое равновесие.

Незначительное увеличение акселератора делает систему неустойчивой.

Решение (9.8) можно записать в виде:

yt = В • cos (0,48 • t) + D • sin (0,48 • t).

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt = В • cos (0,48 • t) + D • sin (0,48 • t) + 6000.

В и D находят из начальных условий Y0 = 4000 , Y1 = 4200 . Подставив в полученное уравнение t = 0 , получим 4000 = В + 6000 , или В = -2000. Подставив в уравнение t = 1, найдем:

4200 = -2000 • cos 0,48 + D • sin 0,48 + 6000 .

Отсюда находим

D

4200 - 6000 + 2000 cos 0,48

= -56.

sin 0,48

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt =-2000 • cos (0,48 • t) - 56 • sin (0,48 • t) + 6000. График этой функции представлен на рис. ОР.3.

10

20

Подпись:
30

Время

Рис. ОР.3. Траектория при единичном акселераторе

 

Задача 9.2. Правая часть уравнения (9.11) равна:

A = (200 +1000) (1 + 0,03)t = 1200 • 1,03t.

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле (9.12):

Подпись: 1
Y

1200 •1,03t

= 6153 •1,03t.

С учетом замены конечно-разностное уравнение принимает вид: yt = (0,8 +1) yt-1 - yt-2 = 1,8 • yt-1 - yt-2. Корни уравнения равны:

0,8 +1 + ^(0,8 + і)2 -4-1 - 1,8 + 0,8718• i

0,9 + 0,4359 • i.

0,4359

+;-arctg       

2        0,9    - e+i-0,48

Выразим корни через экспоненту: Х12 - yj0,92 + 0,4359

Решение (9.8) можно записать в виде:

yt - В • cos (0,48 • t) + D • sin (0,48 • t) .

Используя замену, получим уравнение

Yt - В • cos (0,48 • t) + D • sin(0,48 • t) + 6153 •1,03t.

В и D находят из начальных условий Y0 - 4000 , Y1 - 4200 . Подставив в полученное уравнение t - 0 , получим 4000 - В + 6153 , или В --2153 . Подставив в уравнение t -1, найдем:

4200 --2153 • cos0,48 + D • sin0,48 + 6153 4,03.

D

Отсюда находим

4200 - 6153 1,03 + 2153cos0,48

494.

sin 0,48

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt --2153 • cos (0,48 • t)- 494 • sin(0,48 • t) + 6153 • 1,03t. График этой функции представлен на рис. ОР.4.

Задача 9.3. По условиям примера коэффициенты в уравнении (9.14) равны:

 

U = — =        = 0,2; b +V = 0,76 + 0,82 = 1,58; h 2

V + U = 0,82 + 0,2 = 1,02;

d •M   4 440

E = a +10 +    = 100 + 500 + = 880.

0        h • P 2

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле

Y = —E— =     880     = 2000 .

1        -b + U    1 - 0,76 + 0,2

Неоднородное конечно-разностное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

Yt = 1,58 • Yt-1 -1,02 • Yt-2 + 880.

Введем замену

y = Y - Y = Y - 2000.

Подставим замену в неоднородное конечно-разностное уравнение:

yt + 2000 = 1,58 • (yt-1 + 2000) -1,02 • (yt-2 + 2000) + 880. Конечно-разностное уравнение принимает вид:

yt = 1,58 ^ yt-1 - 1,02 ^ yt-2.

Корни уравнения равны:

= 1,58 ±У1,582 - 4 ^1,02 = 1,58 ±У2,4964 - 4 4,02 = 0  9 + 0,629 •,

1,2 22

Выразим корни через экспоненту:

0,629

           +г•arctg     

0,792 + 0,6292 е       0,79 = 1,01е+г0,8 Решение можно записать в виде:

yt = 1,01t (В • cos0,8 • t + D • sin0,8 • t)

Используя замену, получим уравнение

Yt = 1,01' (В ■ cos (0,8 • t) + D ■ sin (0,8 • t)) + 2000.

В и D находят из начальных условий Y0 = 1000 , Y1 = 1200 . Подставив в полученное уравнение t = 0 , получим 1000 = В + 2000 , или В = -1000. Подставив в уравнение t = 1, найдем:

1200 = 1,01 ■ (-1000 ■ cos0,8 + D ■ sin0,8) + 2000 . Отсюда находим:

1200 - 2000 1ААА

          +1000 ■ cos 0,8

D =     1^01   = -133 .

sin0,8

Таким образом, траектория для реального выхода имеет вид:

Yt = 1,01t ■ (-1000 ■ cos(0,8 ■ t) -133 ■ sin(0,8 ■ t)) + 2000. График этой функции представлен на рис. ОР.5.

Задача 10.1. Уровень безработицы определяется как отношение количества безработных к рабочей силе по формуле

и = U = ^ =    = 0,091.

LN + U   80 + 8

Доля потерявших работу равна:

п 9 5 = — = — = 0,1125.

N 80

Глава 10

Доля устроившихся на работу

 

g = — =— = 1,25. U 8

Задача 10.2. Из формулы Оукена находим:

У = --*-/[и - и*) Подставив сюда данные задачи, получим:

 

8 - 6

Задача 10.3. Результаты расчета сведены в табл. ОР.2.

В этой таблице введены следующие обозначения:

г,=8,г,=аг,+а-а)є,-1; а,=оф,|+а-а)А,-1; Tt = е,/А,.

До седьмого года величина контрольного сигнала мала. Начиная с восьмого года, величина контрольного сигнала растет: 0,58; 0,77; 0,83; 0,86. Это значит, что значимость неадекватности прогноза наблюдаемым значениям в соответствии с таблицей пороговых значений контрольного сигнала равна 95\% для контрольного сигнала 0,58, т.е. для восьмого года. Значимость неадекватности прогноза наблюдаемым значениям для девятого, десятого и один

надцатого годов лежит в интервале от 99 до 100\%. Положительное значение контрольного сигнала указывает на то, что цена превышает прогноз.

Тест 11.1. D.

Тест 11.2. Если на графике цена акции падает во времени, то тренд называется медвежьим.

Задача 11.1. Доходность операции равна:

20 • 6-(100 + 6)

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |