Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

1.12. статический межотраслевой баланс

Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между всеми секторами народного хозяйства за заданный период времени. В табл. 1.3 приведен межотраслевой баланс трехсекто-ральной экономической системы [3].

Таблица 1.3

Секторами рассматриваемой экономики являются сельское хозяйство, промышленность и домашнее хозяйство. Общий выпуск сельского хозяйства за рассматриваемый период составил 100 сельскохозяйственных единиц (например, бушелей зерна), промышленности — 50 промышленных единиц (например, ярдов ткани), домашнего хозяйства — 300 человеко-лет труда. Из 100 произведенных сельскохозяйственных единиц 25 потребляет само сельское хозяйство, 20 — промышленность и 55 — домашний сектор. Соответственно из 50 произведенных промышленных единиц 14 потребляется сельским хозяйством, 6 — самой промышленностью и 30 — домашними хозяйствами. Из 300 человеко-лет домашнее хозяйство потратило 80 человеко-лет для работы в сельском хозяйстве, 180 человеко-лет — для работы в промышленности и 40 человеко-лет — для работы на себя.

Из сказанного следует, что числа, представленные в выделенной квадратной таблице, характеризуют межотраслевые потоки. В общем случае эти потоки обозначаются буквой х с двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки выделенной таблицы, второй — номер столбца.

Таким образом, для производства 100 ед. сельскохозяйственной продукции сельское хозяйство потребляет 25 ед. собственной продукции, 14 ед. промышленной продукции и 80 человеко-лет труда домашнего хозяйства. Для производства 50 промышленных единиц промышленность потребляет 20 ед. сельскохозяйственной продукции, 6 ед. собственной и 180 человеко-лет труда. Домашнее хозяйство за отработанные 300 человеко-лет получает доход, который расходует для оплаты 55 сельскохозяйственных единиц, 30 промышленных единиц, а также 40 человеко-лет собственного труда.

На практике большинство таблиц составляется не в физических единицах, а в стоимостных, т.е. в денежных. Для перехода к денежным единицам следует физические показатели умножить на цену единицы каждого продукта. Пусть для данных табл. 1.3 цена 1 ед. сельскохозяйственной продукции равна 2 ден. ед. (например, 2 млрд руб.), цена 1 промышленной единицы продукции — 5 ден. ед., а 1 человеко-год труда — 1 ден. ед. Тогда табл. 1.3 можно представить в виде, показанным в табл. 1.4.

По сравнению с табл. 1.3 в табл. 1.4 появилась еще одна строка, названная «Общий выпуск». Это связано с тем, что в табл. 1.4 все данные имеют одну размерность. А это значит, что сложение можно проводить не только по строкам, но и по столбцам.

Таблицу межотраслевого баланса, представленную в стоимостных показателях, можно рассматривать как систему национальных счетов. 300 ден. ед., потребляемых домашним хозяйством, являются конечным общественным продуктом. Чтобы получить значение национального дохода, из конечного общественного продукта надо вычесть амортизационные отчисления.

В общем случае количество секторов в народном хозяйстве может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Поэтому объем реальных таблиц является более значительным по сравнению с рассмотренными таблицами. Обычно количество производственных секторов обозначается буквой п. Потребляющий сектор, или сектор конечного спроса, имеет номер п +1. В наших таблицах он представлен как сектор домашних хозяйств.

Физический выпуск сектора под номером i обозначают xi, а количество продукции сектора , используемое в качестве затрат сектором под номером j, обозначается как xij. Величины

 

aj = -± (1.1)

xj

называются коэффициентами прямых материальных затрат. Квадратная таблица из коэффициентов прямых материальных затрат называется структурной матрицей. Коэффициенты прямых материальных затрат характеризуют количество продукции i-й отрасли, использованной при производстве единицы продукции j-й отрасли. Структурная матрица для табл. 1.3 имеет вид, представленный в табл. 1.5.

Коэффициенты прямых материальных затрат aij-  являются в

Промышленная единица

общем случае размерными величинами. Если индексы этих коэффициентов одинаковы, т.е. i = j , то размерность числителя и знаменателя дроби (1.1) одинакова и коэффициент является безразмерной величиной. Значение коэффициента всегда меньше единицы. Если i Ф j , то коэффициенты прямых материальных затрат имеют размерность. Например, коэффициент a12 = 0,4 табл. 1.5 Сельскохозяйственная единица

имеет размерность

Для примера Ле-

онтьева эту размерность можно записать в виде

Бушель зерна Ярд ткани

В общем случае для экономики с количеством секторов, равным п +1, где (п +1 )-й сектор является потребляющим (сектор домашних хозяйств), баланс между совокупным выпуском и суммарными затратами продукции каждого сектора может быть представлен в виде системы уравнений

Подпись: (

x1 х11)

Х12

 

+ (x2 " x

~~ xn1

~ xn2

У1> у 2,

 

(1.2)

Здесь y1, y2,..., yn — товары и услуги, потребляемые домашними

хозяйствами, учреждениями и предприятиями культурно-бытового обслуживания населения, в сфере управления, обороны и в научных учреждениях. Совокупный продукт потребляющих секторов рассматривается в качестве известной величины в правой части представленной системы уравнений.

При моделировании экономических процессов широко используются такие понятия, как экзогенная и эндогенная переменные.

Экзогенная (внешняя) переменная — переменная, которая влияет на взаимосвязи, описываемые в экономической модели, но сама не подвергается воздействию с их стороны.

Эндогенная (внутренняя) переменная — переменная, которая влияет на взаимосвязи, описываемые в экономической модели, и сама подвергается воздействию с их стороны.

Система межотраслевых связей считается открытой, когда существуют экзогенные секторы. Если домашние хозяйства считаются сектором конечного спроса, т.е. экзогенными, то система межотраслевых связей считается открытой. В том случае, когда все секторы рассматриваются как внутренние, или эндогенные, система межотраслевых связей называется замкнутой.

Если в систему уравнений (1.2) вместо xtj подставить значение

физического выпуска секторов xt и коэффициенты прямых материальных затрат atj, определяемые формулой (1.1), то получим систему уравнений

(1 - аи );

«12 x2

a1nxn

"«21A1

+ (1 - «22 )x2

 

" «n1x1     -      «п2x2

г2п^п

(1 - «пп )

'■У2> Уп (1.3)

Линейная система уравнений (1.3) позволяет по заданному выпуску y1, y2,уп , потребляемому домашним хозяйством, и по заданным коэффициентам прямых материальных затрат a j определить необходимый физический выпуск секторов x .

Если ввести матрицу постоянных коэффициентов Л , входящих в систему (1.3), вектор-столбец продукции X и вектор-столбец продукции конечного использования Y по формулам

 

 

1- «11

-«12 .

.   -а1п "

 

Г x ^

 

Г у 1

Л =

-«21

1 - «22 .

. -а2п

, X =

 

, Y =

у2

 

ч -«п1

-ап2 .

. 1 - «пп J

 

1 ЗСп J

 

 

то систему уравнений (1.3) можно представить в матричной форме

Л- X = Y. (1.4)

Решение этого уравнение имеет вид:

X = Л-1 - Y, (1.5)

где Л-1 — матрица, обратная матрице Л .

Обозначим Л-1 = В. Матрица В = (bj) называется матрицей коэффициентов полных затрат.

Система решений (1.5) системы уравнений (1.4) выглядит следующим образом

x = ЬцУі + bny2 + ... + Ъыуп,

(1.6)

Х2 = Ъ21у1 + Ъ22у2 + ... + b2»yn Xn = Ъ»1 y2  + b»2 y2  + ... + bnnyn

Здесь постоянные коэффициенты заданы матрицей

 

B -

(

Ъ21 Ъ22

 

V bn1 ъп2

Физический выпуск сектора под номером n +1, являющегося домашним хозяйством, обозначают xn+1. Количество труда сектора n +1, используемое сектором под номером j, обозначается как Это количество труда, выраженное через коэффициент

Xn+1, j = yj.

прямых материальных затрат a

n+1, j

*n+1, j

x

определяется соотноше-

нием

yj=an+1, j'Xj

Поскольку совокупный продукт домашнего хозяйства в системе уравнений (1.4) является величиной известной, то его значение может быть вычислено по формуле

Xn+1 = y1 + y2 + ... + yn + yn+1 = an+1,1 x1 + an+1,2x2 + ... + an+1, nxn + yn+1 ,

где an+n, an+l2,..., an+1n — коэффициенты прямых материальных затрат, характеризующие затраты соответствующих секторов на единицу труда домашнего хозяйства; yn+1 — величина труда домашнего хозяйства, используемая для собственных нужд.

Экспорт и импорт товаров, рассматриваемых в табл. 1.3 трех-секторальной экономической системы, нарушает баланс экономики. Пусть сельскохозяйственная продукция импортируется в страну в объеме 20 сельскохозяйственных единиц. В табл. 1.6 это значение приведено со знаком «—». Промышленная продукция в размере

восьми промышленных единиц экспортируется из страны.

Домашние хозяйства потребляют то же количество продуктов, что и ранее (графа «Сектор 3»). Общий конечный спрос определяется как сумма данных граф «Сектор 3» и «Экспорт или импорт». Теперь, используя общий конечный спрос, надо определить новый баланс.

Система уравнений (1.3) для рассматриваемого примера имеет вид:

(1- 0, 25) x1 -     0, 4x2     = 35, -0 ,14x1    + (1 - 0,12 )x2 = 38.

Матрицу Л можно записать в виде:

л = Г0,75 -0,41.

1,-0,14 0,88)

Обратную ей матрицу Л 1 можно найти, например, используя функции Excel,

-1 =Г 1,456954 0,662252^ = [0,231788 1,241722 J.

Для определения общих выпусков сельскохозяйственного и промышленного секторов используется формула (1.5). Произведение матриц также можно найти, используя функции Excel,

= -1 =Г 1,456954 0,662252V 35 ^ = Г76,159 ^ =        = [0,231788 1,241722 J 38 J = [55,298J.

Данные по общим выпускам сельскохозяйственного и промышленного секторов занесем в табл. 1.7, которая является продолжением табл. 1.6. Совокупный спрос на труд остается неизменным, поскольку затраты труда на производство импортируемой сельскохозяйственной продукции равны затратам труда на производство экспортируемой промышленной продукции.

Для определения количества продукции сектора , используемой в качестве затрат сектором под номером j , применим формулу (1.1), переписав ее в виде:

 

Например, для сельского хозяйства

x11 = 0,25• 76,159 = 19,04 , а x12 = 0,4• 55,298 = 22,119 .

1.13. Цены в статической системе межотраслевых связей

Цена единицы выпуска сектора находится из решения системы уравнений, составленной из следующих соображений. Используя данные матрицы межотраслевого баланса, например, матрицы, представленной в табл. 1.3, составляют уравнения для цены единицы продукта j. Как следует из табл. 1.3, для производства 100 ед.

сельскохозяйственной продукции сельское хозяйство потребляет 25 ед. собственной продукции, 14 ед. промышленной продукции и 80 человеко-лет труда домашнего хозяйства. Просуммировав данные первого столбца, умноженные на соответствующие цены, получим первое уравнение системы:

25 р1 +14 р2 + 80 р3 = 100 р1,

где р1 , р2 и р3 — цена 1 ед. продукции сельского хозяйства, промышленности и труда соответственно.

Это уравнение можно переписать в виде:

(100 - 25) р1 -14 р2 = 80 р3.

Правая часть этого уравнения является стоимостью сельскохозяйственной продукции, которую потребляют домашние хозяйства. Домашние хозяйства рассматриваются как потребляющие, т.е. они являются сектором конечного спроса, или экзогенным сектором.

В общем случае уравнение для первого сектора можно записать в виде:

(х1 - х11 )р1 - х21 р2 - ■■■ - xn1 Pn = xn+1,1 pn+1.

Используя формулу для коэффициента прямых материальных затрат (1.1), последнее уравнение можно переписать в виде:

X1 (1 - a11 )р1 - X1a21 р2 - ... - X1an1 pn = X1an+1,1 pn+1.

Размерностью каждого слагаемого в этом выражении является денежная единица. После сокращения на x1 размерность каждого слагаемого будет составлять:

Денежная единица Единица продукта первого сектора

а уравнение примет вид:

(1 - a11) р1 - a21 р2 - - - an1 pn = an+1,1 pn+1

Обычно при написании таких уравнений используют обозначение

V1 = an+1,1 pn+1 ,

где v1 — платежи 1-го сектора, выплачиваемые всем потребляющим (экзогенным) секторам, или секторам конечного спроса, в расчете на единицу его продукции. Сюда входит заработная плата, предпринимательская прибыль и проценты на капитал, выплаченные домашним хозяйствам, налоги.

Окончательно первое уравнение системы для определения цен на продукты имеет вид:

(1 - a11) р1 - a21 р2 - ... - an1 Pn = V1.

an1 pn

=v1

an2 pn

=v2

 

=vn.

Таким образом, система уравнений для определения цен имеет вид:

(1 - а11 )Р1  -       a21 р2

hn р2

-a12p1      + (1 - a22)р2~--      «n2pn        =        ). (1.7)

"a1n р1

Если сравнить матрицу постоянных коэффициентов при неизвестных системы (1.7) и системы (1.3), то можно увидеть, что матрица системы (1.7) является транспонированной матрице системы (1.3). Эта транспонированная матрица, в которой столбцы поменялись местами со строками, имеет вид:

 

Л1

1 a1

21

1 a22

 

2n

1

Если ввести матрицу вектор-столбец цены продукции Р и вектор-столбец платежей эндогенных секторов, выплачиваемых всем потребляющим (экзогенным) секторам, или секторам конечного спроса, в расчете на единицу его продукции V по формулам

то систему уравнений (1.7) можно представить в матричной форме:

A1 P _ V.

 

 

где

Решение этого уравнение имеет вид:

p _(at )-1 V ,

матрица, обратная матрице AT

Для примера, приведенного в табл. 1.5 систему уравнений (1.7) можно записать в виде (правые части уравнений системы равны показателям матрицы, так как цена 1 человеко-года труда была принята равной 1 ден. ед.):

[(1 - 0,25) рі -    0,14р2

0,8,

-0,4 р1     + (1 - 0,12 )р2 = 3,6.

Цена 1 ед. сельскохозяйственной и 1 ед. промышленной продукции определяется соотношением

Р.

0,75 -0,14 -0,4 0,88

0,8'W 1,457 0,232^ (0,8^\_(2 3,6 J~[0,662 1,242 Д 3,6 Д[ 5

Как и следовало ожидать, цена 1 ед. сельскохозяйственной продукции равна 2 ден. ед., а цена 1 промышленной ед. продукции — 5 ден. ед.

В системе (1.7) каждое уравнение, начиная с первого, умножим соответственно на x1, x2 ,      xn . В результате получим

х

l(1 - «11 )р1 - х1а21 р2 - ... -х2«12 р1      + Х2 (1 - «22 )р2 - ...

- Xn«1nр1      -       Xn«2nр2       - ... + Х,

X1«n1 рп Х2 «n2 рп

(1 - «nn )рп

X1vb X2V2, (1.8)

В системе (1.3) каждое уравнение, начиная с первого, умножим соответственно на р1 , р2,      рп . После этого система будет иметь вид:

Подпись: р1 y1, р2 >'2,

р1«12 Х2

р1 (1 - «11)

-р2«21Х1 + р2 (1 - «22 )Х2 - рп«п1Х1     -       pn«n2Х2 р1«ШХп р«2пхп

+ pn (1 - «nn )хп _ рпУп

 

(1.9)

 

Если сложить все слагаемые левой части системы (1.8), то полученная сумма будет равна сумме всех слагаемых левой части системы (1.9). Действительно, все слагаемые левой части первого уравнения системы (1.8) равны первому столбцу системы (1.9) и т.д. Если равна сумма слагаемых левых частей, то равна сумма и правых частей. Отсюда следует

X1V1 + x2v2 + ... + XnVn = y1 p1 + y2 p2 + ... + ynpn. (110)

Это равенство подтверждает внутреннее единство стоимостных и физических взаимосвязей в рамках открытой системы межотраслевых связей. В левой части равенства имеем общую сумму добавленных стоимостей, выплаченных производящими секторами секторам конечного спроса. Правая часть равенства представляет собой сумму стоимостей продуктов, доставленных всеми производящими секторами секторам конечного спроса.

Тест 1.1. Укажите, какие из приведенных ниже высказываний являются правильными:

валовой внутренний продукт равен валовому национальному доходу минус сальдо доходов из-за границы;

национальный доход равен валовому национальному доходу минус амортизационные отчисления;

валовой внутренний продукт равен амортизационным отчислениям плюс чистый внутренний продукт;

национальный доход равен чистому внутреннему продукту плюс сальдо доходов из-за границы.

Задача 1.1. В условиях рассматриваемого в главе примера изменить в структурной матрице коэффициент прямых материальных затрат а11 на 0,15. Новая структурная матрица приведена в табл. 1.8.

Определить цену единицы сельскохозяйственной продукции и цену единицы промышленной продукции.

Таблица 1.8

Упражнения

Агапова Т.А., Серегина С.Ф. Макроэкономика. М.: ДиС, 1997.

Вечканов Г.С., Вечканова LP. Макроэкономика. М.: Питер, 2006.

Леонтьев В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997.

Система национальных счетов / Под ред. Ю.Н. Иванова. М.: Финстатин-форм, 1996.

Экономико-математические методы и модели / Под ред. А.В. Кузнецова. Минск: БГЭУ, 1999.

Экономическая теория / Под ред. В.И. Видяпина и др. М.: ИН-ФРА-М, 2000.

Библиографический список

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |