Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

2.3. продуктивная матрица

В общем случае решение (2.9) уравнения (2.8) может иметь как шо-ложительные, так и отрицательные значения. В модели межотраслевого баланса эти решения могут быть только шоложительными, так как отрицательное значение валового вышуска лишено смысла. Отсюда следует задача о свойствах матрицы шрямых материальных затрат A , шри которых вышуски будут шоложжительными.

Система (2.5), или (2.8), называется шродуктивной, если она разрешима в неотрицательных xi, т.е. xi > 0 шри условии, что матрица-столбец Y > 0. Матрица шрямых материальных затрат в этом случае также называется продуктивной.

Продуктивность матрицы связана с ее собственным числом и вектором. Для матрицы размера n х n вектор x называется собственным вектором матрицы А , если найдено такое число X , что

Ax = Xx.

Число X называется собственным значением матрицы А , соответствующим вектору x . Перенеся левую часть уравнения в шравую часть и шринимая во внимание соотношение X - x = X - E' x , шереши-шем уравнение в виде:

(XE - А) x = 0.

Это уравнение эквивалентно системе линейных однородных уравнений, имеющий вид

Подпись: +(1-а\)

a2x

 

г2л2

X +

+ (1-а22 )x2  + - + a2nXn

+        an2 X2       + - +      апп )Xn

 

(2.13)

Для существования ненулевого решения этой системы линейных однородных уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

 

A -1E

*n 2

-1

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно 1 и называется характеристическим многочленом матрицы а , а уравнение — характеристическим уравнением матрицы а . Корни этого уравнения соответствуют собственным числам матрицы а . Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Теорема о продуктивности матрицы [4, 6, 9] может быть сформулирована в следующем виде: модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда 1 < .

Можно показать [4], что при 1< матрица (E - A) , обратная

матрице (E - A), будет положительной, т.е. (E - A) > 0. Тогда для

любого положительного объема продукции конечного использования, описываемого матрицей-столбцом (вектором) Y > 0 , решение

системы уравнений X = (E - A) Y будет неотрицательным.

Другим, более простым признаком продуктивности матрицы A является ограничение на сумму элементов ее строк. Этот признак звучит следующим образом: если сумма элемента каждой строки не превосходит единицы, а сумма элементов хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна. Заметим, что в общем случае матрица может оказаться продуктивной и при сумме элементов строк более единицы.

 

 

 

> Пример 2.2. Является ли матрица

(0,3 0,4        0,2 0,1 ^

0,4 0,1         0,1 0,4

0,2 0,3         0,4 0,1

0,3 0,4         0,1 0,1

 

 

продук-

тивной?

Решение. Эта матрица является продуктивной, так как сумма ее элементов первых трех строк равна единице, а сумма элементов последней строки меньше единицы. ◄

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |