Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

3.2. свойства макроэкономической производственной функции

Свойства производственных функций вытекают из естественных требований к современному производству. Рассмотрим основные свойства.

Производство невозможно, если отсутствует хотя бы один из ресурсов K или L , т.е. если в производственную функцию вместо одного из ресурсов подставить ноль, то функция будет равна нулю:

F (0, L) = F (K, 0) = 0.

При увеличении роста любого из ресурсов выпуск растет. А это значит, что если первая частная производная функции в области ее определения по любому из ресурсов больше нуля, то функция растет:

— > 0;  — > 0.

dK dL

При увеличении роста любого из ресурсов скорость роста выпуска замедляется. А это значит, что если вторая частная производная функции в области ее определения по любому из ресурсов меньше нуля, то рост функции замедляется:

^ < 0; ^ < 0 .

Производственный выпуск неограниченно растет при неограниченном увеличении одного из ресурсов, т.е. если один из аргументов стремится к бесконечности, то к бесконечности стремится производственная функция:

F (+оо, L) = +»;   F (К, +со) = +со .

3.3. Мультипликативная макроэкономическая производственная функция

Для решения и анализа задач экономики часто используют мультипликативную (от лат. — умножаю, увеличиваю) производственную функцию. Мультипликативная функция имеет вид:

Y = AKa'L"2 ,

где А — коэффициент технического прогресса; ax и a2 — показатели степени.

Позже покажем, что эти показатели являются эластичностями по труду и фондам.

Частным случаем мультипликативной производственной функции  является  функция  Кобба—Дугласа,  у  которой   aj = а и

a2 = 1 -а .

Таким образом, функция Кобба—Дугласа может быть записана следующим образом:

Y = AK aL1-a , (3.1) где А > 0 ; 0 <а<1; K > 0 ; L > 0 .

Проведем анализ функции Кобба—Дугласа (3.1) на предмет ее соответствия свойствам, приведенным в § 3.2.

Положив в производственной функции K = 0 или L = 0 , видим, что исследуемая производственная функция равна нулю, т.е. выполняется свойство 1, утверждающее, что при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно.

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по капиталу:

д— = A-а-K a-1L1-a = А ^ K а Ll-a =а—. dK KK

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по труду:

— = А .(1 -a)-Kа L-a = А <J-а>'K а L'-" =(1-а)—.

Поскольку первые частные производные положительны, то исследуемая функция возрастающая, т.е. выполняется свойство 2.

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по капиталу:

 

          - = A -a-(a -l)Kaa-2 L1-a = і         2        =

 

YY = a(a- 1)~K2 = M(-a)K2 •

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по труду:

d2Y    ч    a   a 1      A-a-(1-a)-K aL1-a 4Y

dL2     y     '  LL      v     'L2

Так как вторые частные производные отрицательны, то с ростом ресурсов скорость роста выпуска замедляется. Следовательно, выполняется свойство 3.

При неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет, так как выполняется условие:

lim AK aL1-a = oo;   lim AK aL1-a = oo. Таким образом, выполняется свойство 4.

Приравнивая первые производные от производственной функции нулю и решая эти уравнения, получим решения L = 0 и K = 0 . В этих точках функция обращается в ноль. Других корней эти уравнения не имеют. Поэтому максимума для всех точек (K, L), для

которых исследуемая функция определена, у нее нет.

Одним из методов исследования функции нескольких переменных является определение линий уровня. Линией уровня функции Y = F (K, L) называется множество всех точек (x, y), в которых функция принимает постоянное значение В . Для мультипликативной производственной функции уравнение для линий уровня имеет вид:

В = AK"1 L"2, где В — постоянная величина.

Из этого соотношения можно найти формулу для связи капитала и труда:

Kai= В^. (3.2)

Получили уравнение для степенной гиперболы.

Если,    например,    aj = a2 = a = 0,5 ,    то    В = АК0,5L0,5, или

2        2        В2

В = А ■ К ■ L , или —- = К ■ L. Отсюда следует, что линиями уровней

А2

будут равнобочные гиперболы:

К = Ш-.

L

> Пример 3.2. Показать, что функция Кобба—Дугласа (3.1) является однородной первой степени.

Решение. Напомним, что функция f (x, y) называется однородной, если выполняется условие f (Xx, Xy) = Xf (x, y) . Для

функции Кобба—Дугласа можно записать

= АХаКaXJ~aLJ~a = АХКaLJ~a. Отсюда видно, что функция Кобба—Дугласа является однородной первой степени. ◄

Экономический смысл однородности производственной функции состоит в том, что при увеличении ресурсов в X раз выпуск также увеличивается в X раз.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |