Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

3.6. изокванты и изоклинали

Изоквантой называется линия уровня в системе координат L0K. Функция изокванты определяется уравнением F (K, L ) = В = const.

Для мультипликативной производственной функции это уравнение (3.2).

На изокванте выпуск равен одному и тому же значению при различных значениях капитала K и труда L . Отсюда следует возможность взаимозаменяемости ресурсов.

Так как на изокванте F (K, L) = В = const, то дифференциал dF при перемещении по этой изокванте равен нулю, т.е.

dF dF dF =— dK + — dL = 0.

dK dL

Так как по второму свойству производственной функции — > 0;  — > 0,

dKdL

то дифференциалы dK и dL имеют разные знаки.

Предельной нормой замены труда капиталом (фондами) SK называется общая производная от капитала по труду. Поскольку дифференциалы dK и dL имеют разные знаки, то эта производная отрицательная. Поэтому для удобства перед этой производной пишут знак «—», т.е. так, как показано ниже,

SK -- dK            .    (3.6)

K      dL dF/dK

Аналогично находят предельную норму        SL  замены капитала

(фондов) трудом как общую производную от труда по капиталу со знаком «—»:

SL --ddL-dFIdK..      (3.7)

L

dK    dFj dL

Из двух последних формул видно, что SKSL -1, т.е. произведение предельной нормы замены труда капиталом и предельной нормы замены капитала трудом равно единице.

Для мультипликативной производственной функции имеем следующие значения для предельной фондоотдачи и предельной производительности труда:

dF   dAK-'is-- j      AKa-L2 -    Y_   dF_ - Y

■ Сіл  — Сіл       ,   — Cl~)

Ал      •        — C-fo .

dK      dKlK   1K    dL     2 L

Отсюда следует, что предельную норму SK замены труда капиталом и предельную норму S L замены капитала трудом находят по формулам

- dF/ dL -        . S - dFj dK _ aLL_ K - dF/ dK - a1 L '    L ~~ dFj dL ~ a2 K '

> Пример 3.3. Для мультипликативной производственной функция Y - AKaLa2 найти эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами. Решение. Эластичность замещения фондов трудовыми ресурсами находят по формуле

EL K j- dK ■L.

LK   '   dL K

С учетом (3.6) эту формулу можно записать в виде: dFj dL  L -   a2 K L - a2

dFj dKK      a1 L K

Эластичность замещения трудовых ресурсов фондами с учетом (3.7) определяется соотношением

К (      дК L ~   dF/dL ' L ~   a2 К L ~ a2

Знак «—» перед эластичностями означает, что функция К (L)

является убывающей. Например, для эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами при возрастании трудовых ресурсов на 1\% фонды сократятся на — \%. Следует иметь в виду,

что выпуск при этом не изменяется. Л

Изоклиналью называется линия наибольшего роста производственной функции. Изоклиналь является линией, в каждой точке которой касательной является направление градиента функции Y = F (К, L). Градиентом функции является вектор, имеющий вид:

lr,             dF -

grad F = — і +         і ,

dL дК

где і и j екции градиента на эти оси.

dF dF

орты осей 0L и 0К соответственно; — и                 — про-

dL дK

Можно показать, что градиент ортогонален линиям уровня. Поэтому изоклинали ортогональны изоквантам. На рис. 3.2 показан график изоклинали и градиент функции Y = F (К, L).

Подпись: Ft
dK
0

Рис. 3.2. График изоклинали и градиент функции

 

Из геометрии этого графика следует соотношение

AK ^ 8F/ 8K AL ~ 8Fj 8L '

Переходя к дифференциалам и произведя необходимые преобразования, получим уравнение для изоклинали:

dK dL

8F/8K 8F/8L

Для мультипликативной производственной функции уравнение изоклинали имеет вид:

KdK LdL

aj a2

Решение этого дифференциального уравнения можно представить в виде:

— = — + С, (3.8)

aj a2

где С — постоянная интегрирования.

При прохождении изоклинали через любую точку с координатами (К0, L0) постоянная интегрирования определяется формулой

C = Ko _ lll

 

Подставив последнюю формулу в (3.8), получим выражение для функции изоклинали

 

K     (e _L2)+K0 ■

Изоклиналь, проходящая через начало координат, определяется формулой

K = ,

 

aj

т.е. является прямой линией с тангенсом угла наклона, равным  I— .

 

Пример графиков изоквант и изоклиналей показан на рис. 3.3.

K

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |