Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

5.2. модель харрода—домара

Модель Харрода—Домара описывает динамику выхода (дохода) Y (t), который является суммой потребления C (t) и инвестиций

I (t). Эти показатели удовлетворяют следующему соотношению:

Y (t ) = C (t) +1 (t). (5.1)

Отношение инвестиций I (t) к выходу Y (t) для момента времени t называется нормой накопления в момент времени t . Формула для нормы накопления a (t) имеет вид:

 

)   Y(t)   1   Y(t) ■

Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основной предпосылкой модели роста является формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что инвестиции пропорциональны скорости роста дохода, т.е.

dY (t)

 

где в — предельный коэффициент капиталоемкости, или фондоемкости, прироста дохода, равный отношению прироста капитала (основных средств) к приросту выпуска.

Обратная величина b - В- называется предельным коэффициентом капиталоотдачи, или фондоотдачи.

В модель включаются следующие предпосылки:

модель не учитывает выбытие основного капитала;

модель не учитывает технического прогресса;

инвестиционный лаг равен нулю, т.е. инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала;

4)       производственная функция является линейной.

Изменяющиеся во времени выход Y (t) называется абсолютной

траекторией. Дифференциальное уравнение для определения абсолютной траектории модели Харрода—Домара получим, подставив (5.2) в (5.1):

Y (t)- C (t) + BdY^. (5.3)

Соотношение (5.3) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Обычно такие уравнения записывают в виде:

 

Известно, что решение линейного дифференциального уравнения такого вида можно представить в виде квадратур. Это решение можно отыскать во многих математических справочниках и учебниках по дифференциальным уравнениям. Для нашего случая решение принимает вид:

Подпись: B
где с1 — постоянная интегрирования.

B

Y (t)-eB    -—C (t)e'B dt + c1  - eB        C (t)e Bdt + cx

(5.5)

Пусть потребление в модели возрастает во времени по экспоненциальному закону. В этом случае функцию потребления от времени можно представить следующим образом:

С (t ) = C0ert.

Коэффициент при переменной в показатели степени экспоненты является постоянным темпом прироста. Действительно, по про-

шествии года темп роста потребления будет равен

СІЛ)

Со

: er. Темп

прироста находят как разность er -1. Если разложить экспоненту в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами, то получим er -1 и 1 + r -1 = r . Таким образом, темп прироста равен r. Заметим,

что темп прироста имеет размерность

1

год

Подставив выражение для потребления в (5.5), получим функцию выпуска от времени

Подпись: CПодпись: B

C

B

(

2- erteBdt + c

2 V

dt + c1

(5.6)

B ,

X+C1

B

Постоянную интегрирования сг найдем, подставив в (5.6) t = 0.

 

Yo = Y (0 ) = e0

B

Отсюда получим

Подпись: ■ + Y0.c = b  r-1+ Yo B

._C.

1 - Br

Подставив постоянную интегрирования в (5.6), найдем

Подпись: - + Y0

Подпись: 1 - Br Подпись: 1 - Br
Y (t ) =

C0

1 - Br    1 - Br

(5.7)

 

Проведем анализ этой функции выпуска от времени. Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Пусть r > —. Уже из постановки задачи следует, что общест-B

во будет проедать накопленный капитал, так как годовой темп прироста больше годовой фондоотдачи. Второе слагаемое в (5.7), отвечающее   за  потребление,   становится   отрицательным,   так как

1 - Br < 0 , что следует из условия r > —. Из этого же условия следу-

B

t

ет, что функция ert растет быстрее функции eB . Таким образом, через некоторое время второе слагаемое по модулю превысит первое. Из сказанного следует, что потребление будет занимать все большую часть дохода и в конце концов сведет к нулю сначала инвестиции, а затем доход.

2. Положим r <

B

т.е. темп прироста потребления ниже коэф-

фициента капиталоотдачи. В этом случае результат заметно зависит

й                                — Co

от нормы накопления в начальный момент времени а 0 = 1                и от

Yo

отношения нормы накопления в начальный момент времени к предельной фондоемкости.

Po

B

1 -C

(5.8)

 

Рассмотрим несколько вариантов при различных связях r, р0 и

1

B

Подпись: 1 - Br
Подпись: 1 - C-
2.1. Пусть r = P0 . Тогда

с-

Y0 . Подставив это

Подпись: Y0o J

соотношение и (5.8) в формулу (5.7), получим

Отсюда следует, что выход растет, причем темп прироста равен коэффициенту при показателе степени экспоненты, равному р0.

Отсюда следует, что темп прироста прямо пропорционален норме

C

накопления в начальный момент времени а 0 = 1   0 и обратно

Y0

пропорционален коэффициенту капиталоемкости в .

2.2. Пусть — > r >р0. Это значит, что норма потребления боль-

в

ше коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться недостаточными для нормального развития экономики. Для поставленных условий коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет отрицательным. Действительно,

Y0

C0    _ Y0

1 - Br   1 - Br

(        п

1 - Br-

V        Y0 J

BY0

1-Br

(-r +р0)< 0

Поскольку в соотношении (5.7) коэффициент при показателе

степени в первом слагаемом больше, чем во втором, так как В- > r ,

то рано или поздно первое слагаемое по модулю превысит второе, и доход будет отрицательным.

2.3. Пусть r <р0. Это значит, что норма потребления меньше

коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться слишком большими для нормального развития потребления. В этом случае при выполнении условия -B > r коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет положительным. Действительно,

Y0—^ = ^°~ (-r +Р0 )> 0.

01- Br 1- Br 0

Поскольку так же, как и в предыдущем случае, в соотношении (5.7) коэффициент при показателе степени в первом слагаемом больше, чем во втором, то рано или поздно первое слагаемое превысит второе. В дальнейшем первое слагаемое будет все более и более подавлять второе, и процесс инвестирования будет вестись ради инвестирования, а не ради удовлетворения потребностей людей.

> Пример 5.1. Доход в начальный момент времени составляет Y0 = 20 , а потребление в этот момент с0 = 12 .

Провести исследование параметров модели для двух вариантов: 1) r = 0,2 , в = 8; 2) r = 0,2 , в = 2 .

Решение. Норма накопления в начальный момент времени

C 12

составила а 0 = 1    0 = 1   = 0,4 .

0     Y0 20

Вариант 1. Так как — = — = 0,125 , то этот случай соответст-B 8

вует условию r > -В, т.е. темп прироста потребления превышает фондоотдачу. Функция дохода модели в этом случае в зависимости от времени имеет вид:

Y (t) = {20     Х— 1 • в*'8 +    12    e0,2t = 40 • в''8 - 20 • e0,2t.

w   ^      1 - 8 • 0,2 j         1 - 8 • 0,2

Потребление в модели изменяется по закону:

с (t ) = C0ert = 12e0,2t.

Отсюда находим закон изменения инвестиций:

I (t) = Y (t) - C (t) = 40 • e'l8 - 20 • e0,2 ^ ' - 12e0,2 ^' = 40 • e*'8 - 32e0,2 ^ '.

В целях определения момента времени, для которого инвестиции будут равны нулю, надо решить уравнение

40 • e^8 - 32e0,2t = 0 => e(1/8-0,2)t =       lne((8-0,2)t = ln32 ;

40 40

-0,075t = -0,223 , t = 3 года.

Таким образом, через три года инвестиции уменьшатся до нуля. Момент времени, для которого доход будет равен нулю, находят из уравнения

40• e^8 -20• e0,2t = 0 => є(1/8-0,2>* = 0,5; lne(1/8-0,2)t = ln0,5; -0,075t = -0,693 , t = 9 лет. Через девять лет до нуля уменьшится доход.

а     0 4 11 Вариант 2. Находим р 0 =—0 = ^— = 0,2  и — = — = 0,5 . Этот

В     2 B 2

вариант соответствует случаю, когда r = р0 = 0,2 . Находим траектории

Y (t) = (20     — 1 • в''2 +    12    e0,2t = 20 • e0,24;

w   ^      1 - 2^0,2 J 1 - 2^0,2

С (t ) = C0ert = 12e0,2 ^';

I (t) = Y (t) - C(t) = 20 • e0,2^' -12 • e0,2^' = 8 • e0,2^'.

Таким образом, выпуск, потребление и инвестиции развиваются с годовым приростом, равным 20\%. Л

 

5.3. Модель Солоу

Модель, предложенная американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу, позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов за счет ряда особенностей.

Производственная функция в модели Солоу нелинейная. В качестве выхода принимается внутренний валовой продукт, который будем обозначать буквой Y .

Модель учитывает выбытие основного капитала, или фондов. Величину основного капитала будем обозначать буквой K. Темп выбывших за год основных производственных фондов обозначим буквой ц.

Модель включает описание динамики трудовых ресурсов и их влияния на экономический рост. Число занятых в производстве людей, или труд, обозначим через L . Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей обозначим буквой v .

В модель Солоу входят также инвестиции, которые обозначаем через I . Принимается, что инвестиции изменяются прямо пропорционально внутреннему валовому продукту с коэффициентом пропорциональности р. Таким образом, I = pY. Коэффициент пропорциональности р называется нормой накопления. Он показывает

долю валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте. Потребление обозначим буквой C .

Таким образом, состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными, являющимися функциями времени. Время измеряется в годах.

Указанные параметры р , ц, v ограничены естественными границами:

0 <р<1, 0 <ц< 1, -1 <v< 1.

Значения этих параметров постоянны во времени, причем норма накопления р считается управляющим параметром, т.е. в начальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

На рис. 5.1 приведена схема функционирования экономики согласно модели Солоу.

 

L

Рис. 5.1. Схема функционирования экономики

Предполагается, что выпуск в каждый момент времени определяется неоклассической производственной функцией Y = F (K, L), например, функцией Кобба—Дугласа:

Подпись: а т-1-аY = F ( K, L )= A ■ K а-L

(5.9)

Темп прироста числа занятых в производстве людей за временной

интервал At определяется отношением      , где AL — приращение

числа занятых за этот временной интервал. Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей v , умноженный на тот же временной интервал At , также равен темпу прироста числа занятых в

производстве людей. Из сказанного следует: соотношение

L

-vAt.

Переходя к дифференциалам, получим

1 dL

Ldt

v . Решение этого диф-

ференциального уравнения имеет вид: ln L = v4 + ln В , где ln В — постоянная интегрирования. Отсюда находим L = bevt. Значение в находим при подстановке в последнюю формулу t = 0, т.е. L (0) = L0 = в . Окончательно имеем

L = L0e .

Найдем уравнение для фондов. Из постановки задачи следует, что фонды за временной интервал dt уменьшаются за счет их выбытия и увеличиваются за счет инвестиций. Их общее изменение за этот интервал составит dK = -xKdt + Idt. Отсюда получаем дифференциальное уравнение

dK       „ ,

          = -uK +1.

dt

Начальное условие для этого уравнения имеет вид: K (0) = K0.

Таким образом, модель Солоу в абсолютных показателях может быть представлена в виде:

dK

L = L0e v-t;  — = -nK +1;   K (0) = K0;

d (5.10)

Y = F (K, L);  I = pY;   с = (1 -p)Y.

Общий анализ удобно провести в удельных показателях. К таким показателям относят:

k = K — фондовооруженность; Y   F (K, L)

y = j = ——- — удельный внутренний валовой продукт, или народнохозяйственная производительность труда;

I

i = l = Р • У — удельные инвестиции на одного занятого;

с

c = j = (1 -p)y — среднедушевое потребление на одного занятого.

Исследование модели Солоу проведем для производственной функции Кобба—Дугласа (5.9). Для удельного внутреннего валового продукта имеем

У = L = A • (Т]а • fj"і а = A • kа= f (k). (5.11)

В дифференциальном уравнении ddK = -цК +1 от абсолютных

dt

їоказателей їерейдем к относительным, заменив K на -Ь . Таким образом, это уравнение можно зашісать в виде:

dK   d (кЬ)       іт т

          = ——- = -\кЬ +1.

dt dt

d (кЬ)     db   Tdk db

Так как —1—- = k    + Ь— и — = vL , то можно записать:

dt        dt      dt dt

dk

kvL + L— = -ukL +1.

dt

Разделив правую и левую части этого соотношения на Ь , получим:

d- = -vk -\k + i = - (v + ц) k + p- f (k).

Из сказанного следует, что в удельных показателях модель Со-лоу приобретает вид:

d- = -U + р.f (k); Х = v + ц; k(0) = k0 = ^ (5_J2) i = p.f(k); c = (1 -p).f(k). 0

Изменяющиеся во времени показатели, определяемые моделью (5.10) и (5.12), называются соответственно абсолютными и относительными траекториями.

Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени. Такая ситуация возможна в будущем, когда выход практически не изменяется со временем. Для стационарной траектории введем следующие обозначения:

k = k0 = const;   y = у0 = const;   i = i0 = const;   c = c0 = const.

Верхний индекс «ноль» у показателя указывает на то, что показатель относится к стационарной траектории.

После выхода траектории на стационарный режим производная

dk 0

          = 0 . Для этого режима дифференциальное уравнение принима-

dt

ет вид:

-Ik0 +р-f (k0 ) = 0, или Ik0 =р-f (k0). (5.13)

Поскольку функция F(K, L) — неоклассическая, то f (0) = 0 ,

f' (k) > 0 ,  f'' (k) < 0. Если также задать условие  р • f'(0) > X , то

уравнение (5.13) будет иметь единственное ненулевое решение k0 (рис. 5.2).

g (k )t

0

 

Если в начальный момент времени k0 = k0, то экономика находится на стационарной траектории и сойти с нее может только при изменении внешних условий, например, при изменении функции Y = F (K,L) (переход к новым технологиям). При k Ф k0 в экономике будет происходить переходной режим, который закончится установлением стационарного режима.

Точку k0 находят из уравнения (5.13), подставив туда (5.11):

 

Решим это уравнение относительно k0:

Подпись:

(5.14)

На рис. 5.2 введено обозначение к = к , при котором скорости роста  функций   g1 (к) = Ак0   (левая  часть  уравнения   (5.13)) и

g2(к) = р-f(к0) (правая часть уравнения (5.13)) равны. Значение

к является решением уравнения, которое получается путем приравнивания производных функций g1 (к) и g2 (к):

р- f'( к ) = X (5.15)

Точку к находим из этого уравнения, подставив туда производную от (5.11), равную у'к =а- A- ка-1:

 

р-а-А-ка-1 = A; к1-а=арА; к* = [^2^. (5.16)

Для описания переходного режима необходимо решить дифференциальное уравнение из (5.12), которое для производственной функции Кобба—Дугласа (5.11) приобретает вид:

— = -Ак + р- A-к а.

dt

Введя замену к = ue-х -1, получим

du    -X-t        л     -"A-t       л     -X-t ,       л     а    -а-"A-t

          e     - u - A -e     =-A -u-e     +р- A-u  -e ,

dt

или

 

dt

Это уравнение с разделяющимися переменными

du

 

Его решение имеет вид:

р A edt.

1 -а       A(1 -а)

і1-а    р - A- e^- A-t

Постоянную интегрирования находим из условия t = 0, u (0) = k0:

с1

 

A

k0

1 -аХ(1 -а)

Подставив выражение для постоянной интегрирования в предыдущую формулу, получим

V    e(1-a>Xt_ + k1-a   ?• A11-а

X

X

Так как для стационарной траектории справедливо соотно-

j  (і1-а A

шение (k )    =                (см. (5.14)), то формулу для u можно запи-

сать в виде:

 

u = [(k0)1-а •e(1-a)Xt + k1-a-(k0)1-аГ

Учитывая, что u = k (t) e ^ t, найдем k(t) = J(k0)1-a •e(1-a)Xt •e-(1-a)Xt + (k1-a-(k0)

 

 

I1/ (1-

-(1-a)X^t I

Окончательно получим

Подпись: 1-а^ ) = f(k 0)

+ 1 k

(k 0 )

e-(1-a)Xt |1-а

(5.17)

Отсюда, в частности, следует, что при стремлении времени к бесконечности траектория выходит на стационарный режим, т.е.

народнохозяйственная производительность труда стремится к k0 . Действительно,

lim k (t ) = k0.

t -><»

Вид переходного процесса, определяемого траекторией (5.17), зависит от соотношения величин k0, k* и k0. Первая производная фондовооруженности k от времени, являющаяся исходным dk

дифференциальным уравнением — = -Xk + р-A^kа , будет поло-

dt

жительной при возрастающей функции и отрицательной — при убывающей. Положив первую производную положительной, получим

-Xk + р- A^k а> 0; p-A > k1-a.

X

(

01-а  A        / 1-

k )    = —— , запишем (k )    > k ~a. Отсюда

следует, что переходной процесс будет возрастающим при k < k0. Аналогично можно показать, что переходной процесс будут убывающим при k> k0 .

Проведем исследование функции (5.17) на наличие точки перегиба. Для этих целей определим вторую производную и приравняем ее нулю:

 

—- = -X— + р^ A      = (-X + a-p-A^ka 1)— = 0.

dt2      dt        dt dt

Точка перегиба имеет место при

1

k_1-a = а • p • A ; k fajp-AVcx

X  ;    I X  J .

Сопоставив полученное решение с приведенной ранее формулой для вычисления абсциссы k= k* , при которой скорость роста функций g2 (k)  равна росту скорости функции, видим, что эти

формулы совпали. Отсюда находим, что абсцисса точки перегиба равна

k= k* .

В общем случае для траектории фондовооруженности выделяют три типа переходного процесса. Эти типы зависят от соотношения трех абсцисс: k0 , k* и k0 .

1. Пусть k0 < k*. В этом случае с начала процесса до достижения точки перегиба имеем ускоренный рост фондовооруженности. При достижении точки перегиба этот процесс сменяется замедленным ростом. На рис. 5.3 эта траектория помечена цифрой 1. В пределе при t — oo траектория стремится к к0.

кА

2.       При выполнении условий к < к0 < к0 имеет место замед-

ленный рост фондовооруженности. На рис. 5.12 эта траектория

помечена цифрой 2. В пределе при t — oo траектория стремится

к к0.

3.       Если в начале процесса фондовооруженность превышает свое

стационарное значение, т.е. если выполняется условие к0 > к0, то

траектория фондовооруженности является убывающей. Это говорит о том, что общество проедает фонды.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |