Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

9.6. теории экономических циклов

В настоящее время отсутствует единая теория экономических циклов. Экономисты по-разному объясняют причины циклического развития экономики.

В общем случае используются три типа факторов, определяющих экономические циклы: экзогенные, эндогенные, совместные.

Экзогенные, или внешние, факторы находятся за пределами экономической системы, подверженной циклическому развитию. Например, возникновение циклов, имеющих длительность 10—12 лет, некоторые исследователи связывают с солнечной активностью. Как известно, периодичность солнечной активности, выражающаяся появлением солнечных пятен, равна 11 годам. Солнечные пятна, по мнению этих исследователей, влияют на поведение людей, что и приводит к цикличности развития экономики. К экзогенным факторам относят также динамику роста и миграцию населения, научные открытия, политику государства и войны.

Эндогенные, или внутренние, факторы, присущи экономической системе. К внутренним факторам относят потребление и инвестиции.

Деление факторов на внутренние и внешние не всегда можно провести с достаточной четкостью. Является ли рассматриваемый фактор внешним или внутренним во многом зависит от того, что исследователь включает в экономическую систему, а что исключает из нее. Например, если государство рассматривать как элемент экономики, то его налогово-бюджетная политика является внутренним фактором. Если государство отделить от экономики, то эта политика будет внешним фактором. Поэтому многие исследователи не делят факторы на внутренние и внешние, а используют в своих работах третий тип, называемый совместным.

9.6.1. Модель Самуэльсона—Хикса

Модель Самуэльсона—Хикса включает в себя рынок товаров. Уровень цен и процентная ставка принимаются постоянными.

Если не учитьгвать чистый экспорт, то основное макроэкономическое тождество (6.2) для года под номером t можно записать в виде:

Y = Ct + It + Gt,

где Ct = at + bYt-1 — функция потребления для года под номером t, at — автономное потребление для года под номером t, b — предельная склонность к потреблению (не зависит от времени); It = Iat + Iu t —

спрос на инвестиции для года под номером t , I a t — автономные инвестиции, объем которых для данной процентной ставки постоянен, I u t — индуцированные инвестиции, зависящие от приращения дохода

за прошлый и позапрошлый годы; Gt — государственные расходы для года под номером t .

Индуцированные инвестиции вычисляются по формуле Iи,t = V (Yt-і - Yt-2 ) ,

где V — акселератор.

Подставив в основное макроэкономическое тождество приведенные соотношения, получим

Yt = at + bYt-і +t + V(Yt-і -     ) + Gt = (b + V)Yt_, -VY-2 + at +t + Gt. Перепишем эту формулу в виде:

Yt =(b + V)Yt-і -VYt-2 + At, (9.1)

 

Соотношение (9.1) называется неоднородным конечно-разностным линейным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

Уравнение вида

Yt =(b + V) Yt-і - VYt-2 (9.2)

называется однородным конечно-разностным линейным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

Решение уравнения (9.1) определяется однозначно, если заданы два начальных условия. В качестве этих условий рассматриваются, например, значения Yt при t = 0 и t = і .

Если в уравнении (9.1) воздействие At = A = const, то говорят, что система находится на стационарной траектории. На этой траектории выход год от года изменяться не будет, т.е. Yt = Y = const при любом t. Из уравнения (9.1) при выполнении этого условия следует:

Y = {b+v )Y - vy + a.

Отсюда можно найти формулу для расчета величины выхода на стационарной траектории:

Y = ±. і - b

Рассмотрим уравнение (9.1) при выполнении условия At = A = const, т.е. правая часть уравнения не зависит от времени. Тогда это уравнение можно переписать в виде:

Yt =(b + V) Yt-і - VY-2 + A. (9.3)

Введем замену:

 

y = Y - Y = Y ——. (9.4)

Тогда уравнение (9.3) можно записать следующим образом:

y, + л.=<b+v)(y,-і + ^}-v (y,-2 + £)+a

Преобразовав это выражение, получим

yt =(b + V)y-і - Vyt-2. (9.5)

Таким образом, введя замену (9.4), мы пришли к однородному уравнению. Поэтому все рассмотренные ниже свойства уравнения (9.5) справедливы и для уравнения (9.3). Характеристическое уравнение однородного конечно-разностного линейного уравнения с постоянными коэффициентами (9.5) имеет вид:

x2-{Ь + V )х + V = 0.

Корни этого уравнения вычисляются по формуле

b + V ±^j(b + V)2 - 4V

2

X1,2

Вид решения уравнения (9.5) зависит от типа корней. Если корни действительны и различны, то решение уравнения имеет вид:

yt = c{k J + c2X 2. (9.6) Если Xj = X2 = X , то решение имеет вид:

yt = ( cj +    )Xt. (9.7)

Если (b + V)2 - 4V < 0 , т.е. если корни — комплексные числа и имеют вид:

Ь + V ±J(b + V)2 - 4V         Г-2               ±i.arctg1 ±. с

XJ2 =  = а± i'P = Va 2 +Р 2 e а=рв±"а,

то решение можно получить, подставив значение корней в (9.6). В результате найдем

yt = cJpte''a't + c2pte-1'a.t = cJpt (cos со • t + i sin CO • t) + + c2pt (cos со • t - i sin со • t) = (cJ + c2 )pt cos со • t + i (cJ - c2 )ptsin ^ t,

где p — модуль комплексного числа.

Таким образом, решение можно записать в виде:

yt =pt (В • cos со • t + D • sin со • t), (9.8)

где В и D — действительные числа, значение которых находят из начальных условий.

Пусть в качестве начальных условий заданы значения y0 при t = 0 и yJ при t = 1. Тогда, подставив в (9.8) t = 0 , получим В = y0. Подставив туда t = j , найдем

yJ = p(y0 .cosсо + D.sinсо).

Отсюда находим:

D = yjlp-y0.cos ю sin со

В правую часть этого соотношения входят только действительные значения.

Как следует из соотношений (9.6)—(9.8), поведение экономики зависит от вида траектории. Рассмотрим это подробно.

Напомним, что решение называется устойчивым, если при стремлении времени к бесконечности, т.е. t —>оо , решение стремится к нулю, т.е. yt — 0 . Если же при t — со решение yt — со , то

такое решение называется неустойчивым.

Выход, определяемый уравнением (9.6) задается суммой двух показательных функций. Траектории, определяемые этими функциями, зависят от значения корней X1 и X2. Если эти корни находятся в интервале от нуля до единицы, то траектория  будет устойчивой.  Действительно,  при   0 <X1 < 1   и при

0 <X2 < 1 имеем:

lim yt = c1 lim X1 + c2 lim X 2= 0.

t—о        t—о t—о

Реальный выход при t — со можно найти, используя замену (9.4): lim Yt = lim (yt + Y ) = Y.

Отсюда следует, что система выходит на стационарную траекторию теоретически при t — со . Практически считают, что система вышла на стационарную траекторию при значениях Yt , отличающихся от Y на несколько процентов.

Устойчивость рассматриваемого решения выражают также через предельную склонность к потреблению b и акселератор V . В этом случае должны выполняться неравенства

b + V ±J(b + V) - 4V

0 <     ^        < 1.

2

Из этого соотношения следует, что если выполняется неравенство с плюсом перед корнем, то тем более выполняется неравенство с минусом перед корнем. Поэтому условие устойчивости можно выразить через одно неравенство:

 

b + V + J(b + V) - 4V

0 <     2        < 1   или   0 < b +V + yj(b + V )2 - 4V <2.

Если хотя бы один корень больше единицы, то траектория будет неустойчивой. По условиям рассматриваемой задачи, первый корень всегда больше второго, т.е. X1 >X2. При X1 > 1 имеем:

lim yt = c1 lim X1 + c2 lim X 2— о.

Если условие неустойчивого равновесия выражают через предельную склонность к потреблению b и акселератор V , то оно имеет вид:

b + V + ^(b + V)2 - 4V > 2.

Графически устойчивые и неустойчивые траектории представлены на рис. 9.4.

Выход, определяемый уравнением (9.7), задается одной из показательных функций и одной степенной. Если корень X находится в интервале от нуля до единицы, то траектория будет устойчивой. Действительно, при 0 < X< 1 имеем:

lim yt = c1 lim X' + c2 lim tX' = 0.

Второй предел в правой части легко найти при помощи правила Лапиталя.

Условие устойчивости, выраженное через предельную склонность к потреблению b и акселератор V, имеет вид:

b+V

0 <     < 1  или  0 < b + V < 2.

2

Если корень X больше единицы, то траектория будет устойчивой.

Графически устойчивые и неустойчивые траектории для второго случая представлены на рис. 9.5.

 

Неустойчивая траектория

 

Устойчивая траектория

 

о        1

Рис. 9.5. Устойчивая и неустойчивая траектории

Наконец, рассмотрим третий случай колебательной траектории, представленной уравнением (9.8). Как следует из этого уравнения, траектория будет устойчивой при  0 <р< 1 и неустойчивой при

р> 1. Условие устойчивости, выраженное через предельную склонность к потреблению Ь и акселератор V, можно записать в виде:

(b + V)2   (b + V)2 - 4V      Г"       ~2

0 <JV      > +±         4        < 1  или  0 << 2 (b + V)

-4V < 2.

На рис. 9.6 представлена устойчивая траектория колебательного процесса для функции Уг .

й о

к

е а

й

к к

е

В

е

о

Если в качестве выхода принять реальные значения Yt = yt + Y , то график устойчивой траектории будет иметь вид, показанньгй на рис. 9.7.

я к

л о

Рн

1,5 1

0,5 -I

О       20      40 60

Время

Рис. 9.7. Устойчивая траектория для реального процесса

На рис. 9.8 представлена неустойчивая траектория колебательного процесса для функции yt.

-15 J   1

Время

Рис. 9.8. Неустойчивая траектория

> Пример 9.1. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид: Ct = 100 + 0,76 • Yt-1 , а функция спроса на инвестиции —

It = 500 + V (Yt- - Yt_2 ).

Построить траектории при следующих значениях акселератора: V = 0,2 , V2 = 0,8 , V3 = 1,5 , V4 = 2,5 при граничных условиях

Y0 = 1000 , Y1 = 1200 .

Решение. Правая часть уравнения (9.3) равна A = 100 + 500 = 600 . Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле Y = і _ ь = і _6^^7б = -2500 . С учетом замены (9.4) конечно-разностное уравнение принимает вид: yt = (0,76 + V~)yt-1 - Vyt-2 . Рассмотрим разные варианты.

Вариант 1. V1 — 0,2 . Перепишем конечно-разностное уравнение

y — (0,76 + 0,2)yt- -0,2yt_2. Корни уравнения равны

X1,2  

0,76 + 0,2 + ^(0,76 + 0,2)2 -4• 0,2    0,96 + 0,35

2        —       2 '

X1 — 0,655 ' X2 — 0,305 .

Система устойчива, так как корни меньше единицы. Решение имеет вид:

yt — c1 • 0,655t + c2 • 0,305t. Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода: Yt — c1 • 0,655t + c2 • 0,305t + 2500.

Постоянные c1 и c2 находят из граничных условий. По условиям примера Y0 — 1000 , а Yj — 1200 . Подставив эти данные в уравнение для истинного выхода, получим систему уравнений: Ґ1000 — c1 + c2 + 2500,

"11200 — c1 • 0,655 + c2 • 0,305 + 2500.

Решив эту систему, получим

842,5

c1 —  

1 0,35

 

— -2407 , c2 — 907

Истинная траектория имеет вид:

Yt —-2407 • 0,655t + 907 • 0,305t + 2500. График этой траектории представлен на рис. 9.9.

Подпись:
Время

Рис. 9.9. Устойчивая траектория

Вариант 2. V1 = 0,8 . Перепишем конечно-разностное уравнение:

yt = (0,76 + 0,8)yt- - 0,8yt_2. Корни уравнения равны

Ч2

0,76 + 0,8±^(0,76 + 0,8)2 -4• 0,8

2 =

=i,56 ^у2^6-3:2=0,78 ± 0,438 •,

2

Выразим корни через экспоненту:

0,438

           ±a-arctg     

0,782 + 0,4382 e       0,78 = 0,89е±г0,51.

Решение (9.8) можно записать в виде:

yt = 0,89t (В • cos (0,51 • t) + D • sin (0,51 • t)).

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt = 0,89t (В • cos (0,51 • t) + D • sin (0,51 • t)) + 2500.

В и D находят из начальных условий Y0 = 1000 , Y1 = 1200 . Подставив в полученное уравнение t 0 , получим 1000 = В + 2500 , или В = -1500. Подставив в уравнение t = 1, найдем:

1200 = 0,89 (-1500 • cos 0,51 + D • sin 0,51) + 2500 . Отсюда находим

1200_2500 +1500cos0,51

D =^89          = -310 .

sin 0,51

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt = 0,89t (-1500 • cos (0,51 • t) - 310 • sin (0,51 • t)) + 2500. График этой функции представлен на рис. 9.10.

 

Вариант 3. V1 = 1,5 . Конечно-разностное уравнение имеет вид:

yt = (0,76 +1,5)yt_i -1,5yt_2. Корни уравнения равны

0,76 +1,5 ±yj(0,76 +1,5)2 -4-1,5

X1,2

2,26 ±7 5,12 - 6

1,13 ± 0,938 - i.

Выразим корни через экспоненту:

 

1,2

■у/1,132 + 0,938

0,938

±i-arctg       

2 e 1,13

1,47 e

±i-0,69

Решение (9.8) имеет вид:

yt = 1,47t (в - cos (0,69 -1) + D - sin (0,69 -1)).

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt = 1,47t (в - cos (0,69 -1) + D - sin (0,69 -1)) + 2500.

Система неустойчива, так как р > 1.

в и D находят из начальных условий Y0 = 1000 , Y1 = 1200 . Подставив в полученное уравнение t = 0 , получим 1000 = в + 2500 , или в =-1500 . Подставив в уравнение t = 1 , найдем:

1200 = 1,47 (-1500 - cos 0,69 + D - sin 0,69) + 2500.

Отсюда находим

 

D ■

1200 - 2500 L47

+1500cos0,69

 

428.

sin 0,69

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt = 1,47* (-1500 • cos (0,69 • t) + 428 • sin (0,69 • t)) + 2500. График этой функции представлен на рис. 9.11.

я =Я

к к я

о

к

Время

Рис. 9.12. Неустойчивая колебательная траектория

 

Вариант 4. V1 = 2,5 . Перепишем конечно-разностное уравнение:

yt =(0,76 + 2,5)у*-і - 2,5у*-2. Корни уравнения равны

4,2

0,76 + 2,5 + ^/(0,76 + 2,5)2 -4• 2,5    3д6 + 0j9

2        =    2 ,

Х1 = 4,05 , X2 = 2,47 . Система неустойчива, так как корни больше единицы. Решение

имеет вид:

= c1 • 4,05t + c2 • 2,47t.

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt = c1 • 4,05t + c2 • 2,47t + 2500.

Постоянные c1 и c2 находят из граничных условий. По условиям примера Y0 = 1000 , а Y1 = 1200 . Подставив эти данные в уравнение для истинного выхода, получим систему уравнений:

[1000 — c1 + c2 + 2500,

"[1200 — c1 • 4,05 + c2 • 2,47 + 2500. Решив эту систему, получим:

— _2405 — 1522 , c2 —-3022. 1    1,58 2

Истинная траектория имеет вид:

Yt — 1522 • 4,05t - 3022 • 2,47t + 2500. График этой траектории представлен на рис. 9.12.

 

g        10000

д        8000

«        6000

§        4000

I         2000

Рн      ,        ,        ,        ,        ,

0        0,5     1        1,5        2 2,5

Время

Рис. 9.12. Неустойчивая траектория ◄

 

Из приведенного примера следует, что при больших значениях акселератора экономическая система становится неустойчивой.

Таким образом, процесс будет колебательным при выполнении условия

(b + V)2 - 4V < 0 и монотонным — при выполнении условия

(b + V)2 - 4V > 0 .

Граница между этими двумя процессами определяется уравнением

(b + V)2 - 4V — 0   или   b2 + 2bV + V2 - 4V — 0. Решение этого уравнения имеет вид:

 

b —    1        і         ]—V + 2W

Поскольку по условиям модели b является величиной положительной, а второй корень в решении не удовлетворяет этому условию, то его надо отбросить. В результате имеем

b = -V + 2yjv. (9.9)

Эта зависимость является границей между монотонной и колебательной траекториями. Графически эта граница представлена на рис. 9.13.

 

1,5

Все сочетания b и V, которые лежат ниже кривой на рис. 9.13, приводят к колебательному процессу, а сочетания этих параметров, лежащих выше кривой, приводят к монотонному процессу.

Рассмотрим условия устойчивого и неустойчивого равновесия для колебательного процесса. Для этих целей запишем выражение для модуля комплексного числа:

^4V -(b + V )2

(b + V )2-(b + V )2 + 4V

V,

 

р = yjV. (9.10) Отсюда следует, что р = 1 при V = 1. Из рис. 9.13 видно, что

при V = 1 и при любых b имеет место колебательный процесс. Поэтому при V < 1 система устойчива, а при V > 1 система неустойчива.

Из сказанного следует, что если точка (V, b) располагается в прямоугольнике, ограниченном точками (0,0), (0,1), (1,1) и (1,0), то система является устойчивой, причем для точек, расположенных выше кривой, система имеет монотонную траекторию, а для точек, расположенных ниже кривой, — колебательную траекторию. Если точка (v, b) располагается в прямоугольнике, ограниченном точками (0,1), (0,4), (4,4) и (1,1), то система является неустойчивой,

причем для точек, расположенных выше кривой, система имеет монотонную траекторию, а для точек, расположенных ниже кривой, — колебательную траекторию.

В рассмотренном примере для акселератора, равного 1,5 и 2,5, выход за короткий период времени увеличивается многократно и в пределе стремится к бесконечности (рис. 9.11, 9.12). Если в любой модели выход стремится к бесконечности, то это означает, что не все показатели, действующие на систему, учтены. Это связано с тем, что обычно для простоты характеристики модели принимаются линейными, что и ведет к бесконечному увеличению некоторых параметров. Реальные характеристики системы, как правило, нелинейные. Это ограничивает бесконечный рост выхода, но усложняет анализ. Обычно исследователь принимает модель линейной, как в рассматриваемом случае, проводит ее анализ, а затем накладывает дополнительные условия, что и сделал английский экономист Дж. Хикс.

По Хиксу, существуют два ограничителя, которые препятствуют, с одной стороны, увеличению выхода, а с другой — его уменьшению. Верхним ограничителем является уровень полной занятости, а нижним — величина амортизационных отчислений. Выход, или доход, не может превысить доход полной занятости, что и ограничивает его рост сверху. С другой стороны, спрос на инвестиции   для   года   под   номером   t ,   вычисляемый   по формуле

It — Ia t + V (yt-1 - Yt-2) ,может как увеличиваться, так и уменьшаться. Это зависит от знака разности Yt-1 - Yt-2. Поскольку объем спроса

на инвестиции не может быть ниже суммы амортизации, то это ограничивает траекторию дохода снизу. Хикс считал, что траектория изменяет свое направление всякий раз, как достигает верхней или нижней границы. Поэтому траектория носит колебательный характер. Приближенно траектория может быть описана гармонической функцией, как показано на рис. 9.14. Эта функция ограничена сверху и снизу.

РР 2 «

*   н    1        1       

3

 

Рассмотрим влияние роста населения на поведение траектории выхода. Функция автономного спроса для года под номером t в этом случае будет иметь вид:

A = a (і+лу,

где л — ежегодный прирост автономного спроса.

С учетом этого уравнение (9.1) можно переписать в виде:

Yt = (b + V) Yt_і - VYt_2 + A (1 + л У. (9.11)

В данном случае на стационарной траектории выход год от года будет увеличиваться с ежегодным темпом прироста л. Формула для

ежегодного выхода на стационарной траектории имеет вид [6]:

Подпись: л   b + V
1	+ -
Y

A (1 + л)

і + л  (і + л)2

(9.12)

Чтобы удостовериться в этом, надо (9.12) подставить в (9.11) и получить тождество.

Так же, как и ранее, введем замену y = Y - Y . Тогда уравнение (9.11) приобретает вид:

+ Y =(b + V)(yt-і + Y)-V (yt _ 2 + Y) + A (1 + л)t.

Проведя преобразования, получим для новой переменной однородное уравнение

yt =(b + V) yt-і _ Vyt-2t> Пример 9.2. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид: Ct — 100 + 0,76 • Yt-1 , а функция спроса на инвестиции —

спрос ежегодно увеличивается на 2\%.

Построить траекторию при следующих значениях граничных условий Y0 — 1000 , Y1 — 1200 .

Решение. Правая часть уравнения (9.11) равна:

At — (100 + 500) (1 + 0,02)t — 600 • 1,02t.

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле (9.12):

Y        —       600-1,02       — 2505 • 1 02t

Y        1 -0,76 + 0,8        0,8        2505 1,02 .

1 + 0,02 +(1 + 0,02)2 Конечно-разностное уравнение принимает вид:

yt — (0,76 + 0,8 ) yt-1 - 0,8 yt-2. Корни уравнения равны:

0,76 + 0,8 ±^/(0,76 + 0,8)2 -4• 0,8

1,2 2

— 1,56 ±V2,4336 - 3,2 — 08 ± 0,438 •,

2

Выразим корни через экспоненту:

0,438

           +;^arctg     

0,782 + 0,4382 e       0,78 — 0,89e±!'0,51.

Решение можно записать в виде:

yt — 0,89t (В• cos(0,51 • t) + D• sin(0,51 • t)).

Используя замену, получим уравнение:

Yt — 0,89t (В • cos (0,51 • t) + D • sin (0,51 • t)) + 2505 • 1,02t.

В и D находят из начальных условий Y0 1000 , Y1 1200 . Подставив    в    полученное    уравнение     t   0 , получим 1000 = В + 2505 , или В = -1505 . Подставив в уравнение t = 1, найдем:

1200 = 0,89(-1505 • cos0,51 + D • sin 0,51) + 2505 -1,02 . Отсюда находим

1200 - 2505-1,02 + 1505cos0,51

D =     089     = -428 .

sin 0,51

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид: Yt = 0,89t (-1505 • cos (0,51 • t) - 428 • sin (0,51 • t)) + 2505 • 1,02t. График этой функции представлен на рис. 9.15.

При работе в области неустойчивого равновесия на развитие выхода действуют два ограничителя Хикса, которые препятствуют увеличению и уменьшению выхода. Поэтому общая тенденция, или тренд, состоит в увеличении выпуска за счет роста населения, а относительно этого тренда происходят колебания, например, так, как показано на рис. 9.1.

9.6.2. Модель Тевеса

В модели Тевеса помимо показателей рынка товаров используются также показатели рынка денег, который воздействует на экономику через процентную ставку. Для того чтобы учесть это, из суммы автономных расходов At в соотношении (9.1) выделим автономные инвестиции Ia t. Будем считать теперь, что величина автономных инвестиций зависит от процентной ставки предшествующего периода, т.е.

Ia,t = 10 - drt-1 ,

где d — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки.

Остальные показатели, как и прежде, не зависят от времени. В результате имеем:

At = a + G +10 - d ■ rt _j = A - d ■ rt-1.

Тогда уравнение (9.1) можно переписать в виде:

Yt = (b + V)Yt_i - VYt_2 + A - d ■ rt_i. (9.13)

В гл. 8 было показано, что спрос на реальные кассовые остатки, при котором устанавливается равновесие, можно определить соотношением

 

у = k ^ Yt-і _ h ^ rt,

где M — заданное количество денег в экономике; р — уровень цен; k — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска; Y — объем выпуска в натуральном исчислении; h — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной ставки; r — процентная ставка.

Отсюда можно найти:

M

^'h ■ р

Для периода под номером t -1 можно записать:

r   = kY _M_

Yt - 2

11   h lzh ■ P Подставив это в (9.13), получим

Yt =(b + V)Yt_і _(V + U)Yt_2 + E , (9.14)

rr   d ■ k    ^    л   d ■M

где U =         ; E = A +       .

h        h ■ P

Уравнение (9.14) отличается от уравнения (9.3) только коэффициентом при Yt-2. Поэтому подходы к анализу модели Тевеса ничем не отличаются от используемых выше подходов. В частности, для определения выхода на стационарной траектории положим Yt = Y = const при любом t. В результате получим:

Y = ( b + V )Y-(V + U ) Y + E.

Отсюда можно найти формулу для расчета величины выхода на стационарной траектории:

Y E

1 - b + U

Введем замену

y = Y - Y = Y  E        . (9.15)

1 -b+U

Подставив замену в выражение (9.14) и проведя необходимые преобразования, получим однородное уравнение

yt = ( b + V) yt-1 -(V + U) yt-2. (9.16)

Корни характеристического уравнения этого однородного конечно-разностного линейного уравнения с постоянными коэффициентами вычисляются по формуле

b + V ±yj(b + V)2 - 4 (V + U)

1 2 2

Вид решения этого уравнения зависит от типа корней. Решение определяется формулой (9.6) при действительных и различных корнях, формулой (9.7) при действительных и равных корнях и формулой (9.8), если корнями являются комплексные числа.

Граница между колебательным и монотонным процессами определяется уравнением

(b + V)2 -4(V + U) = 0   или   b2 + 2bV + V2 -4(V + U) = 0.

Решение этого уравнения имеет вид:

-2V ±. Uv2 - 4 (V2 - 4 (V + U)) ,   

b=      *        2        і         1 = -V ± 2J(iV+U).

Поскольку по условиям модели b является величиной положительной, а второй корень в решении не удовлетворяет этому условию, то его надо отбросить. В результате имеем:

b = -V + 2^ (v + U).

Примем, например, скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки d = 10 , скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска к = 0,1, скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной

ставки  h = 2.  Тогда  U = =        = 0,5 .  Тогда уравнение для

h 2

границы между колебательным и монотонным процессами принимает вид:

b =-V + 2yj (V + 0,5). График этой функции представлен на рис. 9.16.

2

Из графика этого рисунка следует, что склонность к потреблению b при малых значениях акселератора V для показателя U 0, 5 превышает единицу. По экономическому смыслу эта величина не должна превышать единицу, поэтому граница между колебательной и монотонной траекториями будет проходить так, как показано на рис. 9.17.

 

Подпись: о	[В
О	ft
К	Е-1
к	о
1,2

 

Границы интервала, в котором склонность к потреблению принимается равной единице, определяют в общем случае из уравнения

1 = -V + 2^ (V + U ).

Решение этого уравнения имеет вид:

v ■

:1 + 2Vu.

Для рассматриваемого примера V2 = 1 + 2^0,5 = 2,414 . Таким образом, при изменении акселератора V от 0 до 2,414 процесс будет колебательным, а от 2,414 до 4,4 будет колебательным, если координата b находится ниже кривой, и монотонной — если выше.

Условия устойчивого и неустойчивого равновесия так же, как и выше, определяются для колебательного процесса по модулю комплексного числа:

 

Р2

Ґ

^4 (V + U )-(b + V)'

2

 

(b + V)2 _(b + V)2 + 4(V + U)

V+U

 

Р

-4v+u .

(9.17)

Отсюда следует, что р = 1 при V + U = 1. Поэтому при V + U < 1 система устойчива, а при V + U > 1 система неустойчива.

> Пример 9.3. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид:   Q = 100 + 0,76 • Yt-1 , функция спроса на инвестиции —

It = 500 - 4rt_1 + 0,8(Yt_1 - Yt-2) , а функция спроса на реальные

M M кассовые остатки — — = 0,1 • Yt-1 - 2 • rt, причем р = 140 . Построить траекторию при следующих значениях граничных условий Y0 = 1000 , Y1 = 1200 .

Решение. По условиям примера коэффициенты в уравнении (9.14) равны:

U = d-± = ^ = 0,2 , h 2

b + V = 0,76 + 0,8 = 1,56 ,

V + U = 0,8 + 0,2 = 1,

E = a +10 + —-M = 100 + 500 + ^-i-40 = 880.

0        h • P 2

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле

Y =     =     880     = 2000 .

1        -b+U  1 -0,76+0,2

Неоднородное конечно-разностное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

Yt = 1,56 • Yt-1 - Yt_2 + 880.

Введем замену:

y = Y - Y = Y - 2000.

Подставим замену в неоднородное конечно-разностное уравнение:

yt + 2000 = 1,56 • (yt-1 + 2000) - yt-2 - 2000 + 880. Конечно-разностное уравнение принимает вид:

yt = ^ ^ yt-1 - yt-2.

Корни уравнения равны:

1,56 ±yj1,562 - 4 = 1,56 ±уІ2,4336 - 4

Х12 =-—        = -—^  = 0,78 ± 0,626 • і.

1,2     2 2

Выразим корни через экспоненту:

+2-arctg

+2-0,8

0,626 0,78

2 =yj0,782 + 0,6262 в       = в-

Решение можно записать в виде:

yt = В -cos(0,8-t) + D- sin(0,8-1) . Используя замену, получим уравнение

Yt = В - cos(0,8 -1) + D - sin (0,8 -1) + 2000.

В и D находят из начальных условий y0 = 1000 , Y1 = 1200 . Подставив в полученное уравнение t = 0 , получим 1000 = В + 2000 , или В = -1000 . Подставив в уравнение t = 1, найдем:

D

1200 = -1000 - cos 0,8 + D - sin 0,8 + 2000 . Отсюда находим:

1200 - 2000 +1000 cos 0,8

144 .

sin0,8

Таким образом, траектория для реального выхода имеет вид:

Yt =-1000 - cos (0,8 -1)-144 - sin (0,8 -1) + 2000. График этой функции представлен на рис. 9.18.

я =Я

я

я о

Рн

4000 3000 2000 1000

30

 

9.6.3. Модель Гудвина

Экономические циклы в модели Гудвина возникают вследствие изменения и перераспределения национального дохода между трудом и капиталом.

Доля национального дохода, получаемого работниками (доля труда в национальном доходе), в зависимости от времени t, измеряемого в годах, вычисляется по формуле [6]

, ч   W (t) L (t)   W (t) 8(t)=      {}-—TT, (9.17)

где W (t) — средняя реальная заработная плата одного работника (ставка реальной заработной платы); L (t) — число занятых работни-

/ ч     / ч   Y (t)

ков; Y (t) — национальный доход; q (t) = —— средняя производи-

L(t)

тельность труда.

Приращение доли труда в национальном доходе за интервал времени At выражается соотношением

ч     , ч   W (t + At)   W (t)

A5 = 5(t + At )-5(t ) = —^   J-       =

q(t+At)q(t)

= W(t)(W(t + At) q(t) Л = ~Щ [ q (t + At) ' W(t) ,

Из этого соотношения найдем темп прироста доли труда в национальном доходе:

W '(t)

/ ч       / ч   / ч        1 + —гт-At

A5 = W (t) + W'(t)^At  q (t) -1 =     W (t)     -1 =

5(t)= q(t)+q'(t)At 'W(t)- = 1+^(0 At" =

At,

 

w(t)    q(t) = w(t) q(t) Atj^(o ^(o

q(t q(t

где W' (t и q(t — производные от ставки реальной заработной платы и средней производительности труда по времени.

Из двух приведенных в скобках дробей рассмотрим отношение

q'(t)

—-rf , которое запишем в виде:

q(t

q'(t) = Aq (t) q (t)    q (t)-At'

Если в этой формуле положить At = 1 году, а функцию q (t)

за этот срок можно представить в виде прямой линии, то можно считать:

q (t) = Aq (t)

q (t)    q (t)-l

где а — годовой темп прироста производительности труда, причиной которого является технический прогресс.

Другая дробь также может быть представлена годовым темпом прироста ставки реальной заработной платы:

W' (t) = AW (t) W (t) = W (t) '

В общем случае годовой темп прироста ставки реальной заработной платы является функцией от показателя занятости, определяемого по формуле и (t) = *( ) , где L* (t) — число занятых при

L (t)

нормальной загрузке производственных мощностей, когда объем предложения на рынке труда равен объему спроса. Если разложить функцию для годового темпа прироста ставки реальной заработной платы в ряд Тейлора и ограничиться линейным слагаемым, то эту функцию можно представить в виде:

W'(t) = AW (t) W (t) = W (t) = p-u(t)~y ,

где р и у — постоянные коэффициенты.

Теперь темп прироста доли труда в национальном доходе можно записать в виде:

A5

6(t)

(pu(t )-(a+y))At.

(9.18)

Приращение для показателя занятости запишем в виде:

,       ч     /ч    L (t + At)    L (t)    L (t)( L (t + At) L*

Au = u(t + At)-u(t)=-A       ^^H"I -T7      ч       

Отсюда найдем темп прироста показателя занятости:

L'(t)

Ди = L (t) + L (t).Дt   L* (t)    =     L (t)

 

L*(t)

1+

L (t)      L* (t)    L (t)    L* (t)

L (t)   L* (t)      = L (t)        L* (t)        U (t)   L* (t)

L* (t)

L*(t)

L* (t)

L*(t)

L(t) L* (t)

Ди

Так же, как и прежде, темп прироста показателя занятости можно представить в виде:

*

М, (t)   ДL* (t)

 

 

где

 

ДL (t)

u(t)   I L(t)     L*(t) годовой темп прироста числа занятых работников;

 

ДҐ (t)

: l — годовой темп прироста населения.

 

Из   соотношения   для   средней   производительности труда і    Y (t)

q (t) = l (t) можно написать формулу

L (t)

q(t)

Отсюда находим темп прироста числа занятых работников: M = AY(t) -Д?(/) = ДY(t) -L(t) "~Y(t)~"~qjt) ~~Y{t) ~a .

 

Принимаем, что темп прироста национального дохода

 

Y (t)

равен темпу прироста капитала

ДК (t)

а приращение капитала

равно инвестициям, т.е. AK (t)= I (t). Таким образом, на инвестиции идет часть национального дохода, оставшаяся после выплат работникам. Поэтому инвестиции вычисляются по формуле

1 (t ) = (1 -5(t))Y (t)'

Используя эти данные, формулу для темпа прироста капитала можно записать в виде:

AK (t ) = (l-5(t)) Y (t )=   1 -5(t)   = 1 -5(t) K (t) =      Щ      " K (t)lY (t) =    ц ,

K

где ц = j — капиталоемкость национального дохода.

AK (t)

Au

Окончательно выражение для темпа прироста показателя занятости можно записать в виде:

At

At

a-l

(t)   I Y (()'

Ґ л лгґЛ               ( л ггґЛ Л

(a + l)

(9.19)

1 -5(t)

ц

(a +1)

At

Соотношения (9.18) и (9.19) образуют модель Гудвина. Заменив в этих соотношениях приращения дифференциалами, получим систему дифференциальных уравнений:

d5

dt d и

dt

= pu(t )5(t )-(a + y)5(t),

u(t)5(t)   (1

=        W W+|         a-1 lu(t)'

ц       1ц J

 

(9.20)

Такие системы дифференциальных уравнений решаются обычно приближенными цифровыми методами [3]. Для того чтобы представить вид исследуемых функций, рассмотрим пример.

 

ї> Пример 9.4. В экономике темп прироста производительности

труда составляет

Aqt

a=——

= 0,05 , капиталоемкость национально-

qt

K AZ7 го дохода ц= — = 5 , темп прироста населения l = —= 0,02 ,

коэффициенты в формуле для темпа прироста ставки реальной заработной платы р = 0,6, у = 0,568 . В начале рассматриваемого процесса имеем прирост показателя занятости и0 = 0,96, а доля труда в национальном доходе 50 = 0,5 .

Построить графические зависимости прироста показателя занятости и доли труда в национальном доходе от времени. Р е ш е н и е. Подставив данные из примера в систему уравнений (9.20), получим:

f ^ = 0,6o(t )5(t)-0,6185(t),

^ = -0,2u(t )5(t) + 0,13o(t).

Такую систему дифференциальных уравнений с высокой степенью точности можно решить практически на любом современном компьютере. Для этих целей можно использовать без ущерба для точности самый простой метод, называемый методом ломаных. Для этих целей выбираются начальные точки интегральных кривых (0, и0) и (0,50) . Из системы дифференциальных уравнений находят направления касательных к этим интегральным кривым в точке t = 0 . В положительном направлении идем с шагом At = h до точек ((, и1) и (t1,51) , где t1 = h ,

а их = и0 + (-0,2и050 + 0,13и0)-h , 51 =50 +(0,6и050 -0,61850)-h. В точках ((, и1) и (t1,51) повторяем тот же прием. То есть из системы дифференциальных уравнений находят направления касательных к интегральным кривым в точке t= h. В положительном направлении идем с шагом At = h до точек (t2, и2) и

(t2,52),     где     t2 = 2h ,     а     и2 =и1 +(-0,2и151 + 0,13и1)-h ,

52 =51 +(0,6и151 -0,61851 )h , и т.д. Используя приведенный прием, рассчитаны графики функций показателя занятости и и доли труда в национальном доходе 5 и построены графики этих функций, которые представлены на рис. 9.19.

1,5

 

1

о

0,5

 

 

60

0

10

20

40

50

30 Время

Рис. 9.19. Показатель занятости и доля труда в национальном доходе ◄

Ход функций показателя занятости u( t) и доли труда в национальном доходе 5( t) проанализируем по их траектории на рис. 9.19

рассмотренного примера. Верхний график рисунка представляет собой функцию показателя занятости, а нижний — долю труда в национальном доходе. Видно, что график функции показателя занятости первым достигает, например, максимума, затем показатель занятости начинает уменьшаться, а доля труда в национальном доходе все еще растет. После достижения максимума доли труда в национальном доходе падает как эта доля, так и показатель занятости до тех пор, пока показатель занятости не достигнет минимума. Затем показатель занятости начнет возрастать, а доля труда в национальном доходе будет все еще уменьшаться и т.д. В таких случаях говорят, что два колебательных процесса сдвинуты по фазе.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |