Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

11.8. дюрация и изгиб

Цена облигации со сроком n , с купонными ежегодными выплатами Rt (где t — номер выплаты, или номер года) и с номиналом N

определяется суммой всех выплат, дисконтированных по ставке r, и является функцией этой ставки. Таким образом, зависимость цены облигации от ставки можно представить в виде соотношения

 

A (r ) = X      —t +   .

t=1 (1 + r )    (1 + r )n

По условиям задачи всегда r >-1, Rt >0 , N >0. Поэтому A > 0,

т.е. всегда является величиной положительной. Первая производная цены облигации по ставке дисконтирования определяется выражением

dA dr

1

1 + r

n • N

-   t ^ R

X    t i

t=1 (1 + r )t   (1 + r )n

Эта производная при поставленных выше условиях величина всегда отрицательная. Отсюда следует, что функция A (r) является убывающей. Вторая производная цены по ставке имеет вид:

d2 A dr2

XX t •(t + 1)Rt + n(n +1)N

t + 2

t=1 (1 + r )t+2     (1 + r )

Как следует из этого соотношения, вторая производная всегда положительна. Поэтому исследуемая кривая всегда имеет выпуклость, обращенную вниз так, как показано на рис. 11.10.

 

Рис. 11.10. Графическая зависимость цены облигации от процентной ставки

Разложим функцию A (r) в ряд Тейлора в точке r = r0, ограничившись первыми тремя членами:

A (r ) = A (re ) + f '(о )(r - re ) + ^^o) (r - r0 )2 ,

где f '(r0), f ''(r0) — первая и вторая производные от цены облигации по ставке дисконтирования в точке r = r0 .

Введем замену:

 

AA = A (r)-A (r0); Ar

и разделим левую и правую части функции для цены облигации на A0 = A (r0). В результате получим

A,

A0

AA = ИМ Ar + Ж (Ar )2.

2 A0

Подставим соотношения для производных в последнюю формулу. В результате найдем:

AA

1

t ■ R

n ■ N

Ar

A0 A0

i(1 + r0 )'   (1 + r0 У

1 + r0

 

 

2 A0

n t■(t + 1)Rt   n(n + 1)N

(Ar)2

Входящие в это выражения величины называются дюрацией:

D -

Г

 

0

nN

l(1 + r0 )'   (1 + r0 )n

и изгибом:

Г

t (t + 1)Rt   n (n + 1)N

2 A0

 

Используя эти выражения, перепишем формулу для относительного приращения цены в виде:

A

 

          = -D    + C■(Ar) .

А        1   ,  ..         /

1 + r0

Подставив сюда введенные выше обозначения, получим формулу для цены:

A = A0

1 - D— + C ■(Ar )2

 

Если пренебречь изгибом, то формула для цены акции будет иметь вид:

Подпись: Аг 1 + г0A = An

L

1 - D-

Полученные зависимости в виде графиков представлены на рис. 11.11. Сплошная линия — цена облигации, рассчитанная по точной формуле. Кривая, представленная точками, — график цены облигации с учетом дюрации и изгиба. Прямая пунктирная линия соответствует соотношению, в котором учтена только дюрация. Все три линии пересекаются в точке (г0, A0).

Подпись:
Таким образом, при известной дюрации и изгибе по приведенной формуле для относительного изменения цены облигации легко определить изменение этой цены АА при незначительном изменении ставки дисконтирования Аг. При увеличении модуля Аг ошибка расчета величины изменения цены облигации увеличивается. Если отбросить слагаемое, учитьгвающее изгиб, то изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования будет определяться только дюрацией, т.е.

АА      „ Аг

          = -D-

1 + г0

Как следует из формулы для дюрации, этот показатель является средним взвешенным моментов платежа. Весами являются дисконтированные платежи, деленные на современную стоимость всех платежей. Единицей измерения дюрации является единица измерения времени, т.е. год.

ї> Пример 11.12. Бескупонная облигация, имеющая номинал 5000 руб., будет погашена через два года.

Определить цену облигации, дюрацию и изгиб для ставки дис-котирования 10\% годовых (точка разложения). Найти изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования на ±2\% для трех случаев:

истинное;

при учете дюрации и изгиба;

при учете только дюрации.

Найти методические ошибки расчета цены при учете дюрации и изгиба, а также только дюрации.

Р е ш е н и е. Для определения истинной цены облигации используется полученная формула, которая для бескупонной облигации имеет вид:

A =»     = _»«>   = 4132,23 руб. (1+г0)"'    (1 + 0,1)2

Преобразовав формулу для дюрации, получим

D    1 nN

D =     = n.

(1 + г0 )П

Таким образом, дюрация для сосредоточенного платежа равна сроку его выплаты. Для нашего случая

D = 2 года. Изгиб рассчитывается по формуле

C = J_ n •(n +1)N = n •(n +1) = _2;3_ =

(1 + г0 )'+2     2 (1 + г0 )2    2 •Ц2     ' '

Истинное изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования на величину Дг определяется соотношением

NN

ДА = A (г)- A0    (1 + г0 +Дг )n   (1 + г0 )n

А0 =     А0     = N

 

0

1 +г0

1 +г0+Дг

n

(1 + г0 )П

Подпись: r = r0 ±Дг = 10\% ± 2\%Для условий примера значения в полученную формулу, найдем:

Подставив эти

 

A0

AA   (    1 + 0,1

I 1 + 0,1 + 0,02

1 = -0,0354,   или  - 3,54\%;

 

А0

ДА   (    1 + 0,1

I 1 + 0,1 - 0,02

1 = -0,03738,   или 3,738\%.

Изменение цены облигации при учете дюрации и изгиба определяется по формуле

1,1 -0,02 1,1

А

ДА = -2

А0

ДА =-2°02 + 2,48• 0,022 =-0,03537,   или  -3,537\%;

 

+ 2,48 -(-0,02)2 = 0,03736,   или 3,736\%.

Изменение цены облигации при учете только дюрации определяется по формуле

ДА       (±0,02)

          = -2-^—'- = +0,03636,   или  + 3,636\%.

А0 1,1

Результаты расчета сведены в табл. 11.1.

 

Таблица 11.1

Дг,

\%

Истинное изменение цены, \%

Изменение

цены при учете дюрации и изгиба, \%

Ошибка расчета изменения

цены при учете дюрации и изгиба, \%

Изменение

цены при учете

только дюрации, \%

Ошибка расчета изменения

цены при учете

только дюрации, \%

+0,02

-3,54

-3,538

-0,002

-3,636

0,096

-0,02

3,738

3,736

0,002

3,636

0,102

Из табл. 11.1 следует, что учет изгиба снижает ошибку расчета. Л

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |