Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

12.1. характеристики портфеля ценных бумаг

Если инвестор покупает ценные бумаги хотя бы двух видов, например акции РАО ЕЭС и акции Ростелекома, то говорят о портфеле ценных бумаг [1—3].

Предположим, что портфель составлен из и-го числа различных видов ценных бумаг. Доходности каждой ценной бумаги являются случайными величинами. Пусть Х}. — доля общего вложения, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг, подчиняющаяся соотношению

1>, = 1. (12.1)

Ожидаемая доходность        j-й ценной бумаги, входящей в

портфель, является математическим ожиданием доходности этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность портфеля, являющаяся математическим ожиданием от суммарной доходности входящих в портфель ценных бумаг, вычисляется по формуле ap = Е xjaj■ (I2-2)

j=1

В качестве меры риска портфеля ценных бумаг считают среднее квадратичное отклонение его доходности, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии. Дисперсия доходности портфеля определяется соотношением

nn

о = ЕЕ xixj сту, (12.3)

і=1 j=1

где aij- — ковариация случайных доходностей і-йи j-й ценных бумаг, вычисляемая по формуле

 

где E — оператор математического ожидания; Ai, Л,- — случайные доходности і-йи j-й ценныгх бумаг соответственно.

Предположим, что эффективности различных ценных бумаг не коррелированны, т.е.     = 0 при і ф j . Тогда (12.4) принимает вид:

-e{(aj ~ ajf} = 0y (12.5)

Таким образом, если Oj = 0 при і ф j , то ковариация j-й ценной

бумаги равна ее дисперсии. В этом случае формула для дисперсии доходности портфеля ценных бумаг (12.3) приобретает вид:

 

о p = Е x2 о2. (12.6)

j=1

Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. xj = /n , то формулы (12.2) и (12.6) можно записать в виде:

 

ap = - £a;; (12.7)

n j=1

оp = -JЕЕ о2 ■ (12.8)

n j=1

Рассмотрим возможность уменьшения риска снижения доходности за счет диверсификации (разнообразия) портфеля. Если в правую часть (12.8) вместо всех а2 подставить максимальное значение дисперсии а2пах из всего набора дисперсий а2, то получим неравенство

 

Правая часть этого соотношения равна:

1 lV 2      1 Г—Г-

-J2.a max =- І"а max

 

Окончательно получим

аp <amax. (12.9)

 

Из выражения (12.9) следует, что при росте числа видов ценных бумаг n , доходности которых не коррелированны, риск портфеля уменьшается и стремится к нулю при n -—оо. Этот результат называется эффектом диверсификации портфеля.

Для анализа корреляции на величину риска портфеля ценных бумаг в формуле для дисперсии доходности (12.3) выразим ковариа-цию случайных доходностей Ai и Aj через коэффициент корреляции:

 

-^L-. (12.10)

 

Тогда (12.3) можно представить в виде:

аp =£ I Ы)(ajXj)ру.. (12.11)

і=1 j=1

Рассмотрим случай полной прямой корреляции р j = 1 и случай полной обратной корреляции Pj =-1. При Pj = 1 имеем:

 

n

 

n

 

=

 

Кj =1 J

 

Kj=1 J

=1j=1

так как при суммировании по любой переменной получим один и тот же результат.

Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. Xj = 1/ n , то

(   n    2       , n

1

j

=1

n

j=1

Если в правую часть последнего соотношения вместо всех a j

подставить максимальное и минимальное значения стандартного отклонения из всего набора этих отклонений, то получим неравенство

a    <a <a

mm —    p — max

Отсюда следует, что среднее квадратичное отклонение портфеля при полной прямой корреляции доходностей всех ценных бумаг будет иметь тот же порядок, что и стандартное отклонение отдельных ценных бумаг, т.е. диверсификация не дает положительного эффекта.

При полной обратной корреляции, т.е. при pj =-1, рассмотрим случай двух ценных бумаг. Для i = j выражение для коэффициента корреляции, определяемого формулой (12.10), принимает вид:

2

a a       a, Pjj = — = — = 1.

ajaj ajaj

Подставив это в (12.11) и учитывая, что n = 2, получим:

 

a P = EE (a,X, ) (a jXj ) p,j = a X1 + a2x2 - 2a1x1a2 x2 = (a1X1 - a2 X2 ) •

i=1 j=1

Из этого выражения следует, что при полной обратной корреляции дисперсия доходности портфеля может быть равна нулю, т.е. риск отсутствует. Это имеет место при выполнении соотношения

a1X1 =a2 X2.

Состав такого портфеля можно определить, решив систему из полученного уравнения и уравнения для долей портфеля (12.1), т.е.

X1 + X2 = I,

X1    2 X2 = 0.

a1

 

Решения этой системы имеют вид:

а2і СТ1

 

1

1. Определить характеристики портфеля, состоящего из четырех типов ценных бумаг при равномерном вложении и при отсутствии корреляции доходностей между бумагами. Решение. Для определения ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля воспользуемся формулами (12.7) и (12.8):

ap = - ^Ta. = - (12 +10 + 8 + б) = 9;

п1 =1 4

ap = -A TTa2, = ij2,52 +12 + 0,42 + 0,42 = 0,688 .

p        1 4

2. То же, что и в пункте 1 для второго, третьего и четвертого

типов ценных бумаг.

Решение.

ap =1 (10 + 8 + 6) = 8; ap = ^12 + 0,42 + 0,42 = 0,383 .

p   3у  '         p 3V

То же, что и в пункте 1 для второго и третьего типов ценных бумаг. Решение. ap =1 (10 + 8) = 9; a p = ^12 + 0,42 = 0,534.

То же, что и в пункте 1 при полной прямой корреляции.

Р е ш е н и е. Ожидаемая доходность та же, что и в пункте 1. Стандартное отклонение определяется по формуле

a  = - TP a 1 =1 (2,5 +1 + 0,4 + 0,4) = 1,075.

n j=i 4

5.       Определить долю ценных бумаг портфеля, состоящего из

первого и второго типов, при их полной обратной корреляции.

Решение. Доля ценных бумаг портфеля, состоящего из двух типов этих бумаг, при их полной обратной корреляции находится по формулам

x _   a2/CTl   _   1/2,5   _ 0,286.

1   1 + а2/а1    1 + 1/2,5

x2 _    l—— _ 1        _ 0,714 . 4

2   1 + сг2/a1    1 + 1/2,5

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |