Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

12.2. портфель из двух типов ценных бумаг

Для каждого портфеля можно построить на графике ожидаемой доходности от стандартного отклонения точку, рассчитанную по формулам (12.1)—(12.3). Рассмотрим частный случай двух видов ценных бумаг. Пусть доля портфеля бумаг первого типа равна x, а бумаг второго типа равна 1 - x. Введем следующие обозначения для математического ожидания доходностей бумаг первого и второго типов, их дисперсий и ковариации я1; a2; a2; a2; a12 соответственно. Тогда (12.2) и (12.3) можно записать в виде:

ap _ xa1 +(1 - x) a2, І

2        22    /        2    2    /                Г (12.12)

ap _ x a1 +(1 -x) a2 + 2x(1 -x)a12.l

Система уравнений является функцией одной переменной ap (ap) , заданной в параметрической форме. Параметром здесь

является доля ценных бумаг x первого вида. Несколько графиков таких функций представлено на рис. 12.1. Некоторые из этих графиков имеют две ветви: верхнюю и нижнюю.

Найдем точку, в которой производная функции ap (ap) стремится

к бесконечности. Поскольку функция (12.12) задана параметрически, т.е. ap (x) и a (x), то ее производную можно представить в виде:

dap    dapjdx         2 •( a1 - a2 )a p

d a p    d a p/dx   2xa2 + 2 (1 - x)2 a2 + 2 (1 - x - x)a12

Искомая точка находится из уравнения

x0a2 +(1 - x0 )2 a2 +(1 - 2x0 )a12 _ 0.

Решая это уравнение относительно x0 , получим

a 2

xo =   2     2   І    • (12.13)

12

 

> Пример 12.2. Даны два типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 12.2.

Построить графики функции ap (a p ).

Решение. Рассмотрим пример 1. Определим точку экстремума по формуле

0   a2 +a2 -2a12    0,45 + 0,9 Составим таблицу (табл. 12.3).

График функции ap (ap) можно построить в Excel. Выделим

строку доходности и, нажав на кнопку «Диаграмма», откроем окно «Тип диаграммы». Выберем тип диаграммы «Точечная» и «Вид» такой, какой вас больше устраивает. Нажать на кнопку «Далее». В появившемся диалоговом окне раскрыть вкладку «Ряд». Поставить курсор в поле «Значения X». Выделить строку рисков. Затем «Далее»      «Далее» «Готово».

График, построенный по данным этой таблицы, представлен на рис. 12.1 ромбами. Эта кривая имеет вид «пули». a p = 0,548 — минимальное из всех возможных средних квадратичных отклонений, т.е. риск минимальный для структуры портфеля с долей бумаг первого типа x = 0,667 и с долей бумаг второго типа 1 - x = 0,333 .

При этом ожидаемая доходность равна ap = 9,664\% . Для примера 2 можно записать:

ap = xa1 +(l - x) a2,

a P =(1 - x )a 2-

изводная постоянная, то исследуемая функция является отрезком прямой линии. Для x = 1 имеем ap = a1 и ap = 0 . Если

заданы точка, лежащая на прямой, и угловой коэффициент, то прямая определена. Ее уравнение имеет вид:

1

 

Подставив сюда исходные данные примера, получим искомую функцию

an = 0,07 + 0,15 - 0,07 a p = 0,07 + 0,08433a p.

0,9

Отрезок прямой легко построить по двум точкам. Одна точка определена. Ее координаты (0; 0,07). Координаты второй точки находятся при x = 0 . В этом случае ap = a2, ap = a2 . Тогда координаты второй точки (0,15; 0,949). На рис. 12.1 искомая функция представлена в виде левого отрезка прямой линии. Здесь же представлены графики других примеров. Стрелка показывает направление возрастания ковариации ценных бумаг первого и второго типов.

Для примера 6 из условия р12 = 1 следует a12 = a1a2 . Тогда можно записать

jap = xa1 +(1 - x) a2, |a p = x (a1 -a2 ) + a 2.

 

Найдем производную —— = —    —. Так как эта производная

d a p      a1 -a 2

не зависит от стандартного отклонения портфеля, то искомая функция является отрезком прямой линии, соединяющим точки, координаты которых находятся из условий:

x = 1   -—   ap = a1;   a =a1;

x = 0   -—   ap = a2;   a  =a 2.

Для условий примера первая точка имеет координаты (0,671; 0,07), а вторая — координаты (0,949; 0,15). На рис. 12.1 искомая функция изображена в виде правого отрезка прямой. Л

 

Как следует из приведенных примеров, вид функции ap (a p)

существенным образом зависит от ковариации двух доходностей ценных бумаг. При увеличении ковариации растет риск (стандартное отклонение) при той же доходности.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |