Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

12.3. оптимальный портфель

Ожидаемая доходность портфеля (12.2) и его дисперсия (12.3) зависят от структуры портфеля, т.е. от типов ценных бумаг и их доли от общего вложения. Можно построить оптимальный портфель, минимизирующий риск при определенных условиях. Можно, например, минимизировать дисперсию (12.3) при фиксированном уровне доходности (12.2) и при нормировании весовых коэффициентов (12.1). Такое решение минимизации риска впервые рассмотрено Маркови-цем [1—3]. Математическая формулировка задачи имеет вид:

nn

о p =EExixj°ij     > min

і=1 j=1

(12.14)

при

E xjaj - ap = 0

j=1

(12.15)

E xj-1 = 0.

j=1

Оптимальное решение ищется с помощью метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа для условий (12.15) имеет вид:

nn      (   n    Л       Г   n Л

і=1 j=1

vj=

L = EExrxj°°rj +X Exjaj-ap l + w Exj-1

J     vj=

(12.16)

Оптимальный портфель находится из решения относительно

xj, X и w системы линейных уравнений:

(12.17)

-0.

dL    dL dL

dxj    dX dx

Для трех видов ценных бумаг функция Лагранжа приобретает вид:

+X (x1a1

1).

L — x1 о"11 + x2 о2 2 +     ^^33 + 2x1x2CT12 + 2x1x3CT13 + 2x2x3(^3 2 3 +

x1+ x2+ x3

Отсюда находим систему линейных уравнений (12.17) при усло-

2x1о11 + 2x2p12 + 2x3о13 + a{X +   w   = 0,

2x^21 + 2x2о22 + 2x3о23 + a2X + w 2x1о31 + 2x2о32 + 2x3о33 + a3X + w

 

dL

dx1 dL

(12.18)

= x1a1

+

x2a2

+

x3a3

+

= x1

+

x2

+

x3

+

 

dL dx3 dL_ dX

 

di

Эта система из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными может быть решена, например, матричным методом.

12.4. Определение состава оптимального портфеля

Иначе в общем виде систему из пяти линейных уравнений можно представить как

 

(12.19)

Введем обозначения. Обозначим матрицу риск-доходность через

а вектор правой части

X

_^

уравнения В --

0 " 0

 

0

ap 1

Тогда уравнение (12.19) можно записать в виде:

AX = B.

Решая это уравнение, получим формулу для определения неизвестных долей каждого типа рисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле:

X = A~1B, (12.20) где A~l — обратная матрица по отношению к матрице .

 

В матричной форме можно представить также в общем виде формулы (12.1)—(12.3). При этом характеристики рисковых ценных бумаг задаются матрицей ковариаций а, матрицей-столбцом ожидаемых доходностей a , матрицей-столбцом неизвестных долей x и единичной матрицей-столбцом I. Эти матрицы имеют вид:

a11   a12   a1 j СТ1,

аг   a І2    СТу    СТ i

(12.21)

 

 

где агу — ковариации случайных доходностей г-й и у-й рисковых цен-

ных бумаг, a ^ .

 

a1

 

x1

 

' 1'

 

a2

 

 

 

1

a = [aJ ] =

aj

; X = [ xj ] =

xj

; 1=M =

1

 

 

 

 

 

1

 

 

(12.22)

С учетом введенных обозначений формулы (12.1)—(12.3) принимают вид:

a2p = X a ■ х;   ap = a'x;   і X = 1, (12.23)

где х', a', і' — транспонированные матрицы, в которых строки и столбцы поменялись местами.

Например, транспонированной по отношению к матрице является матрица .

 

12.5. Определение состава

оптимального портфеля в Excel

> Пример 12.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 12.4. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированны.

Определить зависимость состава оптимального портфеля от его ожидаемой доходности и построить график функции ap (a p)

при оптимальном составе портфеля.

Р е ш е н и е. Построим матрицу риск-доходность:

0,5 0 0 0,05 1" 0 1 0 0,1 1 0    0   1,6 0,15 1

0,05 0,1 0,15 0 0

1110 0

Вычислим обратную матрицу, используя Excel. Алгоритм ві числения обратной матрицы имеет следующий вид.

Выделить поле для записи обратной матрицы.

Нажать на кнопку « fx ».

В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».

Выделить преобразуемую матрицу.

ОК.

F2      одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

В результате получим матрицу, обратную матрице А:

 

 

А-1

0,1639 -0,3279 0,1639 -0,3279   0,6557 -0,3279

0,1639 -0,3279 0,1639

11,8033   3,6066 8,1967 1,5082 -0,0164 -0,4918

-11,8033 1,5082

3,6066 -0,0164 8,1967 -0, 4918

-190,164 15,4098

15, 4098 -1,5246

Для нахождения столбца состава портфеля нужно перемножить две матрицы:

 

X

0,1639 -0,3279 0,1639 -0,3279   0,0100 -0,3279

0,1639 -0,3279 0,1639

11,8033   3,6066 -0,4918 1,5082   8,1967 -0,0164

Алгоритм вычисления произведения матриц имеет следующий вид.

Выделить поле для записи произведения матриц.

Нажать на кнопку « fx ».

В категориях «Математические» выбрать функцию «МУМНОЖ».

Выделить первую матрицу.

Выделить вторую матрицу.

ОК.

F2 — одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

Для того чтобы компьютер вычислил произведение двух матриц, надо ар задать в виде числа. Однако более целесообразно получить зависимость состава оптимального портфеля как функцию от доходности ар . Для этих целей произведение двух матриц

можно представить как сумму двух произведений матриц:

 

0,1639

-0,3279

0,1639

-

11,8033 1,5082

 

0

 

-0,3279

0,0100

-0,3279

 

3,6066 -0,0164

 

0

 

0,1639

-0,3279

0,1639

 

8,1967 -0,4918

 

0

 

-11,8033

3,6066

-0,4918

-137,7049 15, 4098

 

1

 

1,5082

8,1967

-0,0164

15,4098 -1,5246

 

0

 

" 0,1639

-0,3279

0,1639

-

11,8033 1,5082

 

г0

 

-0,3279

0,0100

-0,3279

 

3,6066 -0,0164

 

0

 

0,1639

-0,3279

0,1639

 

8,1967 -0,4918

 

0

=

-11,8033

3,6066

-0,4918

-137,7049 15,4098

 

0

 

1,5082

8,1967

-0,0164

15,4098 -1,5246

 

1

 

-11,8033 "

 

г

1,5082"

 

" -11,8033ap + 1,5082 "

3,6066

 

 

-0,0164

 

3,6066ap - 0,0164

8,1967

ар +

 

-0,4918

 

8,1967ap - 0,4918

-137,7049

 

 

15,4098

 

-137,7049a p +15,4098

15,4098

 

-

-1,5243

 

15,4098ap -

1,5243

Доли ценных бумаг первого (х1) , второго (х2 ) и третьего (х3)

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля. Используя нормировку (12.1), можно провести проверку полученного результата. При этом сумма полученных зависимостей состава портфеля должна быть равна единице:

х1 + х2 + х3 = -11,8033ap +1,5082 + + 3,6066ap - 0,0164 + 8,1967ap - 0,4918 = 1.

Для построения графика ap (ap j  для заданных доходностей

проводят расчет состава портфеля и риска. Например, для ap = 0,1 состав портфеля определяется соотношениями

х1 = 0,32787;   х2 = 0,34426;   х3 = 0,32787. Дисперсию портфеля находим по формуле

ap = х2а2 +       + х32а2 = 0,327872 • 0,25 + 0,344262 • 0,5 + + 0,327872 • 0,8 = 0,17213.

Стандартное отклонение a p = 0,415 . Результаты расчета представлены в табл. 12.5.

 

Построение  графика функции   ap (ap j в  Excel приведено в

примере 12.2. График функции ap (ap j представлен на рис. 12.2.

0,14

0,12 £ 0,10 I 0,08 I 0,06 tt 0,04

0,02

 

00,20,40,60,8

Стандартное отклонение

Рис. 12.2. Доходность-риск оптимального портфеля Л

При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля ap по сравнению с граничными значениями,

представленными в табл. 12.5, доли общего вложения Xj становятся отрицательными.

Из графика функции ap (a p j   примера следует, что возможно

существование экстремальной точки, в которой стандартное отклонение (дисперсия) портфеля имеет минимальное значение. Эту задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа:

nn

ap =TTX1Xjaj min

i=1 j=1

при

I Х] -1 = 0.

j=1

Целевая функция Лагранжа для этого условия имеет вид:

пп      ( п ^

L = IIX,XjСТу + Н-   IXj - 1 .

'=1 j=1 Vj=1 )

Координаты экстремальной точки Xj находятся из системы линейных уравнений

dL dL

0.

 

Систему этих линейных уравнений можно решить матричным методом. Ее решение имеет вид:

2аїї 2оп

2а21  2а 22

 

2ап1 2ап2

2а11   2а12  ... 2а1п   1 1

2а 21  2а 22

2а2п 1

Если матрицу риска обозначить через а =

2ап1 2ап2

1

2апп 1

10

Г X,

вектор состава портфеля через \% :

а вектор правой части че-

 

рез Р :

, то систему уравнений можно записать в виде

 

 

а -х = Р.

Найдем решение этого уравнения:

Х = а-1 ■р, (12.24)

 

где а-1 — матрица, обратная матрице а .

 

> Пример 12.4. Условия примера 12.3.

Определить состав оптимального портфеля для минимально возможной дисперсии в матричной форме. Решение. Составим матрицу риска

"0,5 0 0  1" = 0101 а=   0 0 1,6 1 . 1110

Найдем матрицу а-1 , обратную матрице риска а. Алгоритм вычисления обратной матрицы имеет следующий вид.

Выделить поле для записи обратной матрицы.

Нажать на кнопку « fx ».

В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».

Выделить преобразуемую матрицу.

ОК.

F2      одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

В результате получим матрицу, обратную матрице а :

" 0,897 -0,552 -0,345 0,552" _1 = -0,552   0,724 -0,172 0,276 а= -0,345 -0,172   0,517   0,172 . 0,552   0,276   0,172 -0,276

Находим матрицу-столбец состава портфеля:

"0,897 -0,552 -0,345 0,552""0""0,552"

= -0,552   0,724 -0,172   0,276    0 = 0,276 Х= -0,345 -0,172   0,517   0,172 ' 0 =    0,172 ' 0,552   0,276   0,172 -0,276j [1] [-0,276

Доли ценных бумаг первого (х1) , второго (х2 ) и третьего (х3)

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля. Стандартное отклонение портфеля равно:

V

22  ,     2   2, 22 x1 о1 + x2 о2 + x3 о3 =

 

= УІ0,5522 ■ 0,25 + 0,2762 ■ 0,5 + 0,1722 ■ 0,8 = 0,372.

Ожидаемая доходность такого портфеля

ap = x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0,552 ■ 0,05 + 0,276 ■ 0,1 + 0,172 ■ 0,15 = 0,081.

Таким образом, при доходности портфеля 8,1\% его стандартное отклонение о p = 0,371, а при доходности 9\% имеем о  = 0,382

(см. пример 12.3), т.е. при увеличении доходности в 1,125 раз стандартное отклонение увеличилось в 1,03 раза. Л

Эта экстремальная точка является исходной при анализе доходности и риска портфеля ценных бумаг. После определения этой точки инвестор будет знать ожидаемую доходность при минимально возможном риске. Так как в этой точке доходность растет существенно быстрее, чем стандартное отклонение, то инвестор имеет возможность изменить состав портфеля так, что ожидаемая доходность может заметно увеличиться при незначительном увеличении риска. При этом необходимо иметь в виду, что изменение состава портфеля на заданную величину стандартного отклонения может как увеличить, так и уменьшить ожидаемую доходность.

Метод выбора оптимального состава портфеля можно свести к следующему. Выбрав тип ценных бумаг, инвестор рассчитывает состав портфеля для минимально возможной дисперсии. Затем рассчитывается минимально возможное стандартное отклонение и соответствующая ему ожидаемая доходность. Если инвестор предпочитает повысить ожидаемую доходность, то он для ряда новых до-ходностей определяет стандартное отклонение по приведенной выше методике Марковца и выбирает приемлемый для себя вариант.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |