Имя материала: Макроэкономика

Автор: Г.В. Кузнецов

12.6. оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг

Доходность безрисковой ценной бумаги будем обозначать a0 . Риск

такой бумаги равен нулю, т.е. дисперсия о02 = 0 . При добавлении в

портфель ценных бумаг безрискового актива зависимость доходности портфеля от риска трансформируется в отрезок прямой линии. Ее график представлен на рис. 12.3. Кривая линия на графике характеризует зависимость доходности от риска портфеля, составлен-

Подпись: ного только из рисковых ценных бумаг. Из графиков видно, что прямая линия касается кривой в точке K .
Если инвестор захочет сформировать портфель из трех видов ценных бумаг, то инвестиционный менеджер предложит ему зависимость, представленную в виде графика прямой, по которой он выберет точку с приемлемыми для него доходностью и стандартным отклонением.

 

12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг

Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых ценных бумаг и n типов рисковых ценных бумаг, используется следующий алгоритм.

Определяют состав оптимального портфеля из n типов рисковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой ap (а )

(точка D на рис. 12.3) по формуле \% = а-1 ■р .

Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке по формулам (12.2) и (12.3) или по формулам (12.23).

и находят для этой матрицы обратную матрицу

Задаются рядом значений доходности портфеля, состоящего из n типов рисковых бумаг, больших и меньших, чем доходность в экстремальной точке. Для каждой из доходностей определяют состав оптимального портфеля по формуле (12.20), а затем дисперсию — по формуле (12.23).

По полученным результатам строят график ap (a p) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.

Определяют координаты точки касания. Для этих целей составляют матрицу риск-доходность

^00 a10 л01

*0n

*0,n+1 a1,n+1

A0,n+2 a1,n+2

A'1

a

n0

n1

an

a

n,n+1

n,n+2

Подпись: a
an

n+1,nan+1,n+1 an+1,n+2

an

n+1,0 n+1,1 an

an+2,0 an+ 2,1  ... an+2,n an+2,n+1  an+ 2,n+2

Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением

 

Отсюда находим формулу для определения доходности ap точке касания. В общем случае

х0 = a0,n+1 ' ap + a0,n+2-

Так как в точке касания х0 = 0 , то ap = —0,n+2 .

a0,n+1

в

6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле

 

0 "

 

«00

«01

- a0n

a0,n+1

a0,n+2

 

" 0 "

Х1

 

аю

a11

- a1n

a1,n+1

a1,n+2

 

0

Xn

 

an0

an1

- ann

an,n+1

an,n+2

 

0

X

 

an+,00

an+1,1

■■■ an+1,n

an+1, n+1

an+1,n+2

 

ap

 

 

°n+ 2,0

an+2,1

■ ^^ an+2,n

an+2,n+1

an+2,n+2

 

1

7. Определяют дисперсию в точке касания по формулам (12.3) или (12.24).

8. На оси

a

откладывают точку, координата которой равна до-

ходности безрисковой ценной бумаги a0.

9.       Через эту точку проводят прямую, касательную к функции ap (a )

для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. 12.3). Отрезок, соединяющий точку на оси ap и точку касания K,

является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.

определяют состав портфеля инвестора.

10.     Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску мо-

жет указать точку на отрезке прямой доходность-риск или задать

только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к

риску. По формуле

Доходности ценных бумаг не коррелированны. Определить функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им стан-

дартного отклонения портфеля a p

--0,3.

Решение. 1—4. Следует обратить внимание на то, что в состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был определен, и была построена функция ар =a(арj

и найдем для этой матрицы обратную матрицу:

(см. рис. 12.2). Данные представлены также в табл. 12.5. 5. Для определения координаты точки касания составим матрицу риск-доходность:

 

 

А'1

1,677668       -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913

-1,73817       1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176

-0,21452       -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528

0,275028       -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605

-13,0913       1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088

1,523652       -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352

1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081

Доходность в точке касания равна

= 0,1164.

a = _ а0,п+2 = _ 1,523652 °p      а0п+1 _13,0913

6. Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания:

1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,07041

А_1   I -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 -0,21122

А = 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -0,24202 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081

" 0"

 

" -0,00018"

0

 

0,134477

0

 

0,403432

0

 

0,462266

0,1164

 

-6,72387

1

 

0,268955

Таким образом, состав портфеля в точке касания:

х.

= 0,134;   x2 = 0,403;   x3 = 0,463.

Найдем дисперсию в точке касания по формуле (12.3):

- Р = ЕЕ хгхрц = 0,1342 • 0,25 + 0,4032 • 0,5 +

i=1 j=1

+ 0,4632 • 0,8 = 0,25683; -р = 0,51.

По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива (рис. 12.4).

о о к

X

о

0,12 0,1 0,08 0,06 0,04

0,02

0        0,1        0,2        0,3        0,4 0,5

Стандартное отклонение

0,6

Рис. 12.4. Графики доходность-риск

9.       Проводим через эту точку прямую, касательную к функции

доходности от стандартного отклонения рискового портфеля.

Точка касания имеет координаты а pk = 0,51;   apk = 0,116.

10.     Риск портфеля, выбранный инвестором, составляет

а ри = 0,3. Связь доходности, желаемой инвестором, с желае-

мым риском определяется соотношением

,,и = (арл ~ a0+ a0 = (0,116 - 0,04)-°- + 0,04 = 0,085.

а р,к 0,51

 

 

 

X

1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652

-1,73817 -0,21452 0,275028

1,964796 -0,10561 -0,12101 -0,10561 0,683168 -0,36304 -0,12101 -0,36304 0,209021 1,760176 5,280528 6,050605 -0,07041 -0,21122 -0,24202

-13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081

 

Г 0"

 

" 0,410891"

0

 

0,079208

0

 

0,237624

0

 

0,272277

0,085

 

-3,9604

1

 

0,158416

Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле составит:

x0 = 0,411;

0,079;

v2

= 0,238;

0,272.

Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный 0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой равен 0,5. С другой стороны, доходность портфеля, равная 8,5\% годовых, больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой равна 5\% годовых. Л

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 |