Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.12. наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств

Рассмотрим функцию /(Af) и ограниченное множество V= {Af є R" 1O.(Af) = 0,/ = l, 2, ...,k; Ф{(М)<0,1 = к+1,...,!}.

Предположим, что функции Ф.(М), i= 1, 2,k,k + l,/, дифференцируемы в любой точке Af є R", а функция /(Af) дифференцируема на множестве V.

Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции /(Af) на множестве ^необходимо:

выявить все особые точки множества V;

найти все условно стационарные точки функции /(Af) на множестве V;

в каждой из найденных точек вычислить значения функции /(Af) и выбрать среди них две точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

О Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

/(Af) = (x-2)2 + (y-3)2

на множестве Q = {Af(x, у) Ф(М) = х2 + у2 - 52 < 0}. Особых точек у множества Q нет. Поэтому найдем условно стационарные точки /(Af) на множестве Q. Для этого составим систему

grad / = X grad Ф, « ХФ(М) = О,

х2 + у2 - 52 < О,

откуда получим

171

'2(х - 2) = Ц2х), 2(у-3) = Ц2у),

' Цх2 + у2- 52) = О,

х2 + у2 - 52 < О.

Решив эту систему, найдем точки Mj(2; 3), М2(4; 6), М3(-А; -6). Так как /(Afj) = О, f(M2) = 13, /(Af3) = 117, то наименьшее значение /(Л/) равно 0 и достигается в точке Мх(2; 3), а наибольшее значение равно 117 и достигается в точке М3(-4; -6). •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |