Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.4. методы интегрирования

Метод разложения. Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.

О Примеры.

1. J(x + 4x)2dx - J(x2 + 2х4х + x)dx -

З        5/2 2

= fx2dx + 2[x3/2dx + xdx = — + 2x— + — + C =

J        J        J        3      5/2 2

x3   4 2 г   x2 ^

3    5 2

_ г     dx       г sin2 x + cos2 x j

2- J —2        2~ = J —2   =

J sin xcos x   J sin xcos x

г dx     г dx _

-        y- + —j- - tgx - ctgx + C. •

J cos x   J sin x

Метод замены переменной. Вводят новую переменную с помощью соотношения х = ф(0 и данный интеграл преобразуют следующим образом:

jf(x)dx = jf(q>(tW(t)dt, где ф(0 — дифференцируемая функция. О Примеры.

1. Вычислить Jsin5xdx. Делаем замену переменной: х = t/5, dx = d//5. Далее имеем

f sin5xdx = - f smtdt = --cost + С = --cos5x + С.

J        5J      5 5

175

2. Вычислить JxVx - 2dx.

Обозначим y/x-2 = t. Тогда х - 2 = t2, х = t2 + 2, dx = 2tdt. Далее имеем

JxVx - 2dx = j(t2 + 2)t ■ 2tdt = 2[jt4dt + 2Jt2dt] =

= ^!+4i!+c = 2(x_2)5/2 + 4    )3/2+c.

5     3 5V      '      3V '

Метод интегрирования по частям. Интегрирование осуществляют с помощью формулы

judv = uv- jvdu,

где и, v — дифференцируемые функции.

Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивают на две части, одну из которых принимают за и, а другую — за dv так, чтобы интеграл jvdu вычислялся проще, чем исходный.

О Пример. Вычислить J xinxdx.

1        г х2

Обозначим и - lnx,   dv - xdx. Тогда du - —dx,   v - xdx - —.

x        J 2

Далее имеем

Г і    j     x2,       1 rx2dx   x2.       1 2 ^

xinxdx = —lnx —    = —lnx —x + C. •

J        2        2J   x      2 4

Интегрирование правильных рациональных дробей. Начинают

й - fix)

интегрирование правильных рациональных дробей        с их

Ф(х)

разложения на простейшие рациональные дроби    ,

(х - а)"

Ах + В         ,^-1 2

где п = 1,2, 3, ... — натуральные числа; хг +рх + q

(х2 + рх + q)n

не разлагается на действительные множители, т.е. имеет только комплексно-сопряженные корни.

Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:

          dx - Л In їх - а + С,

J х - а

 

176

—^— <bc =         т + С,

dx - —In х + рх + q +

arctg

+ С.

х + рх + q Дроби вида

J (х - а)"       (1 - и)(х - а)"-1

Ах + В

2В-Ар

2х + р

2

Ах + В

V4fl - Р2      V4fl - Р2 интегрируют с помощью формулы

(х + рх + q)n понижения степени:

В-

Ар

х +

„2 Л

Ах + В

-dx -

(х + рх + q)"

 

2(л-1)

„2>

 

(х2 + /?х + о)" 1

■ +

 

Подпись: АрПодпись: .л-1'В-

 

2(л -1)

 

і

(2л - 3)

dx

/72 V (х2 + ^х + ff)

9-

 

Разложение рациональных оробей на простейшие основано на том, что любой многочлен ф(х) = а0х" + а^х"'1 +... + ап может быть записан в виде произведения

Ф(х) = й0(х-х1)(х-х2) ... (х-хи), (7.1)

где Xj, х2,    хп — корни уравнения ф(х) = 0.

Эти корни могут быть действительными и комплексными, значения корней в разложении (7.1) могут повторяться (кратные корни). Вместе с комплексным корнем Xj = а. + /р в выражении (7.1) имеется комплексно-сопряженный корень Xj - Oij - /р.. Произведение линейных множителей (х - х.)(х - Xj), содержащих комплексно-сопряженные корни, может быть записано в виде х2 + рх + q. Многочлен (7.1) в этом случае принимает следующий вид:

ф(х) = а0(х- х^"*(х - х2Г2 • • .(х - xk)mk х

х (х2 + р,х + q{fk+l ■ ■ .(х2 + fix + ql)mk+l, (7.2)

где Xj, х2, xk — действительные числа; т. — кратности простых и комплексно-сопряженных корней (J = 1, 2,к +1).

Правильную рациональную дробь со знаменателем, имеющим вид (7.2), записывают как сумму простейших рациональных дробей:

177

fix)

/(*)

(p(x)    fl0(x - xtr • -(x2 + #x + q,)mk+l

+ ...+

■ + ...

(x - XjP     (x - Xj)

X Xj

■gtx + q

...       M                 , (7.3)

(X   + ^X + ?j)       X   + P;x + 9,

Приводя правую часть выражения (7.3) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х полученного выражения и исходной дроби, находят значения

AVA2> -' Втк+1'Стк+Г

2х2 - x + 1

О Пример. Вычислить [ .

J(x-l)(x2-2x + 3)

dx.

Имеем:

Подпись: 2х - х +1
Подпись: А       Вх + С
+ ■
Подпись: А = В = , С = 2; dx    г   х + 2

■3)

(х - 1)(х2 - 2х + 3)   х -1   х2 - 2х + 3

 

dx

= ln|x-l| + j

 

■2х + 3

 

1

dx = lnlx -1| + -In x2 - 2x + 3 +

x-1

(1/2)(2х-2) + 3 х2 - 2х + 3

- lnlx -1| + -1п|х2 - 2х + ЗІ + ^=arctg^-j=i + С. •

Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида Jcosmxsin,,xdx, где т, п — натуральные числа, вычисляют в зависимости от четности степеней тип следующим образом.

 

178

нечетные, то используют замену пере-

Если т или п менной:

t = sinx при т нечетном; t = cosx при п нечетном.

Если тип— четные, то используют формулы понижения степени:

. 2     l-cos2x       2     l + cos2x     . sin2x

sm x =         ; cos x          ; sinx cosx    .

О Примеры.

1. Jcosxsin2xdx =

t = sinx dt = cosxdx

п., t „ sm3x _

= dt = — + C =  + C.

2. Jcos2xsin2xdx = J(cosxsinx)2dx =

+ C.<

x - -sin4x 4

rsin22x,     1г1-со84х,     1 ^

=       dx = -          dx =

J    4  4J 2

Интегралы вида |д(sinx, cosx)dx, где i?(sinx, cosx) — рациональная функция от sinx, cosx, приводят к интегралам от рациональных

X

dx =

sinx =

cosx =

2 '

2 -

2 '

l + t

l+t

функций переменной t с помощью подстановки t = tg—. Тогда:

2dt     .        It l-t2

l+t

О Пример.

jjx_ =r2d^) = rd/= ь Jsinf   ](l + t2)-2t   J t "

+ C.«

 

О Пример.

jWl- х2 dx = х = sin/, dx = costdt = jsmtcos2tdt =

і         і     г 2j      "3   ^     cos3? _

= cos? = u,   -sintdt = du = - u du =  + С = -С =

1        [     J  3 3

= ^E^ + c = -^)3+c..

з 3

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |