Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.5. определенный интеграл

Интегральной суммой для функции у=fix) на отрезке [а, Ь] на-

и

зывается выражение ^/(Зс,)Дхг, где п — число «элементарных» i=i

отрезков, на которые разбивается отрезок [a, b];xt — произвольная точка внутри отрезка [xt_v х.], длина которого равна Дх. (рис. 7.1).

Определенным интегралом функции у = fix) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:

Ь п

fix)dx=    lim YfiXiYvCj.

J        тахДх,-->0"?Т

а        1   " '=1

Число а называют нижним пределом интегрирования, Ъ — верхним пределом.

Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл

*

J/ix)dx численно равен площади криволинейной трапеции, огра-

а

ничейной графиком функции у - fix) > 0, осью Ох и прямыми х-а, х = 6(рис. 7.2).

7.6. Основные свойства определенного интеграла

Г. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на обратный:

J/(x)cbc = -jf(x)dx.

2°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, имеет место равенство

Ь        с Ь

f{x)dx = f(x)ux + f{x)dx.

а        а с

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

ъ ъ JAf(x)dx = AJf(x)dx.

а а

4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечно-

го числа непрерывных функций равен такой же алгебраической

сумме определенных интегралов от этих функций:

ь        ъ        ъ ъ

/[/(*) +      _ h(x)]dx = j f(x)dx + jg(x)dx - jh(x)dx.

a        a        a a

5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента: ь

jf(x)dx = (b-a)f(c),

а

где с є ]а, Ь[.

6°. Если F(x) — какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница

ъ

jf(x)dx = F(b)-F(a).

 

181

7.7. Вычисление определенных интегралов

Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона — Лейбница, которая может быть записана в виде *

jf(x)dx = F(x)a=F(b)-F(a).

а

Для многих функций очень сложно определить первообразную: не все функции имеют первообразные в виде элементарных функций. Поэтому для вычисления определенных интегралов используют приближенные формулы.

Разбивают отрезок интегрирования [а, Ь] на и равных частей длиной h = (6 - а)/п и используют одну из следующих формул:

формула прямоугольников

ъ

у&х - h(y0 + Уі+ ... +

а

формула трапеций

уйх ~ п(?1±У» +Уі + у2+_+ у

а        ^ '

формула парабол (Симпсона) (и — четное)

 

jydx « -(у0 + 4Уі + 2у2 + 4у3 +... + 2у„_2 + 4уп_, + уп)

а

(чем больше п, тем точнее результат вычисления определенного интеграла).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |