Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.8. геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой У =/(•*)> осью Ох, прямыми х = а, х = Ъ (см. рис. 7.2), находят по формуле

ъ

S = jf(x)dx.

а

182

Объем тела, образованного вращением кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ь при а<х<Ъ, вокруг оси Ох, равен

ь

Vx=njy2dx.

а

Объем тела, образованного вращением кривой х = ц>(у), ограниченной прямымиy = c,y = dпри c<y<d, вокруг оси Оу, равен

d

Vy=njx2dy.

с

Длину дуги плоской кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ъ, определяют по формуле

/ = JVl + (/)2 dx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой У=Лх) > ограниченной прямыми х = а,х = Ь, вокруг оси Ох, равна

^=27ijWl + (/)2dx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой х - ф(у), ограниченной прямыми y = c,y = d, вокруг оси Оу, равна

Sy = 2rcJxVl + (x')2o>.

с

 

7.9. Несобственные интегралы

Пусть функция /(х) определена и непрерывна на промежутке

ъ

[а, +оо[ (рис. 7.3). Рассмотрим интеграл j f(x)dx. Предел

ь а lim f/(x)dx

A—V+oo *

а

называют несобственным интегралом первого рода от функции fix)

+~

на промежутке [а, +«>[ и обозначают J /(x)dx,T.e.

 

/(x)dx = lim [/(x)dx.

a a

183

Если указанный предел конечен, то несобственный интеграл j f(x)dx называют сходящимся; если бесконечен или не суще-

а

ствует, то расходящимся.

Аналогично определяют несобственный интеграл первого рода для промежутка ]-°°, Ь] (рис. 7.4):

ъ ъ

J f(x)dx - lim jf(x)dx.

Ч .У=Лх)

 

Пусть функция f{x) определена и непрерывна на интервале ]-°°, +°°[ и пусть точка с є ]-°°, +°°[. Тогда сумму

С +°°

j f(x)dx+ j f(x)dx (7.4)

называют несобственным интегралом первого рода от функции Дх) на интервале ]-<», +со[ и обозначают j f(x)dx. Этот интеграл

°С +~

называют сходящимся, если оба интеграла J f(x)dx, j /(x)dxcxo-

-oo С

дятся. В этом случае сумма (7.4) не зависит от выбора точки с. О Примеры.

f — = lim f— = lim In    (интеграл расходится).

J   х    X А->+~

f      , = lim f 4, = lim (arctgA - arctga) =

2

ч t-J

л    (интеграл сходится). •

184

Пусть функция Дх) определена и непрерывна при а <х < Ьи не ограничена в любой окрестности точки х = Ъ (рис. 7.5). Предел

6-Е

Urn f f(x)dx

е-»0 J

называют несобственным интегралом второго рода от функции Дх) на промежутке [а, Ь[.

О       а Ъ Рис. 7.5

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл

* Ъ-г

f(x)dx - lim f f(x)dx

J        є->0 J

a a

называют сходящимся; если бесконечен или не существует, то расходящимся.

Аналогично определяют несобственные интегралы от функций,

определенных и непрерывных при а<х<Ь (рис. 7.6):

ь ь

f(x)&x - lim f f(x)dx.

J        є-»о J

a o+e

Пусть функция Дх) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], за исключением точки с є ]а, Ь[, в любой окрестности которой она не ограничена (рис. 7.7). Тогда несобственный интеграл от этой функции определяется как сумма двух несобственных интегралов на промежутках [а, с[ и ]с, Ь.

Ь        с Ь

f(x)dx = f(x)ux + f(x)dx.

а        а с

Этот интеграл сходится, если оба слагаемых сходятся.

 

185

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |