Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.12. дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается следующим образом:

F(x,y,y') = 0.

Разрешенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

/=Я*,у).

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:

у = ф(х,С).

Дифференциальные уравнения вида

^Г = / = ЯхМу) (7.7а) dx

или

f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy = 0 (7.76)

называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Если функция g(y) в уравнении (7.7а) или функции gyiy), f2(x) в уравнении (7.76) не равны нулю на рассматриваемом интервале, то данные уравнения приводятся к виду

dy =/(x)dx,  Шъ + Шйу^.

g(y)    ш аоо

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.

 

194

dx

О Пример. Решить уравнение у' =

х dy

Это уравнение приводится к виду — =          . Интегрируя его

левую и правую части, получаем         У х

Ыу - -lnlxl + ЫС - In

>=c-.»

X

Дифференциальное уравнение вида y' + P(x)y = Q(x),

 

(7.8)

где Р(х), Q(x) — заданные непрерывные функции от х или постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение этого уравнения ищется в виде

y(x) = «(x)v(x), (7.9)

где и(х) и v(x) — непрерывные функции ОТ X.

После дифференцирования выражения (7.9) и подстановки в (7.8) получают выражение

и(х)

dv(x)

+ P(x)v(x)

. ,di/(x) . + v(x)—— = Q(x).

dx

(7.10)

Функция v(x) выбирается из условия dv(x)

+ P(x)v(x) = 0,

dx

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. После определения v(x) и подстановки его в уравнение (7.10) вновь получают уравнение с разделяющимися переменными для определения функции и(х).

Окончательно формула для определения у(х) имеет вид

Подпись: у = (х + 1Уy(x) = e-!PM*[fQ(x)JPMdxdx + C

2

О Пример. Решить уравнение у'

х + 1

(7.11)

Используя формулу (7.11), получаем

Подпись: J(X + 1>

АХ)

дх х+1

-2f—

Зе Jx+1dx + C

 

195

= e^+1)2[j(x + l)3eto<x+1>"2djc + C

= (x +1)2 [J(x + l)dx + C] = (x +1)2

Ґ   2 X ^

— + x + C

V2

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |