Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.13. линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

у(и) + а^х)/"-» +... + ап(х)у = й(х), (7.12)

где а{(х), ап(х), Ь(х) — известные функции от х; у — искомая функция.

Функции а,{х),ап(х) называются коэффициентами дифференциального уравнения (7.12).

Уравнение (7.12), в котором Ь(х) ф 0, называется неоднородным.

Наряду с каждым неоднородным уравнением (7.12) можно рассмотреть соответствующее ему однородное уравнение

у(п) + а^х)/"-^ +... + ап(х)у = 0. (7.13)

Если у, = ф^х), у2 = ф2(х),ук = <рк(х) — решения однородного уравнения (7.13), то любая их линейная комбинация

 

где Cv С2, Ск — постоянные, также является решением этого однородного уравнения.

Система функций называется линейно независимой на интервале ]а, Ъ[, если ни одна из этих функций не может быть выражена в виде линейной комбинации остальных функций.

Фундаментальный набор решений — это набор линейно независимых решений уравнения (7.13), содержащий такое количество функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Теорема. Для того чтобы решения у, = фДх), у2 = Ф2(х), уп = фи(х) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке [а, Ь] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

196

 

Фі(*)

Ф2(х) .

• ф„(*)

Щх) =

ф((х)

Ф2(х) .

• ф;(х)

 

 

фГ^х) .

. ф^х)

был отличен от нуля при любом х из [а, Ь].

Любое решение однородного уравнения можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений

 

i=l

где С. (/= 1, 2,и) — произвольные постоянные.

Выражение (7.14) называется общим решением однородного дифференциального уравнения (7.13).

 

О Пример. Уравнение у" + у = 0 имеет решения

у = sinx, у = 2 sinx, у = cosx.

Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальную систему, а первое и третье — образуют. Следовательно, общее решение данного уравнения можно представить в виде

у = CjSinx + C2cosx, где Cj, С2 — произвольные постоянные. •

Пусть у — некоторое решение неоднородного уравнения (7.12), а у — общее решение однородного уравнения (7.13). Тогда У = У + У — общее решение неоднородного уравнения (7.12).

Зная общее решение неоднородного уравнения (7.12), легко найти любое его частное решение.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |