Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.14. линейные дифференциальные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

у(п) + а/"-^ +... +aj = b(x), (7.15)

где ах,ап — постоянные.

197

Уравнению (7.15) соответствует однородное уравнение

у(п) + а/п-1) + ... + а^ = 0. (7.16)

Уравнению (7.16) можно сопоставить многочлен относительно переменной X

М(Х) = Л" + а^"'1 +... + ап, (7.17)

называемый характеристическим многочленом уравнения (7.16), и соответствующее характеристическое уравнение

Хп + а1Хп-1 + ... + ап = 0. (7.18)

О Пример. Уравнению у" + 2у' - 5у = О соответствует характеристическое уравнение X2 + 2Х - 5 = 0. •

Если Х0 — корень характеристического уравнения (7.18), то у = є*** — решение однородного дифференциального уравнения (7.16).

Характеристический многочлен (7.17) можно представить [см. (7.2)] в виде

М(Х) = (Х-X^iX-Х2)т2--(Х-Xk)mk х

X (X2 +руХ + qxTM ■ • ІХ2 + PlX + q{f^,

где Xx Ф Х2 Ф ... Ф Хк — различные действительные числа; X2 + pjX + q. — квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней. В этом случае фундаментальный набор решений уравнения (7.16) можно построить следующим образом:

каждому действительному корню X. кратности т. (у < к) сопо-

ставляют набор линейно независимых решений е 1' , хе 1 ,

х 1 е 1 ;

для каждой пары комплексно-сопряженных корней X. = осу. ± /р кратности my. (j > к) составляют набор решений:

A. sX  г>      А. }Х  г>      ftt і ~ 1  A. tX о

е 3 cospyx, хе 1 cospyx,     х 1 е ' cospyx;

А :Х    г       А« iX  r       fit і —1   А. іХ    • r\%

е 1 smpyX, хе 1 sinpyX,     х 1 е 1 sinpyx. О Пример. Уравнению

^4) _ 2уз) + 2у" _ 2/ + 1 = 0 (7.19)

соответствует характеристическое уравнение

X*-2ХЪ + 2Х2-2Х+ = 0, или (X- 1)2(Х2 + 1) = 0,

198

которое имеет корни Хх 2 = 1, Х3 4 = ±/. Корню X = 1 кратности 2 соответствуют решения Vj - е*, з^2 - хе*. Корням Х3 4 = ±/ соответствуют решения у3 - cosx, ул - sinx.

Общее решение дифференциального уравнения (7.19) можно записать в виде

у = Cje* + С2хех + C3cosx + C4sinx,

где Ср С2, С3, С4 — произвольные постоянные. •

Для определения общего решения неоднородного уравнения кроме фундаментального набора решений соответствующего однородного уравнения необходимо найти некоторое частное решение неоднородного уравнения. Обычно вид этого частного решения определяется формой правой части неоднородного уравнения.

О Пример. Решить краевую задачу для дифференциального уравнения

у»-5у' + 6у = ех,  № = ,  Уй) = 0.

Однородному уравнению у" - 5у' + 6у = О соответствует характеристическое уравнение X2 - 5Х + 6 = 0, корнями которого являются числа X, = 3, Х0 = 2. Им соответствуют решения у. = е3х,

У2 = е ■

Общее решение однородного уравнения можно представить в виде у = СуъЪх + С^е2*.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

У = Авх,

щ&А — постоянное число. Дифференцируя последнее выражение, находим

у' = Аех, у" = Аех.

Подставляя у, у', у" в исходное уравнение: Аех - 5Аех + 6Аех = ех, находим А -1/2.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

у = у + у = С1е3х +С2е2х +^е*.

Подставим в общее решение граничное условие у(0) = 1/2. Получим С, = -С2. Подставляя в решение второе граничное условие и

199

учитывая, что Сх = -С2, имеем Q = -С2 =     . Искомое реше-

ние принимает вид

1         Зх           1  2х     1   х м

у        е        Є    + —Є . •

2е(1-е)       2е(1-е) 2

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |