Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.15. системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Система п уравнений первого порядка с и неизвестными функциями, разрешенная относительно производных, имеет вид

~т^ = Л(х,УиУ2,-,У„), ах

 

(7.20)

 

^ = fn(x,y1,y2,...,y„),

где х — независимая переменная; yv у2,уп — неизвестные функции.

Решением системы (7.20) называется всякая система функций у - фДх), у2 - ф2(х), уп - фп(х), определенных на конечном или бесконечном интервале изменения аргумента х, имеющих производные первого порядка и обращающих уравнения системы (7.20) в тождества по х.

Задача Коши для системы (7.20) заключается в определении ее решения уj = фДх), у2 - ф2(х),уп - ф„(х), удовлетворяющего начальным условиям ух(х0) = у, у2(х0) = у, уп(х0) = у°, где у°, у°, ...,у\% — заданные числа.

Если правые части системы (7.20) являются линейными функциями относительно yv у2, у , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Для решения системы дифференциальных уравнений в некоторых случаях удобнее переходить от данной системы к одному уравнению и-го порядка.

 

200

= 2ух + у2, 5?ї - 2Уг

О Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

dx

йу2 =

. dx

гф>і

при следующих начальных условиях: у,(0) = 2, у2(0) = 0. Продифференцируем первое из уравнений по х:

dx'

d2?i =2dyt | dy2

dx dx

Подставим в правую часть уравнения выражения первых производных:

d2Ji _

2 = 4j>! + 2у2 + 5ft - 2у2 = 9уи

dx

т.е.

а2л

dx2

■9Л=0.

Характеристическое уравнение X2 - 9 = 0 имеет корни А,х 2 = ±3. Общее решение уравнения запишется следующим образом:

yl = Cleix + C2e~3x.

Для у2 из первого уравнения системы находим

«-Зх

Зх

«Зх

-Зх

3>2 = ^ - 2ух = 3Cfi3x - ЗС2е~зх - 2QeJX - 2С2езх = Cxtix - 5С2е

Используя начальные условия, найдем С, и С2. Имеем 2 = Cj + C2,   0 = Cj - 5С2, откуда С1 = 5/3, С2=1/3. Решение системы имеет вид

у, = -е   + -е

л   з 3

3* . 1--**г у2 = -(е3х-е-3х).т

Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно записать в матричной форме:

 

dx

= Ау,

(7.21) 201

dV

dx

dy2 dx

 

dv„

^ dx J

Решение ищется в виде

Л = Ае »  3>2 = />2е »  •••>  И, - ДО

В результате дифференцирования и подстановки в уравнение (7.21) получаем

(A-XE)p = Q,

Подпись: "11■X

*21

"12 -X

*22

*1л

*2п

 

= 0.

 

(7.22)

 

ап     ап2       - аип-^

Уравнение (7.22) является характеристическим уравнением матрицы и системы дифференциальных уравнений, которое имеет и корней. В случае действительных и разных корней каждому корню X. соответствует собственный вектор р. = (ри, ръ, —,Рп)- Соответствующие решения будут иметь вид

Уіі - Р2іе    >    •"' У пі - ±-nr

Для и корней имеем и аналогичных решений. В результате получается фундаментальная система решений.

Общее решение системы дифференциальных уравнений запишется в виде

 

202

Уі = сіУп + СгУп + - + СпУю Уі = С1У21 + С2У22 + - + Спу2п,

 

Уп - СУп + С2Уп2 + •■• + С„уПі

О Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

4л + 6j>2,

= 3 л + 7у2.

4Уі = dx

dy2 _ dx

Подпись: Запишем характеристическое уравнение 4-А, 6= 0.

7-А

Корни этого уравнения Aj = 1, А2 = 10.

При А = 1 получаем одно уравнение для определения собственного векторарп + 2р21 = 0, откударх = (2; -1).

При А = 10 получаемрп-р22 = 0, т.е.р2 = (1; 1).

Фундаментальная система решений такова:

уп = 2ех,  У21 = -ех,

УП = *Ш>   У22 = *Ш

Общее решение принимает вид

 

^2 = -СіЄх + С2е10х. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |