Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Копій. Тем не менее

203

в настоящее время это основные методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка

У'= Ах, у), у(х0)=у0

на отрезке [х0, xN].

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, JCj,xN, для которых вычисляют значения функцийу по схеме

Уп+1 =У« + hnf(Xn> У г)'   К = Хп+1 - Хп>

где п = 0, 1, ...,N-1.

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых hn.

Модификации этого метода определяются следующими формулами:

Уп+1 = Уп + К/ К

Уп+1 = Уп + -f{f(xn> Уп) + Л*л+і> Уп + уп)К)-

Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кутта. Чаще всего применяют следующую схему указанного метода:

Уп+1 = Уп + у (*i + 2*2 + 2*з + k4),

(7.23)

где

Подпись: к2 = 4хп+^,Уп+^Подпись: К =ЯХп>Уп)>2"" 2 kA= f(xn+hn,yn + hnk3).

2 2

При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы.

О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' = х2 + у2, у(0) = 1 на отрезке [0; 0,7].

204

Выберем шаг h = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем сле-дущие значения функции у на сетке значений х:

 

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

У

1

1,11

1,25

1,44

1,7

2,07

2,64

3,65

Раздел VIII РЯДЫ

 

8.1. Сумма числового ряда

Выражение

ах + 02 +... + а„ + ... = £а„,

л=1

где av а2,ап,... — некоторые числа, называют числовым рядом. Числа av а2,ап,... — члены ряда.

Для каждого числового ряда Т^о„ можно построить последовали

тельность его частичных сумм S :

s» = ai + a2+ - + ап> п=1>2>

О Пример. Для ряда

°° 1

У—-

4-І А.

1      1 1

+       +... + +... =

1-2   2-3        n(n + l)        „Ti«(« + l) получим следующие частичные суммы:

 

1        1-2 2

с       1        1      1    1    1    1    1 1

Sj = — + — = 1 — +       = 1--;

2        1-2   2-3       2   2   3 3

"   1-2   2-3   "'   л(и + 1)

,111 11,1

= 1-- +        + ... +         = 1-

с      1      1 1

S„ = — + — + ...+ ■

2   2   3        и   и+1 я+1 Конечный предел S последовательности частичных сумм ряда

называют суммой ряда.

п=

О Пример. Сумма ряда     н        +... н +... равна еди-

1-2   2-3        п(п +1)

нице, так как 206

 

lim Sn - lim

Л-»°° Л-»°°

1-

И + 1

= 1.

 

Если S — сумма ряда ^ an, то число rn = S-Sn называют octnam-

л=1

колі дода. Так как lim rn = О, то при достаточно большом п

 

л

Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном случае.

Примеры.

г        „,11 1

 

Гармонический ряд 1 + — + - + ... + — + ... расходится.

2   3 л

Геометрическая прогрессия a + aq + aq^ +... + од" +... (а * 0) сходится при q < 1 и расходится приq\> 1. Еслиq < 1, то а + aq +

+ aqz +... + aq" 1 +... =  .

-q

„ ^r r  „11 1

Обобщенно гармонический ряд 1        +       1-... сходит-

la   2а па

ся при а > 1 и расходится при a < 1.

+       +   + (-І)""1- +... = 1п2.

3   4 л

5. 1-- +        + ... + (-1)" 1         + ... = —.

5   7   2л-1 4

,,11    1 я2

22   З2        и2 6

1- + - + ... + (-1)"-1 + ... = —.

22   З2   42  и2 12

— + — + ... + —+ ... = е-1.* 1!   2! л!

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |