Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов

Признаки сравнения. Если все члены рядов

Oj + a2 + ... + ап +(8.1)

b1 + b2 + ... + bn + ... (8.2)

не отрицательны иап<Ьп,п = 1, 2, то из сходимости ряда (8.2) следует сходимость ряда (8.1), а из расходимости ряда (8.1) следует расходимость ряда (8.2).

Если все члены рядов (8.1) и (8.2) положительны и существует lim — = к, 0 < к < +оо, то эти ряды сходятся или расходятся о д н о -

временно. 208

О Пример. Ряд - + — + - + ... + — + ... расходится, так как гар-2   4   6 2я

,11 1

моническии ряд 1н 1        1-... + — +... расходится и

2   3 я

,.   1/(2и)     л 1

hm /v     = km— -   . •

и-»~ 1/я     и->~> 2л 2

Признак Коши. Если все члены ряда

я, + а. + ... + а, +...

не отрицательны и существует Mm tfa~n = q, то при q < 1 этот ряд

сходится, а при я > 1 расходится. (При q = 1 признак Коши не дает возможности судить о поведении ряда.)

2   22 2й

О Пример. Ряд — + -=- + ... н   + ... сходится, так как

1   1 я"

 

lim Wa^ = lim и— = lim - = 0 < 1. •

 

Признак Даламбера. Если все члены ряда а. +а0 + ... + а +...

положительны и существует lim      - d, то при о* < 1 этот ряд схо-

»-»- а„

дится, а при d > 1 расходится. (При я" = 1 признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда.)

3   З2 3"

О Пример. Ряд — н— + ...Н       + ... сходится, так как

1!   2! л!

г   ап+і    у   Зй+1/(л + 1)!          3     n   , (

hm      = lim —,             = lim     = 0 < 1. •

и->~ а„     и->~    Зй/л!       и->~л + 1

Интегральный признак сходимости Ковш. Если ап = /(л), л = 1, 2, где /(л) — значение при х = л некоторой функции /(х), непрерывной, положительной и невозрастающей при х > 1, то ряд flj + а2 +... + ап +... сходится или расходится в зависимости от того,

*

существует или нет конечный Mm f(x)dx.

 

209

12 п

О Пример. Ряд       =- +           +... н           + ...расходится, так как

1 + Г   1 + 22        1 + п2 х

функция fix) =       ~ является положительной, непрерывной и

1 + х

невозрастающей при х > 1 и

lim fix)dx = Um f-^V = - Urn [ln(l + b2) - ln2] =

й-»+°о*       6-»+°°jl + x 2б->+~

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |