Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

8.10. ряды фурье

Пусть /(х) — некоторая периодическая функция с периодом Т- 2л. Тригонометрический ряд

— + ^(а„ cosnx + Ъп sinrac)

2 и=1

называется рядом Фурье для функции f(x), если

Oq = — f(x)dx, ап = — /(x)cosnxdx,

л J     л J

-тс -тс

71

Ъп = — /(x)sin/Dcdx  (л - 1,2,...).

л J

-тс

Свойства рядов Фурье:

Г. Если функция /(х) — ч е т н а я, то

Ьп = 0  (л = 1,2,...), 271

ап= — f(x)cosnxdx (л = 0, 1, 2, ...). л

о

2°. Если функция/(х) — нечетная, то ап = 0  (л = 0,1,2,...),

к

Ъп = — f(x)smnxdx (л = 1,2,...). л

о

3°. В точке х0, где функция /(х) дифференцируема или по крайней мере имеет конечные односторонние пределы

Цт/(*о +0-Я*о) и lim/(3tb+0-/(3tb)>

ґ->-Ю /        ґ->-0 f

ряд Фурье для функции /(х) сходится, причем его сумма равна/(х0). В противном случае сумма этого ряда Фурье может быть отличной от/(х0).

4°. Если функция f{x) периодическая с периодом Т= 21, то ее ряд Фурье имеет вид

an      ллх   ,   . ллхЛ

f + I[«„cos- + *„srn-j,

л=1

1 f ,. . ,        If,. .      ЛЛХ ,    ,      If,. . віпллх ,

где а0 = - J /(x)dx, ап = - J /(x)cos—dx, 6Й = - J Дх)—-—dx

-і        -і        1        -і 1

(n =1,2,...).

216

5°. Если функция fix) задана на конечном интервале ]-/, /[, то для того чтобы разложить ее в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию ф(х) с периодом Т= 21 такую, что

ф(х) = fix)  при -1<х<1.

Если функцию ф(х) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ]-/, /[ этот ряд будет рядом Фурье для функции fix).

О Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию fix) с периодом Т= 21, если

/(*) =

х,   0 < х < /, 1-х, -I <х< 0.

Так как функция /(х) является четной, то й„ = 0  (л = 1,2,...),

Подпись: і о
лях

а„ =

= |j/(x)dx = ! Jxdx = у •

Zf...      ЛЛХ ,      Z г        ллх ,

- /(x)cos       dx = - xcos   dx =

 

 

Отсюда

 

nnx

sin-

2   1 Г л

=       xd

 

2   І лях

          cos    

пк   пк I

 

a„ =

-4//(лл)2

ЛЛХ

xsin-

■J

Подпись: _2_ m
21
лях ,

sin      dx

/

■[(-1)"-!].

(my

 

если я — четное; , если п — нечетное.

Таким образом,

кх

Злх

5кх

cos

cos

COS

/(Х)=2-ё

 

217

 

8.11. Приложения рядов

1. С помощью рядов можно приближенно вычислять различные постоянные величины.

Для того чтобы вычислить некоторую постоянную S, необходимо ее представить в виде суммы числового ряда S = а, + а2 + ... + + ап +... и положить

S~Sn = a1 + a2 + ... + an.

При достаточно большом я остаток rn = S-Sn станет сколь угодно малым, так что Sn воспроизведет S с любой наперед заданной точностью.

О Пример. Вычислить l/Ve с точностью 0,005. Так как

2 3

ех =1 + JC + \% + fr + -» -°°<х<+°°,

то

і   4 і і   і    і і

= Є  2 = 1    + ^    =                 + ■

у[ё     2   22 - 2 !   23-3! 24-4!

Полученный числовой ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница (см. п. 8.4). Поэтому для остатка справедлива оценка

n\< an+v Значит, |г3| < ^4 ^ < 0,003. Поэтому с нужной точностью

имеем

-}= = 1-- + ^        ^— = 0,604.»

Ve        2   22-2! 23-3!

2. Ряды применяют для приближенных вычислений определенных

t

интегралов. Для вычисления jf(x)dx необходимо подынтеграль-

0

ную функцию /(х) разложить в степенной ряд. Если

f(x) = а0 + а,х + а2х2 +... + апх" +-R<x<R,

то при -R<t<R степенной ряд можно интегрировать почленно. Получим

'         t2      t3 tn+1

j f(x)dx = OQt + ax у + 02 у +... + an —— +

 

218

откуда jf(x)dx можно вычислить с любой наперед заданной точ-

0

ностью.

О Пример. Рассмотрим интеграл вероятностей

/ х'

1   ' -— 2 Ф(0 = -== Г е 2 dx = -== І е 2 dx.

Так как

 

то

2 3 X X

;*=l + x +— + — + ..., -oo < x <+°°, 2! 3!

Подпись: V2	V4 V6
e-*72=1_*_+  *	}— + ....
2    22 • 2!   23 • 3!
Подпись: Тогда

x

Ф(0 = -^= І e 2 dx =

yj2n q v27i

f3 f7

f         +       =       5        + ...

3-2   5-22-2! 7-23-3!

с помощью рядов можно интегрировать некоторые дифференциальные уравнения. Если, например, необходимо найти решение дифференциального уравнения у'=Дх, у) такое, что у(х0) = у0, то это решение можно искать в виде ряда Тейлора (см. п. 8.8)

у(х) = у(х0) + /(х0)(х - х0) + ^-^-(х - х0)2 +

где у(х0) = у0, у'(х0) = Дх0, у0), а дальнейшие производные у{пх0) последовательно находят с помощью дифференцирования уравнения у'=fix, у) и подстановки вместо х числах0.

Ряды Фурье позволяют выделить периодические (сезонные) колебания, свойственные многим экономическим явлениям. Для изучения периодических колебаний некоторого экономического показателя fit), зависящего от времени, функцию fit) раскладывают в

ряд Фурье — + ^(а„ cosnt + Ъп sinnt) (для практических целей до-

2 и=1

статочно рассмотреть лишь несколько первых членов этого ряда).

Чаще всего сама функция f(t) неизвестна, известен лишь конечный набор ее значений fit,), f(t2), ... . В этом случае приходится вычислять коэффициенты ряда Фурье приближенно. Для приближенных вычислений коэффициентов ряда Фурье существует большое количество различных методов.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |