Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.3. графический метод решения двумерных задач линейного программирования

Дана задача линейного программирования

f=y1xl + y2x2(max), (9.5)

аПх1 + а2х2 — А'

а2Л + °22х2 - ^2> ^ q

.атх + ат2х2 ^ Ал>

в которую входят только два неизвестных Ху и х2. 224

Каждое из неравенств системы (9.6) определяет на координатной плоскости (xv х2) некоторую полуплоскость. Следовательно, допустимое множество Q задачи (9.5), (9.6) есть пересечение конечного числа полуплоскостей, т.е. некоторая многоугольная область на плоскости (хр х2).

Для решения задачи (9.5), (9.6) графическим методом необходимо:

построить многоугольную область Q;

провести перпендикулярно вектору Г = (Yj, y2) прямую / так, чтобы она пересекала область Q;

перемещать прямую / параллельно самой себе в направлении вектора Г до тех пор, пока она не перестанет пересекать область Q (для задачи минимизации прямую / необходимо перемещать в противоположном направлении).

Если при таком перемещении прямая / все время будет пересекать область Q, то целевая функция не ограничена сверху на допустимом множестве и задача (9.5), (9.6) не имеет оптимального решения (рис. 9.1).

В противном случае пересечение области Q с прямой / в том ее положении, когда дальнейшее перемещение дает пустое пересечение с Q, является множеством оптимальных решений задачи (9.5), (9.6) (рис. 9.2).

О Пример. Предприятие располагает тремя видами сырья и может выпускать одну и ту же продукцию двумя способами. При этом за 1 ч работы первым способом выпускается 20 единиц продукции, а вторым способом — 30 единиц. Количество сырья (кг) того или иного вида, расходуемого за 1 ч при различных способах производства, и запасы сырья (кг) приведены в табл. 9.1.

 

225

Требуется найти план производства, при котором будет выпущено наибольшее количество продукции.

Обозначим через х, и х2 время использования (ч) соответственно первого и второго способов производства. Имеем задачу линейного программирования

/= 20xj + 30x2(max), 'IOjcj + 20х2 < 100, • 20*! + 10х2 < 100, 15*! + 15х2 < 90, Xj > 0,  х2 - 0,

которую можно решить графическим способом. На рис. 9.3 изображены допустимое множество Q и оптимальное решение а0 этой задачи. Любая точка из допустимого множества Q является планом работы предприятия, для реализации которого хватит имеющихся запасов сырья. Оптимальное решение а0 — это план из допустимого множества Q, при котором будет выпущено наибольшее количество продукции.

226

Очевидно, что ос является точкой пересечения прямых /j и /3, имеющих уравнения lQxj + 20х2 - 100 и 15xj + 15х2 - 90 соответственно. Решая систему этих двух уравнений, получаем xt = 2,

*2 = 4-

Таким образом, для производства наибольшего количества продукции при имеющихся запасах сырья необходимо 2 ч применять первый способ производства и 4 ч — второй способ.

При этом будет изготовлено /(а0) = 20 • 2 + 30 • 4 = 160 единиц продукции. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |