Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.

Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bv b2, bm единиц соответственно. Известно, что на основе этих ресурсов можно выпускать продукцию п различными способами. При этом за единицу времени использования у'-го способа (у =1, 2,п) расходуется а у единиц /-го ресурса (/ = 1, 2,т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с. единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?

Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором а = (хр х2,хп), где Xj — время использования у'-го способа производства, причем

я

^ayXj <b„ / = 1,2,...,т,

j=i

Xj^O, у'=1,2, ...,л.

Пусть /(ос) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда

л

/(ос) = Хсу*у

Если у. — некоторая оценка единицы ресурса /-го вида (/ = 1,

' т

2,     т), то величина ^ауУі будет оценкой всех ресурсов, расхо-і=і

дуемых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего»). Следовательно,

 

242

X^-C/' j = 1,2,...,п, yt>0, i=l,2,...,m.

Величина

m

ф(Р) = Х*л

«=i

является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок

P = (Vi» -,УР ->Уп)-

Для любой производственной программы ос и при любом векторе оценок р выполняется неравенство

Да)<ф(Р),

т.е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство Г п. 9.9). Значит, величина

Д(ос, Р) = ф(Р)-/(ос)

характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и от выбранных оценок ресурсов.

Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(ос) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы ф(Р) было как можно меньше.

Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:

п т

f = ^CjXj(max),      ф = £б,уДтіп),

j=i 1=1

л т

^OyXj < bt, і = 1,2,т,       Х°уИ - CJ> J = І5 2' -'

7=1 /=1

Xj>0,  j = 1, 2, ...,и;         >>.>0,        /= 1, 2,т.

Из первой теоремы двойственности (см. п. 9.10) следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.

 

243

Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную производственную программу а0 = (х,°,х°,х°) и оптимальный вектор оценок р° = (у?, ...,у°,

г

П

(9.37)

если уі > О, T0Xflr*7

7=1

п

если Ха?*° < ьі> то у? = °;

7=1

= с/>

от

(9.38)

ЄСЛИ     > 0, Т0ХагУ^

т

если ^fl^0 > cj> ТОЛ7 - О-

(=1

Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка у. единицы ресурса /-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.

Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ у б ы т о ч е н, то он в производстве не используется.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |