Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.16. целочисленные задачи линейного программирования

Целочисленная задача линейного программирования — это оптимизационная задача (V, /, Q), где целевая функция/является линейной функцией на V- R", a Q — множеством решений некоторой системы линейных уравнений или линейных неравенств, у которых координаты с заданными номерами — целые числа.

Целочисленная задача линейного программирования отличается от общей задачи линейного программирования только дополнительным требованием о целочисленности некоторых (быть может, и всех) неизвестных. Если в задаче требуется целочисленность всех неизвестных, то ее называют полностью целочисленной.

Задача о загрузке корабля. В морском порту имеются предметы п видов. Предмет у'-го вида имеет массу а. и ценность с. (/' = 1, 2,

и). Требуется загрузить корабль данной грузоподъемности Ъ так, чтобы ценность груза была наибольшей.

Обозначив через х. количество предметов у'-го вида (у = 1, 2,

и), которые необходимо погрузить на корабль, получим целочисленную задачу линейного программирования:

и

f = Xc;*/(max)>

и У'=1

Ху^О, / = 1,2, ...,п, Xj — целое, у = 1,2,и.

Задача о распределении капиталовложений между проектами.

Имеется и проектов Ру,Р.,Рп, причем для каждого проекта Р. известны ожидаемый эффект у. от его реализации и необходимая величина капиталовложений g.. Общий объем капиталовложений не может превышать заданной величины Ъ. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

253

Введем неизвестные Xj (7 = 1, 2,и), полагая Ґ1, если проект Pj реализуется; J    [О, если проект Pj не реализуется. Получим целочисленную задачу линейного программирования:

л

f = ^yjXj(max),

п

J,gjXj < b,

У=і

0<Xj<l,      7 = 1,2, ...,n,

Xj — целое,   7 = 1,2,п.

В ряде случаев оптимизационную задачу с разрывной целевой функцией удается свести к целочисленной задаче линейного программирования.

Рассмотрим, например, задачу максимизации с целевой функцией

 

7=1

где

І

0,       еслих, = О,

CjXj + fly, еслих,- > О, допустимое множество Q которой задано системой ограничений

л

Y*atixj=bi>   i = l,2,-,m,

Xj>0,  7=1,2,и.

Введем п новых неизвестных, полагая

У і -

ГО, если Xj - О, 11, ЄСЛИ Xj > 0.

Если допустимое множество Q ограничено, то исходная оптимизационная задача сводится к целочисленной задаче линейного программирования:

л

 

7=1

254

п

Y*atixj=bi>   г = 1,2,...,/и,

х.>0; х.<Му., 0<ц<1,      у=1, 2,..., и, уу —целое,    7=1,2,и,

где М— достаточно большое число.

Если допустимое множество целочисленной задачи линейного программирования является конечным множеством, то это комбинаторная оптимизационная задача. Классическим примером комбинаторной оптимизационной задачи наряду с задачами о загрузке корабля и о распределении капиталовложений между проектами является задача о коммивояжере.

Задача о коммивояжере. Имеется п городов Ар А2,Ап и задана матрица С = (су) расстояний между этими городами. Выезжая из исходного города Av коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в Av Определить, в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим.

Если в целочисленной задаче линейного программирования отбросить требование о целочисленности неизвестных, то получим задачу линейного программирования, которая называется ослаблением исходной целочисленной задачи.

Целочисленное оптимальное решение ослабления является оптимальным решением и исходной целочисленной задачи.

В частности, если ослабление окажется транспортной задачей с целочисленным вектором ограничений, то оптимальное решение транспортной задачи (которое при этих условиях всегда может быть выбрано целочисленным) будет оптимальным решением исходной задачи.

В большинстве же случаев ослабление целочисленной задачи имеет только нецелочисленное оптимальное решение, причем если округлить нецелочисленные координаты этого решения, то нельзя получить даже допустимого решения исходной задачи.

С другой стороны, для решения комбинаторной оптимизационной задачи можно попробовать перебрать все допустимые решения этой задачи и выбрать среди них такое, на котором целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Однако

 

255

существуют задачи, у которых допустимых решений очень много и перебрать их все практически невозможно.

Таким образом, целочисленные задачи линейного программирования образуют специфический класс оптимизационных задач, для решения которых требуются специальные методы.

Известны различные методы решения целочисленных задач: метод отсечений, метод ветвей и границ, метод Беллмана. Эффективность того или иного метода зависит от конкретных условий задачи.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |