Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.5. ситуации равновесия в матричных играх

Дана матричная игра Г с платежной матрицей А = (а^)тхп. В матричной игре Г первый игрок выбирает некоторую строку матрицы А, а второй игрок — некоторый столбец этой матрицы. При этом если первый игрок выбрал і-ю строку, а второй игрок — у'-й столбец, то второй игрок уплачивает первому игроку ау единиц выигрыша (г' = 1, 2,m;j= 1, 2,и).

Ситуация(i0,у'0)является ситуацией равновесия вмат-ричной игре Г тогда и только тогда, когда для всех і = 1, 2, m и для всеху'= 1, 2,п выполняются неравенства

д..  < д. .  < д. .. »0 ~  Wo - W

В этом случае число является ценой матричной игры Г. Если (/„, у0) — ситуация равновесия в игре Г, то первый игрок, применяя чистую стратегию /„, обеспечивает себе выигрыш, не меньший цены игры atja. С другой стороны, второй игрок, применяя чистую стратегию у'0, не проиграет больше .

Матричная игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновесия тогда и только тогда, когда

max(mina,,) = mm (max а,,).

\<i<m l<j<n 1      l<j<n \<i<m J

291

Чистые стратегии г'0 и у0 соответственно первого и второго игроков являются оптимальными чистыми стратегиями этих игроков, если (г'0, j0) — ситуация равновесия в матричной игре Г.

Чтобы найти оптимальные чистые стратегии в матричной игре, можно поступить следующим образом:

• в каждой строке матрицы А выбрать по наименьшему элементу:

Подпись: mm с,mm о,,, mm о,,,

\<j<n LJ \<j<n 11

1< }<п

• вкаждом столбце матрицы А выбрать по наибольшему элементу:

max a,,, max а,,,

max а,,

1Шт "•

если

1<і<т

mm а,, = max а

1< ]<П

то i0 и у0 — оптимальные чистые стратегии соответственно первого и второго игроков.

О Пример 1. Дана матричная игра Г с платежной матрицей

 

А =

 

8

10

10 9

3        14 5 6

4        8

5^

7

12 у

Тогда

V

1<У<5

1<У<5

minajy - 2,    mina2/ - 5,    mina3/ = 4:

1< 7<5

max а,,

1<1<3

10, max ап - 10, max а,, - 5, maxa,4 - 14, max a,s - 12.

i<i<3 \<,і<,г         і^з isis3

Так как min а,, = max а,, = 5, то оптимальные чистые стратегии

ujuS   1     1<г<3 "

игроков »0 = 2,j0 = 3. Цена игры равна 5. •

О Пример 2. Матричная игра Г с платежной матрицей

'3   7 2^

А =

2 9 2 3

не имеет оптимальных чистых стратегий, так как

max(mina,,) = 2, a  min (max а,,) = 3. •

1<j<3 1<У<3 *     1<у<3 1<(<3 *

292

10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр

Даны две бескоалиционные игры г лиц:

r = {Sv    Sk,Sr, H[(s),H'k(s),H'r(s)},

T" = {SV    Sk,Sr, H[Xs),H'k{s),H'£s)}

с одинаковыми множествами чистых стратегий игроков.

Игры Г' и Г" называются стратегически эквивалентными, если существуют число / > 0 и числа Ск (к = 1, 2,г) такие, что для лю-

г

бой ситуации s = (sx,sk,s) є S = YSk имеют место равенства

k=l

Hk(s) = lH'kXs) + Ck, k=,2,...,r.

В частности, любая бескоалиционная игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна игре с нулевой суммой.

Матричная игра с платежной матрицей А = (Од)тхп стратегически эквивалентна матричной игре с платежной матрицей А - (а~+к)тхп, где к — некоторое число.

Основное свойство стратегически эквивалентных игр: стратегически эквивалентные бескоалиционные игры имеют одни и те же ситуации равновесия.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |