Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.10. классические кооперативные игры

Пусть К — некоторое конечное множество. Элементы множества Сбудем называть игроками.

Функция v, определенная на множестве всех подмножеств множества К, называется характеристической функцией множества К, если v(0) = 0 (0 — пустое множество).

Если v — характеристическая функция множества игроков К, то каждому подмножеству Q множества ^поставлено в соответствие число v(Q), равное выигрышу, который могут получить игроки множества Q, действуя совместно.

Характеристическая функция v множества К называется супераддитивной, если для любых непересекающихся подмножеств Pt&Q множества К

v(PuQ)>v(P) + v(Q).

Любое подмножество множества игроков К называется коалицией игроков. В частности, можно говорить о пустой коалиции,

 

301

о коалиции, состоящей из одного игрока, и т.д. Если множество К состоит из г игроков, то эти игроки могут образовать 2Г различных коалиций.

Свойство супераддитивности характеристической функции означает, что суммарный выигрыш непересекающихся коалиций Р и Q не превосходит выигрыша, который могли бы получить игроки, объединившись в коалицию PuQ.

Если имеется супераддитивная характеристическая функция v некоторого конечного множества К, то говорят, что задана классическая кооперативная игра Г = {К, v).

О Пример 1. Пусть К — конечное множество, а Ь — некоторое число. Чтобы задать характеристическую функцию v множества К, достаточно для любого подмножества Q множества К положить

v(Q) = Q-b,

где Q — число элементов множества Q. Характеристическая функция v супераддитивна, так как для любых двух непересекающихся подмножеств Р и Q множества А" имеет место равенство

v(Pu0 = v(P) + v(Q).«

 

О Пример 2. Имеется множество ^4 = {av а(,«,} продавцов некоторого товара и множество В = {bv b},bm} покупателей этого товара.

Продавец д. (i = 1, 2, /) может продать х. единиц товара, а покупатель А. (у = 1, 2, т) собирается приобрести у. единиц этого товара.

Супераддитивную характеристическую функцию множества К = А и В можно задать, если для каждого подмножества Q множества К положить

v(Q) = mini £ х,., £ уЛ.т

і j

 

О Пример 3. Дана конечная бескоалиционная игра г лиц

Г = {Sv    Sk,Sr, H,(s),Hk(s),Hr(s)}.

Можно считать, что K= {1, k, г) — множество игроков в игре Г. Если Q — некоторое подмножество множества игроков К, то любую ситуацию

302

г

s = (s1,...,sk,...,sr)sY[Sk

к=

можно представить в виде

s = (s,s),

где

sel[Sk,    їє П Sk.

ksQ ksKQ

Если ПОЛОЖИТЬ

v(0= max (_ mm   У Hk(s,s) «ПА " П 5*^е

Если дана некоторая кооперативная игра Г = {К, v}, то коалиция К, объединяющая всех игроков, может обеспечить себе выигрыш, равный v(K).

Основная задача в классической теории кооперативных игр — найти распределение выигрыша v(K), которое устраивало бы всех игроков.

Если все игроки кооперативной игры Г = {К, v} пронумерованы, то можно считать, что К= {1, 2,г). В этом случае выигрыш коалиции, состоящей из одного k-то игрока, будет равен v{k) (к = 1, 2,

г). Тогда

v(l) + ... + v(k) + ... + v(r)<v(K). Кооперативная игра Г = {^Г, v} называется существенной, если v(l) +... + v(k) +... + v(r) < v(K), и несущественной, если

v(l) +... + v(k) +... + v(r) = v(K).

 

10.11. Дележи в кооперативных играх, с-ядро

Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где К= {1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества К.

Предположим, что при распределении выигрыша v(K) между игроками k-й игрок (к = 1, 2,г) получил хк единиц выигрыша.

303

Тогда

*! + ...+хл+...+х,. = уСГ). (10.11)

Кроме того, естественно считать, что

v(k)<xk,  k=l,2,...,r, (10.12)

т.е. при распределении выигрыша v(K) каждый игрок должен получить не меньше того, что он мог бы получить, действуя самостоятельно.

Любой вектор х = (xv хк,хг), удовлетворяющий условиям (10.11) и (10.12), называется дележом в кооперативной игре Г.

В несущественной игре Г = {К, v} имеется только один дележ х = (v(l),v(k),v(r)). В существенной игре различных дележей бесконечно много, причем любой дележ в этой игре имеет вид

х - (v(l) + av    v(k) + ак,v(r) + ar),

г г

гдеосл>0Д=1,2,...,г,        = v(K)-^v(k).

k=l      _ k=

Пусть x = (xv xk,xr) и у = (yv yk,yr) — дележи в кооперативной игре Г = {К, v}. Говорят, что дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция Р с Этакая, что

£хк < v(P)  и  хк > ук  приА: є Р.

к<=Р

Если дележ х доминирует дележ у, то среди игроков множества К найдутся такие игроки, которые заинтересованы в том, чтобы дележ у заменить на дележ х.

Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами, называется с-ядром этой игры.

Если дележ х принадлежит с-ядру кооперативной игры, то среди участников этой игры нет игроков, заинтересованных в изменении этого дележа.

Для того чтобы дележ х = (xv ...,хк, хг) принадлежал с-ядру кооперативной игры Г = {К, v}, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции Р с .^выполнялось неравенство

v(P)<^xk. (10.13)

кеР

304

О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где

К={1,2, 3},  v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = О, v({l,2}) = v({l,3}) = l/2,  v({2,3}) = 2/3,  v({l, 2, 3}) = 1.

Вектор x = (xv x2, x3) является дележом в игре тогда и только тогда, когда

Х-^ ~~ х^ ~ь х^ — 1,

xt > 0, і = 1,2,3.

Для того чтобы вектор х = (xv х2, х3) принадлежал с-ядру игры Г, необходимо и достаточно, чтобы

Х-^ ~Ь Х<2 ~г" Х^ — lj

хх + х2       ^ 1/2,

• Ху       + х3> 1/2,

х2      + х3 > 2/3,

X, >0, / = 1,2,3.

В частности, векторы х = (1/4; 2/3; 1/12) и х2 = (0; 1/2; 1/2) принадлежат с-ядру игры Г. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |