Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.12. л-ядро кооперативной игры

Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где К= {1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества К.

Если Ху = (Ху, —,хк, .... хг) — некоторый дележ в игре Г, то для любой коалиции Р с К можно рассмотреть число

1(Р,х) = у(Р)-^хк,

которое называется эксцессом.

Непустые коалиции игроков Ру, Р2,Р2г_у можно расположить в порядке убывания эксцессов:

Щ,х) > 1(Р2,х) > ... > КРГ1,х).

В этом случае вектор

l(x) = (ly(x),l2(x),     lir_j(x)),

где lk(x) = l(Pk, x), k = 1, 2, 2r - 1, называется вектором эксцессов.

Для любого дележа х существует, и притом единственный, вектор эксцессов 1{х).

305

Говорят, что вектор эксцессов 1(х) лексикографически больше вектора эксцессов 1{у), если выполняется одно из следующих условий:

'i(x) > h(y),

= AGO.  hi*) > Ш)>

= h(y),.... lk(x) = lk(y),  lk+i(x) > lk+1(y).

Дележ x называется п-ядром кооперативной игры Г = {К, v}, если вектор эксцессов 1{х) лексикографически меньше любого другого вектора эксцессов.

Основные утверждения о л-ядре кооперативной игры:

Г. Для каждой кооперативной игры существует, и притом единственное, и-ядро.

2°. Если с-ядро кооперативной игры Г не пусто, то и-ядро этой игры содержится в с-ядре.

л-ядро кооперативной игры Г = {К, v} можно найти, решив ряд последовательных задач линейного программирования.

О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где

К= {1, 2, 3},  v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = О,

v({1,2}) = v({1,3}) = 1/2,  v({2,3}) = 2/3,  v({l, 2, 3}) = 1.

Векторы x - (1/4; 2/3; 1/12) и у - (0; 1/2; 1/2) являются дележами в игре Г. Соответствующие эксцессы приведены в табл. 10.2.

Тогда

1(х) = (1/6; 0; -1/12; -1/12; -1/4; -5/12; -2/3), /(Я = (0;0;0;0;-1/3;-1/2;-1/2).

Вектор эксцессов 1(х) лексикографически больше вектора эксцессов 1(у), так как 1/6 > 0.

Нетрудно проверить, что у = (0; 1/2; 1/2) является л-ядром в кооперативной игре Г. •

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |