Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел xi графы и сети 11.1. основные понятия теории графов

Граф G — это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. На рис. 11.1 изображен граф, имеющий пять вершин и шесть ребер.

Если рассматривается множество упорядоченных пар точек, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф G называется ориентированным. В противном случае граф (7 называется неориентированным.

Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. На рис. 11.1 ос4 и ос5 — параллельные ребра, а ос2 — петля.

Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. На рис. 11.1 вершина р3 и ребро а3 инцидентны друг другу.

Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. На рис. 11.1 pvp2 — смежные вершины, а ар а4 — смежные ребра.

 

307

Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей. Вершина степени 1 называется висячей, а вершина степени 0 — изолированной. На рис. 11.1 степень вершины рх равна трем, р4 — висячая вершина, &р5 — изолированная.

Теорема. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа:

п

Хстеп.д;= 2т, (П.1)

 

где и — число вершин графа, aw — число его ребер.

Теорема. Число нечетных вершин любого графа, т.е. вершин, имеющих нечетную степень, четно.

Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром и он не содержит параллельных ребер.

Дополнением графа G называется граф G с теми же вершинами, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф.

Нарис. 11.2 изображены следующие графы: Gx — полный граф спятью вершинами; G2 — некоторый граф, имеющий пять вершин; G2 — дополнение графа G2.

Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от некоторой начальной вершины рх в конечную вершину рп, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Например, в графе, изображенном на рис. 11.1, последовательность ребер (ос15 а2, а3, а4, а5, ос6) образует путь, ведущий от вершины рх к вершине^.

 

308

Циклом называется путь, начальная и конечная вершины которого совпадают. Нарис. 11.1 ребра (av а3, а4) образуют цикл. Цикл графа G называется простым, если он не проходит ни через одну вершину G более одного раза.

Длиной пути (или цикла) называется число ребер этого пути (или цикла).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |