Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

11.6. лес. разрезы

 

Граф, не содержащий циклов и состоящий из к компонент, называется к-деревом; Аг-дерево графа G, содержащее все его вершины, называется остовным.

Подграф G, содержащий все его вершины и только те ребра, которые не входят в остовное к-дерево Т графа G, называется к-кодеревом Т*.

Если граф G содержит к компонент, то его остовное ^-дерево Т называется лесом, а Ажодерево Т* в этом случае называется

ко-лєсом.

На рис. 11.7 изображены остовное 2-дерево Тж 2-кодерево Т* графа G, представленного на рис. 11.6. На рис. 11.8 изображены граф G, содержащий две компоненты, его лес Г и ко-лес Т*.

Рангом графа G, имеющего и вершин и состоящего из к компонент, называется число

r(G) = n-k (11.2)

 

312

Цикломатическим числом графа G называется число

i(G) = m-n + k, (11.3)

где т — число ребер графа G;n — число вершин; к — число компонент.

Ранг и цикломатическое число связаны соотношением

r(G) + i(G) = m. (11.4)

Теорема. Ранг r(G) графа G равен числу ребер леса, а цикломатическое число u(G) равно числу ребер ко-леса.

Ранг и цикломатическое число являются числовыми характеристиками графа, определяющими размерность подпространств циклов и разрезов.

313

Пусть есть некоторый связный граф G, множество вершин которого разбито на два непустых непересекающихся подмножества: Р = Рх и Рт Тогда множество всех ребер G, имеющих одну концевую вершину в Pv а другую — в Р2, называется разрезом графа G.

11.7. Эйлеровы и гамильтоновы графы

Эйлеровым путем (циклом) графа называется путь (цикл), содержащий все ребра графа ровно один раз. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

На рис. 11.9 граф G не является эйлеровым, так как вершинар3 инцидентна только одному ребру. Если путь приведет в вершину ру то не будет ребра, по которому можно было бы выйти из ру

Теорема. Граф Gявляется эйлеровым тогда и только тогда, когда G связный и все его вершины имеют четную степень.

Граф G, изображенный нарис. 11.10, является эйлеровым. Последовательность ребер (ар ос2, ос3, ос4, ос5, ос6, а7, а8, а9, а10) образует эйлеров цикл.

Теорема. Граф G обладает эйлеровым путем с концами рх, р2 тогда и только тогда, когда G связный и рх, р2 — единственные его вершины нечетной степени.

На рис. 11.9 изображен граф G, обладающий эйлеровым путем (оСр ос2, ос3, а4, а5, а6) с концевыми вершинамир5 иру

Гамильтоновым путем (циклом) графа называется путь (цикл), проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.

Критерий существования гамильтонова цикла в произвольном графе G еще не найден. Достаточным условием существования гамильтонова цикла является полнота графа G.

Граф на рис. 11.9 не является гамильтоновым, а граф на рис. 11.11 содержит гамильтонов цикл (av ос2, а4, ос5, а6).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |