Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел xii интерполяция 12.1. задача интерполяции

Задачей интерполирования является построение такой функции, которая для данных значений аргумента принимала бы данные значения. Пусть для значений аргумента х0, xv х2,хп, которые называются узлами интерполяции, вычислены значения некоторой функции Дх):

f(x0)=y0' f(x1)=y1, f(xn)=yn.

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и /(х), т.е. такую, что

F(x0)=y0,   F(Xl)=yv F(xn)=yn.

Существуют различные варианты записи интерполяционных многочленов (см. пп. 12.3—12.5). Геометрически интерполирование означает, что нужно найти кривую у = F(x) (рис. 12.1), проходящую через заданную систему точек М.(х(, yt).

333 12.2. Конечные разности

Пусть функция у - f(x) задана в точках х. = х„ + kh (где h постоянная, к — целое). Тогда

Ау, = А/;.=/(х/+1)-Лхг.)

называются конечными разностями первого порядка.

Разности первых разностей образуют конечные разности второго порядка и обозначаются

A2yt = A2ft = AfM - Aft =f(xi+2) - 2f(xi+l) +/(*.).

Так же определяются и конечные разности более высоких порядков:

A^A^A^-A""!/;.

Индексы при Ау берутся те же, что и индексы у вычитаемых, т.е. вторых членов разностей.

Конечные разности различных порядков располагают в форме таблиц двух видов: горизонтальной (табл. 12.1) или диагональной (табл. 12.2).

В табл. 12.1 и 12.2 всякое число (кроме находящихся в первых двух столбцах) является разностью двух чисел предыдущего столбца.

Вычисления разностей следует прекращать, если все числа некоторого столбца оказываются почти равными между собой

334

(«разности постоянны»). Разности к-то порядка постоянны для многочлена к-й степени. Поэтому приблизительное их постоянство показывает, что данная функция может быть с достаточной точностью изображена многочленом к-й степени.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |