Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

12.3. интерполяционная формула лагранжа

Пусть поставлена задача о построении функции такой, что L(xk) = f(xk), к=0, 1, 2, п. Часто такие функции строят в виде обыкновенных многочленов

L(x) = aQ + аух + ар2 +... + а^х".

Чтобы найти коэффициенты а. интерполирующего многочлена возможно низшей степени, принимающего в точках х0, xv хп заданные значения, нужно решить систему уравнений относитель-

но а:.

\% + 0Л> + «2*0 + - + апхо = Уо> а0 + ауХу + OjXj2 +... + апх" - уи я0 + ахх2 + ajxl +... + апхпг = у2,

 

(12.1)

 

а0 + аххп + с^х2 +... + апхпп = уп,

 

теу(=Дхг) (г = 0, 1, 2,л).

Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (12.1), называется интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x) для функции f(x) и может быть записан в виде

L ф = у (.x-x0)(x-x1)--ix-xi_1Xx-xi+ly-jx-xn) Интерполяционная формула Лагранжа при я = 2 имеет вид

т ,y4 _ v   (Х-Х1)(Х-Х2) (Х-Х0)(Х-Х2)

^2Х) - SO ,  ч/       ч + Уі /        ч/       ч +

хо — *і)(*о — х2)       (*1 — Х0)(Ху — х2)

+ У2

(x-x^jx-xj

{Х2 — Xq)(x2 — Ху)

 

335

при я = 3 формула имеет вид

т . .        (х-х,)(х-х2)(х-х3) (х-х0)(х-х2)(х-х3)

Щх) = у0 —  —       —       — + ух —     —       —       — +

(х0 — х1)(х0 — x2)(xQ — х3)      (xj — х0)(х1 — X2)(Xj — х3)

(х-х0)(х-х1)(х-х3) (х-х0)(х-х1)(х-х2) (х2 — х0)(х2 — Xj)(x2 — х3)      (х3 — х0)(х3 — Xj)(x3 — х2)

О Пример. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в точках х0 = 1, х1 = 3, х2 = 6 значения функции у0 = 10,

^ = 16,^ = 4.

Подставляя данные значения в интерполяционную формулу L2(x), имеем

 

^V     а-з)о-6)    (з-1)(з-б) (6-1X6-3)'

Z2(x) = 2,8-8,6x-l,4x2. •

Заметим, что если функция/(х) задана аналитически и имеет в рассматриваемом интервале достаточное число непрерывных производных, то погрешность, получающаяся от замены /(х) интерполяционным многочленом Лагранжа, равна

/(X) - ых) = (*-*0)(*-*l)-(*-*„)

(и +1)!

где І; — некоторое промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел х, х0, xv хи.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |