Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

12.4. интерполяционные формулы ньютона

В том случае, когда интерполяционные узлы находятся на равном расстоянии, опираясь на понятие конечных разностей, интерполяционный многочлен можно найти по формуле

Рп(х) = У0 + qAy0 + ^^А + -

...+ ^-1)~<?-П + 1)А»у0, (12.2)

где q = (х - х0)/л. Здесь й = х.+1 - х. — шаг заданной таблицы значений/(х).

336

Формула (12.2) называется интерполяционной формулой Ньютона, ее используют для интерполирования при значениях аргумента, расположенных в начале таблицы.

При п = 1 имеем формулу линейного интерполирования

 

а при и = 2 — формулу квадратичного интерполирования

У = Уо + ^ЇГ^* - *о) + У2~2Л + У°(х - х0)(х - ху). п 2п

Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом Ньютона (12.2) степени и вычисляют по формуле

An+1v

ад = f{x) - Р„(х) - —^q(q - D-(q - п). (12.3) (Я +1)!

В частности, для линейной интерполяции (и = 1) формула погрешности (12.3) имеет вид

ад«^<7(<7-і).

Для интерполирования в конце таблицы удобно использовать вторую формулу Ньютона, а именно:

Р„(х) = У„ + <7ЛЛ-1 +     Л V2 +

+ *д + № + 2)АЗу^ +   + g(g +     + 2)-(g + я -1) д,уо-  (12 4)

 

При применении формулы Ньютона (12.2) удобнее использовать горизонтальную таблицу разностей (см. табл. 12.1), в этом случае необходимые значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

Для формулы (12.4) составляют диагональную таблицу разностей (см. табл. 12.2).

Если из таблицы разностей будет обнаружено, что к-е разности функции для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то интерполяционную формулу Ньютона (12.2) можно использовать в качестве эмпирической формулы, а вычисление разностей прекратить.

337

О Пример 1. Построить эмпирическую формулу для функции у, заданной таблицей:

 

xi

0

1

2

3

4

Уі

13

20

26

31

35

Составим таблицу разностей для заданных х(. и у. (табл. 12.3).

Как видим, вторые разности А2у постоянны. Используя интерполяционную формулу Ньютона (12.2) и учитывая, что в данном примере h = 1, q = х, имеем

у = 13 + 7х-*(*~1), или  13 + 7,5х-0,5х2=у. •

О Пример 2. Найти с точностью до Ю-5 значения функции у при х = 1,05 и х = 1,25, если известно, что

 

X,

1

1,1

1,2

1,3

Уі

0,84147

0,89121

0,93204

0,96356

Составим таблицу конечных разностей (табл. 12.4). Это горизонтальная таблица конечных разностей. Табличные разности записываем целыми числами в единицах последнего знака без нулей впереди.

338

Так как х = 1,05 находится между 1 и 1,1, т.е. в начале табл. 12.4, то воспользуемся первой формулой Ньютона (12.2).

В данном случае h = 0,1, xQ = 1, х=1,05, q= (x-x0)/h = 0,5. Далее имеем

у = 0,84147 + 0,5 • 0,04974 + °'5^ ~ ^ (-0,00891) +

+ 0'5(0'5-р(°'5-2)(-0,00040) = 0,867429, 6

у(1,05) = 0,86743.

Определим теперьу(1,25). Таккакх= 1,25 заключено между 1,2 и 1,3, т.е. находится в конце таблицы, то для вычислений пользуемся второй формулой Ньютона (12.4). Таблицу конечных разностей в этом случае удобнее записывать в виде диагональной таблицы (табл. 12.5).

Таблица 12.5

 

X

У

Ау

А2у

А3у

1

1,1

1,2 1,3

0,84147 0,89121 0,93204 0,96356

4974 4083 3152

-891 -931

-40

В данном случае h = 0,1, х0 = 1,3, х = 1,25, q= (х-xQ)/h = -0,5. Далее имеем

у(1,25) = 0,96356 - 0,5 • 0,03152 + ~°'5(~°'5 +^(-0,00931) +

+

-0,5(-0,5 + 1)(-0,5 + 2)

(-0,00040) = 0,948989,

у(1,25) = 0,94899.

 

12.5. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя

При интерполировании значений функции, находящихся в середине таблицы, для значенийх, близких кхк, используют:

формулу Стирлинга приq\< 0,25;

формулу Бесселя при 0,25 < q < 0,75.

 

339

В этом случае исходное значение функции обозначают через у0 и считают индексы вниз и вверх от нуля, как показано в табл. 12.6.

Таблица 12.6

 

Индекс

X.

Уг

Ау

А2у

д3у

 

A5j>

A6y

A7y

aV

-4

 

У^

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

х_3

У-ъ

ду-з

 

A3J_4

 

 

 

 

 

-2

Х-2

У-2

*У-2

а2у_3

A3J_3

A4JU

A5^

 

 

 

-1

х-1

У-1

Av-i

а2у_2

^У-2

 

AV_3

A6J_4

A7JU

 

0

хо

Уо

АУ0

AV_!

а3У_!

 

A5y_2

aV3

aV3

A8y_4

1

х1

Уі

 

аЧ

a

av_!

 

aV_2

 

 

2

Х2

У2

А>>2

а

A3^

 

 

 

 

 

3

хъ

Уз

*Уз

 

 

 

 

 

 

 

4

Х4

Уа

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Стерлинга имеет вид

_. .     Ay, + Ау0    q2 . 2       q(q2 -1) A3y_2 + А3 у,

P(x) = y0 + q   l2   0 + у a 2y_x + *v*3!      ^ 22  ^ 1 +

+

 

-A>_2 + -

5!

gV-DA4,.   , g(g2-l)(g2-22) A5j;_3+AV2

4!

+

+ gV-l)(g2-22) 6

6! У~ъ , q2(q2-l)(q2-22)-(q2-(n-l)2) 2

■ T     ....      ii ,

(2л)!

где# = (х-х0)/й. 340

Формула Бесселя имеет вид

Уо+Уі

g(g-l) А2з;_1 + А2у0

Р(х) = ^-^+ q-- Ау0 +

2            2 J          z z

(g-l/2)g(g-l)A3       g(g-l)(g + l)(g~2) AVa + AVt

З!       1        4! 2

(g-l/2)g(g-l)(g + l)(g-2) 5

5! 2 g(g2 - l)(g2 - 22)(g - 3) A6y_3 + A6y_2 6! 2 , g(g2 ~D(g2 -22)-• -(g-n)(q + П-Ї) A2ny_n + а2"у_и+1 ; (2и)! 2

(g - l/2)g(g2 - l)(g2 - 22)- ■ -(g - n)(q + n -1) 2и+1 (2л+ 1)!

rfleg = (x-x0)/A.

При g = 1/2 формула Бесселя значительно упрощается и называется формулой интерполирования на середину:

р(х) = Уо+Уі _ I а2у_! + а2у0   J_ а4у_2 + A4y_t _

2      8        2         128 2

5   аУ3+А6у_2 | ^

1024

„ [13 5-(2и-1)]2 А2пу_п + А2"у_п+1 22й(2л)! 2

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |