Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

13.3. теоремы сложения и умножения вероятностей

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого применяют различные соотношения, в основе которых лежат теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий Ах, А2, Ап равна сумме вероятностей этих событий:

ДІ4) = І>(4)-

І=1 1=1

Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

І>(4) = і-

347

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Если рассматривается более двух событий, то формула вероятности произведения событий Av А2,Ап имеет вид

Р(АХА2 - Ап_хАп) = P(Al)P(A2/Al)P(.A3/AlA2) -PiAJA^.A^),

где Р{А2/А^) — вероятность события А2 при условии, что имело место событие Ау ...; P(AJAxA2...An_^) — вероятность события^ при условии, что имели место события Av А2,A v

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

В случае трех и более событий вероятность их суммы обычно определяется по формуле

Р(А + В +... + М) = 1 - Р(АВ-М),

где А, В,     М — события, противоположные событиями, В,...,М.

Если указанные события независимы, то последняя формула принимает вид

Р(А + В +... + М) = 1 - Р(А)Р(В). ■ Р(М).

 

348

В случае равенства вероятностей всех событий, т.е. если Р(А) = = Р{В) =... = Р{М) - р, имеем

Р(А + В +... + М) = 1 - (1 -р)п,

где и — число событий.

 

13.4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если события Av А^,Ап образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть найдена по формуле полной вероятности как сумма произведений безусловных вероятностей указанных событий на условные вероятности события В:

P(B) = j^P(Ai)P(B/Ai). (13.1) г=і

В тех случаях, когда требуется определить вероятности событий Ах, А2,Ап при условии, что событие В уже произошло, используется формула Байеса:

Р(Ак/В)=

Хд4)Р(5Д.)

 

О Пример. На складе имеется 12 изделий, изготовленных на первом предприятии, 20 изделий — на втором и 18 изделий — на третьем предприятии. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что произвольно взятое изделие будет качественным.

Вероятности выбора изделия соответствующего предприятия таковы:

Р{А{) = 12/50,  Р(А2) = 20/50,  Р(АЪ) = 18/50.

Искомая вероятность находится по формуле (13.1):

12      20      1R

Р(В) = — • 0,9 + — • 0,6 + — • 0,9 = 0,78. •

v '   50         50 50

 

349

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |