Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

13.5. распределение вероятностей события. формулы бернулли и пуассона

Распределение вероятностей события А часто описывается формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):

Pn(m) = Cymqnm, (13.2)

где Рп(т) — вероятность появления ровно т раз события А в серии из п опытов; С™ — число сочетаний из и элементов по т; р — вероятность появления события А в одном опыте; q = 1 -р.

О Пример. Предприятие выпускает телевизоры. Вероятность неисправности телевизора р = 0,01. Проверяется партия из пяти телевизоров. Определить вероятность того, что два из них будут неисправны.

На основании формулы (13.2)

Р5(2) = фУ = 2!(55^2)!(Ю-2)2(0,99)3 = 0,00097. •

При большом числе опытов вычисления по формуле (13.2) становятся громоздкими. Поэтому на практике обычно используют пуассоновское приближение к биномиальному распределению, точность которого увеличивается при увеличении числа опытов и уменьшении вероятности р. Оно задается формулой Пуассона:

Рп(т) = ^-е- (13.3) ml

где А, — среднее значение числа появлений рассматриваемого события в серии опытов, представляющее собой произведение Х-пр.

О Пример. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что в партии из 200 телевизоров два неисправных. Здесь удобнее использовать формулу Пуассона (13.3):

*20о(2) = т£е-  А, = 2,  Р200(2) = !е-2=0,27.«

Вероятность появления т раз события А на заданном интервале времени / находят по формуле Пуассона, которая в этом случае принимает вид

 

350

 

P It) - <*^е FJf)     ml Є

где X — интенсивность события, т.е. среднее число событий в единицу времени.

Ряд экономических задач сводится к так называемой «урновой схеме». Суть ее в следующем. В урне находится N шаров, из которых Af белых. Из урны извлекается и шаров. Требуется определить вероятность того, что среди них т белых шаров. Вероятность этого события определяется формулой

f-im (in-m

PM,NM = ^^.

 

О Пример. В магазин поступила партия, состоящая из 300 изделий. Известно, что 5 изделий имеют производственный дефект. Определить вероятность того, что при покупке 10 изделий будет обнаружено одно бракованное.

Общее число сочетаний из 300 по 10 изделий равно

ю 300! 300    290!-10!"

Число способов выбора из 5 бракованных изделий одного равно

5!

5 1!-4!"

Число сочетаний из 295 по 9 качественных изделий таково:

295   286!-9!"

9  _ 295!

и295 - 2

Находим вероятность

5' ■295' • 290' 10' Р5 300(1, 10) -  •   * •    * •     ' - 0,147. • 5;30ov     >    4!-286!-9! ■ 300!

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |